Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Дельта - коэффициенты определяются формулами  Δ_j = β_j * .

Коэффициенты  парной корреляции r(Y, X₁) = – 0,01, и r(Y, X₄) = 0,87 найдены с помощью функции КОРРЕЛЯЦИЯ. Коэффициент детерминации R² = 0,77 определен для рассматриваемой двухфакторной модели функцией РЕГРЕССИЯ.

Вычислим  дельта - коэффициенты:

Δ₁ = 0,06 * = – 0,0009;  Δ₂ = 0,88 * = 1,0009.

Поскольку Δ₁ < 0, то факторная переменная Х₁ выбрана неудачно и ее нужно исключить из модели.

Значит, по уравнению полученной линейной двухфакторной  модели изменение результирующего  фактора Y (цены квартиры) на 100% объясняется воздействием фактора Х₄ (жилой площадью квартиры).

Задача  № 2. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение  девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	30	28	33	37	40	42	44	49	47

 

Задание:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель временного ряда Y_t = a + b * t, параметры которой оценить МНК.
3. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.
4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. Осуществить прогноз спроса на следующие 2 недели (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности 70%).
6. Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.

 

1. Проверим наличие аномальных наблюдений. Используем метод Ирвина, основанный на определении λ_t-статистик по формуле:   λ_t = , где S_y – выборочное среднее квадратичное (стандартное) отклонение признака Y.

Подготовим  S_y = 7,42 с помощью функции СТАНДОТКЛОН и рассчитаем λ_t-статистики. Результат расчетов приведем в таблице:

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	30	28	33	37	40	42	44	49	47
λt		0,27	0,67	0,54	0,40	0,27	0,27	0,67	0,27

 

При n = 9 и уровне значимости α = 5% можно использовать λ_кр= 1,5.

Все λ_t-статистики меньше λ_кр, то есть аномальных наблюдений нет. Исходный ряд будем использовать для выполнения следующих пунктов задачи.

2. Построим линейную модель временного ряда Y_t = a + b * t

С помощью  функции РЕГРЕССИЯ найдем:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R					0,971442
R-квадрат					0,9437
Нормированный R-квадрат					0,935657
Стандартная ошибка					1,883091
Наблюдения					9
Дисперсионный анализ
		df		SS		MS			F	Значимость F
Регрессия		1		416,0667		416,0667			117,333	1,26E-05
Остаток		7		24,82222		3,546032
Итого		8		440,8889
			Коэффициенты
Y-пересечение			25,72222
t			2,633333

 

Таким образом, a = 25,72, b = 2,63. Модель построена, ее уравнение имеет вид:

Y_t = 25,72 + 2,63 * t.

Коэффициент регрессии b = 2,63 показывает, что с каждой неделей спрос на кредитные ресурсы финансовой компании (Y) увеличивается в среднем на 2,63 млн. руб. 

3. Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

Проверка  перечисленных свойств состоит  в исследовании Ряда остатков e_t, который содержится в таблице «Вывод остатка».

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y(t)	Остатки
1	28,35556	1,644444
2	30,98889	-2,98889
3	33,62222	-0,62222
4	36,25556	0,744444
5	38,88889	1,111111
6	41,52222	0,477778
7	44,15556	-0,15556
8	46,78889	2,211111
9	49,42222	-2,42222

 

Для проверки свойства независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина  - Уотсона. Согласно этому критерию вычислим по формуле статистику  d = .

Подготовим  для вычислений:

С помощью  функции СУММКВ = 24,82; с помощью функции СУММКВРАЗН = 56,94.

Таким образом, d = = 2,29. Поскольку d > 2, то перейдем к d’ = 4 – d = 4 – 2.29 = 1,71.

По таблице  d-статистик Дарбина - Уотсона определим критические уровни: нижний d₁ = 0,82 и верхний d₂ = 1,32.

Сравним полученную фактическую величину d’ с критическими уровнями d₁ и d₂ и сделаем выводы:

d’ = 1,71 (d₂ = 1,32; 2), следовательно, свойство независимости остатков для построенной модели выполняется.

Для проверки свойства случайности остаточной компоненты используем критерий поворотных точек (пиков), основой которого является определение количества поворотных точек для ряда остатков. С помощью  Мастера диаграмм построим график остатков e_t.

Поворотные  точки – вторая, пятая, седьмая, восьмая. Их количество p=4. По формуле p_кр = при n = 9 вычислим критическое значение p_кр= = 2.

Сравним значения p и p_кр : p = 4 > p_кр= 2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

Для проверки соответствия ряда остатков нормальному  закону распределения используем R/S критерий.

В соответствии с этим критерием вычислим по формуле  статистику     R/S = .

Подготовим  для вычислений:

С помощью  функции МАКС e_max = 2,21 – максимальный уровень ряда остатков;

С помощью  функции МИН e_min = –2,99 – минимальный уровень ряда остатков;

S(e) = 1,88 – стандартная ошибка модели из таблицы «регрессионная статистика».

Получим:  R/S = = 2,76.

По таблице  критических границ отношения R/S определим критический интервал. При n = 9 можно использовать (2,67; 3,69). Сопоставим фактическую величину R/S с критическим интервалом: 2,76 (2,67; 3,69), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка показывает, что для построенной  модели выполняются все свойства. Таким образом, данная модель является адекватной, и ее можно использовать для построения прогнозных оценок.

4. Оценим  точность модели на основе  использования средней относительной  ошибки аппроксимации.

Используем  исходные данные Y_t и найденные функцией РЕГРЕССИЯ остатки e_t по формуле e_отн.t = 100 рассчитаем столбец относительных погрешностей и найдем среднее значение _отн = 3,78%.

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y(t)	Остатки	Отн. погр-ти
1	28,35556	1,644444	5,481481
2	30,98889	-2,98889	10,6746
3	33,62222	-0,62222	1,885522
4	36,25556	0,744444	2,012012
5	38,88889	1,111111	2,777778
6	41,52222	0,477778	1,137566
7	44,15556	-0,15556	0,353535
8	46,78889	2,211111	4,512472
9	49,42222	-2,42222	5,153664

 

Сравнение показывает, что 3,78% < 5%, следовательно, модель имеет высокую точность.

5. Осуществим прогноз спроса на следующие 2 недели.

«Следующие 2 недели» соответствуют периодам k₁ = 1 и k₂ = 2, при этом = n + k₁ = 10 и = n + k₂ = 11.

Согласно  уравнению модели получим точечные прогнозные оценки:

Y^*₁₀ = 25,72 + 2,63 * 10 = 52,05    и     Y^*₁₁ = 25,72 + 2,63 * 11 = 54,69.

Таким образом, ожидаемый спрос на кредитные  ресурсы финансовой компании в следующие 2 недели будут составлять около 52,05 млн. руб. и 54,69 млн. руб. соответственно.

Для оценки точности прогнозирования рассчитаем границы прогнозного интервала  для индивидуальных значений результирующего  признака (доверительная вероятность  p = 70%).

Подготовим:

С помощью  функции СТЬЮДРАСПОБР при  α = 100 % - 70 % = 30 %,        k = 9 – 2 = 7. t_кр = 1,12;

S(e) = 1,88;

С помощью  функции СРЗНАЧ   = 5;

С помощью  функции КВАДРОТКЛ  = 60.

Вычислим  размах прогнозного интервала для  индивидуальных значений, используя  формулу:    U_n = .

При = 10 получим U₁₀ = 2,6 и определим границы доверительного интервала: U_ниж10= Y^*₁₀ – U₁₀ = 49,45;    U_верх10= Y^*₁₀ +  U₁₀ = 54,66.

При = 11 получим U₁₁ = 2,76 и определим границы доверительного интервала: U_ниж11= Y^*₁₁ – U₁₁ = 51,93;    U_верх11= Y^*₁₁ +  U₁₁ = 57,45.

Таким образом, с надежностью 70% можно утверждать, что спрос на кредитные ресурсы  финансовой компании на следующую (10-ю) неделю будет составлять от 49,45 до 54,66 млн. руб., а через неделю (11-ю) –  от 51,93 до 57,45 млн. руб.

6. Представим  графически фактические значения  показателя, результаты моделирования  и прогнозирования.

Для построения чертежа воспользуемся Мастером диаграмм (точечная) – покажем исходные данные. С помощью опции Добавить линию тренда… построим линию  модели и покажем на графике результаты прогнозирования.