Экспоненциальное сглаживание во временных рядах

Для проверки гипотезы значимости уравнения регрессии в целом используется F-критерий Фишера—Снедекора.

Гипотеза  проверяется следующим образом:

1) если наблюдаемое  значение F-критерия больше критического  значения данного критерия, т.  е. Fнабл > Fкрит, то с вероятностью α основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым;

2) если наблюдаемое  значение F-критерия меньше критического  значения данного критерия, т. е. Fнабл < Fкрит, то с вероятностью (1 −α) основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации принимается, и построенное уравнение регрессии признается незначимым.

Критическое значение F-критерия находится по таблице распределения Фишера—Снедекора в зависимости от следующих параметров: уровня значимости α и числа степеней свободы: k1=h−1 и k2=n−h, где n — это объем выборки, а h — число оцениваемых по выборке параметров. В случае проверки значимости уравнения парной регрессии критическое значение F-статистики вычисляется как Fкрит(α; 1; n − 2).

	ВЫВОД ИТОГОВ
	Регрессионная статистика
	Множественный R	0,853948
	R-квадрат	0,729227
	Нормированный R-квадрат	0,708398
	Стандартная ошибка	6,189829
	Наблюдения	15
	Дисперсионный анализ
		df	SS	MS	F	Значимость F
	Регрессия	1	1341,398	1341,398	35,01067	5,09E-05
	Остаток	13	498,0818	38,31398
	Итого	14	1839,48
		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
	Y-пересечение	78,64244	14,64672	5,369287	0,0001277	47,00013	110,2848	47,00013	110,2848
	x	2,47596	0,41845	5,916982	5,092E-05	1,571954	3,379966	1,571954	3,379966

Формула наблюдаемого значения в случае парной регрессии  наблюдаемое значение F-критерия имеет  вид:

=

F_крит = 4,67

Наблюдаемое значение F-критерия меньше его критического значения, т. е. F_набл < F_крит , а значит основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации принимается, и построенное уравнение регрессии признается незначимым.

В подтверждение  расчетов сравним с расчетами, полученными с использованием встроенных функций Exсel.

 

Задание 2.

Требуется для характеристики зависимости  У от X рассчитать параметры линейной (альтернативным методом нахождения параметров уравнения парной регрессии ), степенной, показательной функции и выбрать оптимальную модель (провести оценку моделей через среднюю ошибку аппроксимации (А) и F- критерий Фишера).

Решение:

Построение  линейной функции альтернативным методом  нахождения параметров уравнения парной регрессии вида yi= y̅ +βyx*(x-x̅) сводиться к нахождению параметра:

                                           βyx = ryx * Sx/Sy                                                                       

где ryx – линейный коэффициент парной корреляции между переменными y и x;

Sx, Sy – среднеквадратическое отклонение величин y и x.

r_yx=0,8

Sx=10.91

Sy=3.8

βyx =0,8*3,8/10,91=0.28

 

 

 

                                Вспомогательная таблица

	x	y	х2	У2	~y	y -	(y- )2	(yi- )
1	35,09	175,18	1231,308	30687,3	165,045	10,13	102,6757	35,09
2	40,21	186,31	1616,844	34711,19	170,525	15,78	249,1473	40,21
3	30,28	158,68	916,8784	25177,76	159,9	-1,22	1,500625	30,28
4	25,49	141,91	649,7401	20139,67	154,77	-12,86	165,269	25,49
5	33,04	163,61	1091,642	26769,64	162,85	0,76	0,584154	33,04
6	33,62	163,07	1130,304	26591,21	163,47	-0,40	0,161524	33,62
7	39,70	183,59	1576,09	33704,81	169,979	13,61	185,2239	39,70
8	35,91	167,09	1289,528	27918,3	165,923	1,16	1,356526	35,91
9	30,92	153,67	956,0464	23614,44	160,584	-6,91	47,80478	30,92
10	33,45	162,09	1118,903	26274,34	163,2915	-1,20	1,434964	33,45
11	37,31	168,70	1392,036	28459,96	167,4217	1,28	1,636097	37,31
12	39,33	168,96	1546,849	28546,3	169,5831	-0,63	0,392628	39,33
13	37,60	167,60	1413,76	28090,63	167,732	-0,13	0,016744	37,60
14	35,69	157,61	1273,776	24839,53	165,69	-8,08	65,35752	35,69
15	34,26	153,77	1173,748	23646,17	164,16	-10,39	107,8877	34,26
итого	521,90	2 471,84	18 377,45	409171,2	2470,933	0,90	930,4492	521,90

 

P_xy = =0.96

A̅_i=1/15* 1.14*100=7.6

             Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Y = lg(y), X = lg(x),

 

Y=β0 +β1*X

 

	x	y	х2	у2	y -	(y- )2	y-	(y- )2
1	35,09	175,18	1231,308	30687,3	10,13	102,6757	10,38	107,7008
2	40,21	186,31	1616,844	34711,19
3	30,28	158,68	916,8784	25177,76	15,78	249,1473	21,51	462,6543
4	25,49	141,91	649,7401	20139,67	-1,22	1,500625	-6,13	37,51563
5	33,04	163,61	1091,642	26769,64	-12,86	165,269	-22,89	523,7553
6	33,62	163,07	1130,304	26591,21	0,76	0,584154	-1,19	1,405884
7	39,70	183,59	1576,09	33704,81	-0,40	0,161524	-1,73	2,999478
8	35,91	167,09	1289,528	27918,3	13,61	185,2239	18,79	353,0152
9	30,92	153,67	956,0464	23614,44	1,16	1,356526	2,29	5,233571
10	33,45	162,09	1118,903	26274,34	-6,91	47,80478	-11,13	123,8791
11	37,31	168,70	1392,036	28459,96	-1,20	1,434964	-2,71	7,324601
12	39,33	168,96	1546,849	28546,3	1,28	1,636097	3,90	15,21624
13	37,60	167,60	1413,76	28090,63	-0,63	0,392628	4,16	17,27649
14	35,69	157,61	1273,776	24839,53	-0,13	0,016744	2,80	7,854567
15	34,26	153,77	1173,748	23646,17	-8,08	65,35752	-7,19	51,75939
итого	521,90	2 471,84	18 377,45	409171,2	-10,39	107,8877	-11,03	121,5925
					0,90	930,4492	-0,16	1839,183

 

Рассчитаем β1 и β0:

       β1=( - * X̅)/ Sx²

      β1= 2978.2-25.3*117.5/9693.8-640.09=2.39

      β0= Y̅̅- β1* X̅

      β0=164.8-2.39*34.8=81.63

Получим линейное уравнение: Yx=2.39-164.8*x_i

Выполним его  потенцирование :

Yx=2,39-81,63xi =10^2,39x Yx=245,5x^81,63

                                                 

 

 

Подставляя  в данное уравнение фактические  значения х, получаем теоретические значения результата yx . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации A̅i :

P_xy=√ (1 -∑ (y –yx)² / ∑(y –y̅²))

P_xy= 0.85

A̅i=0,34/2471*1/15*100=0,0008

Построению  уравнения показательной кривой y = a ⋅bx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

lg y = lg a + x ⋅ lg b ,

Y = C + B ⋅ x .

y		y-	( y- )2
175,18	165,045	10,13	102,6757
186,31	170,525
158,68	159,9	15,78	249,1473
141,91	154,77	-1,22	1,500625
163,61	162,85	-12,86	165,269
163,07	163,47	0,76	0,584154
183,59	169,979	-0,40	0,161524
167,09	165,923	13,61	185,2239
153,67	160,584	1,16	1,356526
162,09	163,2915	-6,91	47,80478
168,70	167,4217	-1,20	1,434964
168,96	169,5831	1,28	1,636097
167,60	167,732	-0,63	0,392628
157,61	165,69	-0,13	0,016744
153,77	164,16	-8,08	65,35752
2 471,84	2470,933	-10,39	107,8877

 

 

Значения параметров регрессии cоставили:

       β1=( - * )/ Sx^2

      β1=2978.2-34.8*164.8/3.8²=2.39

       β0= - β1 * x̅

        β0=164.8-2.39*34.8=81.63

Получили: Yx=81.63+2.39x

Произведем  потенцирование полученного уравнения  и запишем его в обычной  форме:

 

           

    Yx=  10^2.39

    Yx=10^81.63*10              

pxy=0.87

A̅i= 1/15*637.56/1763.09*100=1.5

 

 

 

Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: z =1/x.

 

y		y-	(y- )2	y-	(y- )2	1/х
175,18	165,045	10,13	102,6757	10,38	107,7008	0,028498
186,31	170,525	15,78	249,1473	21,51	462,6543	0,024869
158,68	159,9	-1,22	1,500625	-6,13	37,51563	0,033025
141,91	154,77	-12,86	165,269	-22,89	523,7553	0,039231
163,61	162,85	0,76	0,584154	-1,19	1,405884	0,030266
163,07	163,47	-0,40	0,161524	-1,73	2,999478	0,029744
183,59	169,979	13,61	185,2239	18,79	353,0152	0,025189
167,09	165,923	1,16	1,356526	2,29	5,233571	0,027847
153,67	160,584	-6,91	47,80478	-11,13	123,8791	0,032342
162,09	163,2915	-1,20	1,434964	-2,71	7,324601	0,029895
168,70	167,4217	1,28	1,636097	3,90	15,21624	0,026802
168,96	169,5831	-0,63	0,392628	4,16	17,27649	0,025426
167,60	167,732	-0,13	0,016744	2,80	7,854567	0,026596
157,61	165,69	-8,08	65,35752	-7,19	51,75939	0,028019
153,77	164,16	-10,39	107,8877	-11,03	121,5925	0,029189
2 471,84	2470,933	0,9	930,4492			0,436939