Контрольная работа по "Эконометрике"

5. Согласно условию задачи прогнозное значение фактора Х₄ составляет 80% от его максимального значения. Максимальное значение Х₄ = 91 найдем с помощью функции МАКС. Тогда прогнозное значение Х₄^* = 72,8. Рассчитаем по уравнению модели (3) прогнозное значение Y:

Y^*_Т = – 2,86 + 2,48* Х₄^* = – 2,86 + 2,48 * 72,8 = 177,39.

Таким образом, если жилая площадь квартиры составит 80% от  ее максимального значения и составит 72,8 кв. м, то ожидаемая цена квартиры будет составлять около 177,39 тыс. долл.

Зададим доверительную вероятность p = 1 – α = 1– 0,1 = 0,9 и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого  нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования для среднего значения результирующего признака:

S(Y^*_Т) = S_E *

.

Предварительно  подготовим:

- стандартная  ошибка S_E = 28,2 из таблицы «регрессионная статистика»

- по столбцу  данных Х₄ найдем среднее значение = 42,04  с помощью функции СРЗНАЧ и определим = 15950,82 с помощью функции КВАДРОТКЛ;

- t_кр – коэффициент Стьюдента для уровня значимости α=10% и числа степеней свободы k = 38. t_кр = 1,686 с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования  для среднего значения составляет:

S(Y^*_Т) = 28,2 *

= 8,188 .

Размах  доверительного интервала для среднего значения:

U(Y^*_Т) = t_кр * S(Y^*_Т) = 1,686 * 8,188 = 13,805.

Границами прогнозного интервала будут:

U_нижн = Y^*_Т – U(Y^*_Т) = 177,39 – 13,805 = 163,58;

U_верх = Y^*_Т + U(Y^*_Т) = 177,39 + 13,805 = 191,19.

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если жилая площадь квартиры составит 80% от  ее максимального  значения и составит 72,8 кв. м, то ожидаемая средняя цена квартиры будет от 163,58 тыс. долл. до 191,19 тыс. долл.

Для построения чертежа воспользуемся Мастером диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции). Затем с  помощью опции добавить линию  тренда, построим линию модели и  покажем на графике результаты прогнозирования. 

 

6. Методом включения построим двух факторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор – жилую площадь квартиры (Х₄).

В качестве «входного интервала Х» укажем значения факторов Х₁ и Х₄, с помощью функции РЕГРЕССИЯ получим:

 

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,875979
R-квадрат	0,767339
Нормированный R-квадрат	0,754763
Стандартная ошибка	28,3714
Наблюдения	40
	Коэффициенты
Y-пересечение	-6,4361
Х1	6,692936
Х4	2,48928

 

Таким образом, модель (4) зависимости цены квартиры Y от города области Х₁ и жилой площади квартиры Х₄ построена, ее уравнение имеет вид: Y_Т = –6,44 + 6,69*X₁ + 2,49*Х₄.

Используем  в качестве «входного интервала  Х» значения факторов Х₂ и Х₄, с помощью функции РЕГРЕССИИ найдем:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,874163
R-квадрат	0,76416
Нормированный R-квадрат	0,751412
Стандартная ошибка	28,56458
Наблюдения	40

 

	Коэффициенты
Y-пересечение	-2,16757
Х2	-1,57033
Х4	2,556497

 

Таким образом, модель (5) зависимости цены квартиры Y от числа комнат Х₂ и жилой площади Х₄ построена, ее уравнение имеет вид:

Y_Т = –2,17 – 1,57*X₂ + 2,56*Х₄.

Построим  множественную модель регрессии, учитывая все факторы (Х₁, Х₂, и Х₄):

 

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,876218
R-квадрат	0,767758
Нормированный R-квадрат	0,748404
Стандартная ошибка	28,73688
Наблюдения	40
	Коэффициенты
Y-пересечение	-5,64357
Х1	6,859631
Х2	-1,98516
Х4	2,591406

 

Таким образом, трехфакторная модель (6) зависимости  цены квартиры Y от города области Х₁, числа комнат Х₂ и жилой площади Х₄ построена, ее уравнение имеет вид:

Y_Т = –5,67 + 6,86*Х₁ – 1,99*X₂ + 2,59*Х₄.

Выберем лучшую из построенных. Для сравнения  моделей с различным количеством  учтенных в них факторов используем нормированные коэффициенты детерминации, которые содержатся в строке «нормированный R-квадрат» функции РЕГРЕССИЯ. Чем больше величина нормированного коэффициента детерминации, тем лучше модель.

Модель	Нормированный R-квадрат
YТ = –6,44 + 6,69*X1 + 2,49*Х4                   (4)	0,754763
YТ = –2,17 – 1,57*X2 + 2,56*Х4                   (5)	0,751412
YТ = –5,67 + 6,86*Х1 – 1,99*X2 + 2,59*Х4 (6)	0,748404

 

Таким образом, лучшей является модель (4) зависимости  цены квартиры Y от города области Х₁ и жилой площади квартиры Х₄:

Y_Т = –6,44 + 6,69*X₁ + 2,49*Х₄.

Коэффициент регрессии b₁ = 6,69, следовательно, при покупке квартиры в Люберцах (Х₁) той же жилой площади (Х₄), что и в Подольске цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 6,69 тыс. долл.

 Коэффициент  регрессии b₂ = 2,49, следовательно, при увеличении жилой площади (Х₄) на 1 кв. м в одном городе (Х₁), цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 2,48 тыс. долл. Свободный коэффициент не имеет экономического смысла.

7. Оценим  качество модели. Для оценки качества выбранной множественной модели (4) Y_Т = –6,44 + 6,69*X₁ + 2,49*Х₄ используем коэффициент детерминации R-квадрат, среднюю относительную ошибку аппроксимации и F – критерий Фишера.

Коэффициент детерминации R-квадрат выпишем из таблица «Регрессионная статистика» для модели (4).

R² = 0,767, следовательно, вариация цены квартиры Y на 76,7% объясняется по данному уравнению вариацией города области Х₁ и жилой площади Х₄.

Используем  исходные данные Y_i и найденные остатки Е_i из таблицы «Вывод остатка» для модели (4). Рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение _отн.

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Отн. погр-ти
1	47,55316	-9,55316	25,13988493
2	89,87092	-27,6709	44,48700502
3	95,62438	29,37562	23,50049523
4	86,88378	-25,7838	42,19931434
5	40,11344	26,88656	40,12920021
6	62,51696	30,48304	32,77746634
7	147,1244	-29,1244	24,68165955
8	103,0922	28,90778	21,89983249
9	132,9636	-40,4636	43,74441266
10	117,253	-12,253	11,66952159
11	45,06388	-3,06388	7,294943394
12	109,7852	15,21484	12,17187399
13	132,9636	37,03642	21,7861284
14	33,39238	4,60762	12,12531651
15	157,8564	-27,3564	20,96274499
16	78,19942	6,800579	8,000681624
17	100,6029	-2,60294	2,656062313
18	140,9293	-12,9293	10,10099834
19	118,0279	-33,0279	38,85635461
20	104,8066	55,1934	34,49587661
21	43,3495	16,6505	27,75083346
22	35,10676	5,893244	14,37376579
23	117,253	-27,253	30,28110852
24	116,7833	-33,7833	40,70272457
25	40,61129	4,388708	9,752684736
26	38,37094	0,62906	1,612974811
27	139,6846	-52,7846	60,7418157
28	48,32806	-8,32806	20,82015006
29	93,1351	-13,1351	16,41887615
30	220,0884	6,911617	3,044764999
31	217,5991	17,4009	7,40463685
32	37,59604	2,403964	6,009909809
33	46,30852	20,69148	30,88281157
34	137,1672	-14,1672	11,51807973
35	85,66726	14,33274	14,33273923
36	119,7423	-14,7423	14,04026449
37	86,88378	-16,5838	23,59001573
38	119,7423	-37,7423	46,02716795
39	211,8456	68,15436	24,34084302
40	149,6136	50,38636	25,19318084

 

По столбцу  относительных погрешностей с помощью  функции СРЗНАЧ найдем среднее значение   _отн = 22,69%.

Сравнение показывает, что 22,69% > 15%. Следовательно, точность модели неудовлетворительная.

С помощью  F – критерия Фишера проверим значимость модели в целом. Для этого возьмем данные из таблицы «дисперсионный анализ» для модели (4)) F = 61,01.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	98226,35	49113,17573	61,01499	1,92E-12
Остаток	37	29782,64	804,9362779
Итого	39	128009

 

С помощью  функции FРАСПОБР найдем значение F_кр = 3,25 для уровня значимости α = 5%, и чисел степеней свободы k₁ = 2, k₂ = 37.

F = 61,01 > F_кр = 3,25, следовательно, уравнения модели (4) является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель (4) факторными переменными Х₁ и Х₄.

Дополнительно с помощью t – критерия Стьюдента проверим значимость отдельных коэффициентов модели.

Для выбранной  модели (4) получены следующие значения:

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-6,4361	11,51649	-0,558859663	0,579624
Х1	6,692936	9,045869	0,739888746	0,464037
Х4	2,48928	0,22536	11,04580516	2,85E-13

 

Критическое значение t_кр найдено для уровня значимости α = 5% и числа степеней свободы k = 40 – 2 – 1 = 37. t_кр = 2,03.

Для свободного коэффициента a= –6,44 определена статистика

t(a) = – 0,56. |t(a)| = 0,56 < t_кр = 2,03, следовательно, свободный коэффициент a = –6,44 не является значимым, его можно исключить из модели.

Для коэффициента регрессии b₁ = 6,69 определена статистика t(b₁)= 0,74.

|t(b₁)| = 0,74 < t_кр = 2,03, следовательно, коэффициента регрессии b₁ не является значимым, его и фактор города области можно исключить из модели.

Для коэффициента регрессии b₂=2,49 определена статистика t(b₂)= 11,05.

|t(b₂)| = 11,05 > t_кр = 2,03, следовательно, коэффициента регрессии b₂ является значимым, его и фактор жилой площади квартиры нужно сохранить в модели.

Выводы  о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости α = 5%. Рассматривая столбец «P-значение», отметим, что свободный коэффициент a можно считать значимым на уровне 0,58 = 58%; коэффициент регрессии b₁ – на уровне 0,46 = 46%;, а коэффициент регрессии b₂ – на уровне 2,85E-13 = 0,000000000000285 = 0,000000000001%.

При добавлении в уравнение новых факторных  переменных автоматически увеличивается  коэффициент детерминации R² и уменьшается средняя ошибка аппроксимации, хотя при этом не всегда улучшается качество модели. Поэтому для сравнения качества модели (3) и выбранной множественной модели (4) используем нормированные коэффициенты детерминации.

Модель	Нормированный R-квадрат
YТ = – 2,86 + 2,48*X4                                   (3)	0,757684
YТ = –6,44 + 6,69*X1 + 2,49*Х4                   (4)	0,754763

 

Таким образом, при добавлении в уравнение регрессии  фактора «город области» Х₁ качество модели ухудшилось, что говорит не в пользу сохранения фактора Х₁ в модели.

Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются  формулами  Э_j = b_j * .

С помощью  функции СРЗНАЧ найдем: = 0,45, = 42,045, = 101,24. Тогда Э₁ = 6,69 * = 0,03,  Э₂ = 2,49 * = 1,03 .

Следовательно, при покупке квартиры в Люберцах (Х₁) и неизменной жилой площади цена квартиры увеличится в среднем на 0,03%.

Увеличение  жилой площади Х₄ в том же городе на 1% приводит к увеличению цены квартиры в среднем на 1,03%.

Бета - коэффициенты определяются формулами β_j = b_j * .

С помощью  функции СТАНДОТКЛОН найдем S_X1 = 0,5; S_X4 = 20,22;    S_Y = 57,29. Тогда

 β₁ = 6,69 * = 0,06;    β₂ = 2,49 * = 0,88.

Таким образом, при увеличении только фактора Х₁ на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,06 своего стандартного отклонения  S_Y, а при увеличении только фактора Х₄ на одно его стандартное отклонение – увеличивается на 0,88 S_Y.