Сущность, модели, границы применения метода производственной функции

С помощью понятия эффективного технологического множества производственную функцию (ПФ) можно определить как отображение

 

y = f ( x ),

 

где V* .

Указанное отображение, вообще говоря, является многозначным, т.е. множество f ( x ) содержит более чем одну точку. Однако для многих реалистичных ситуаций производственные функции оказываются однозначными и даже, как сказано выше, дифференцируемыми. В наиболее простом случае производственная функция есть скалярная функция N аргументов:

 

 

 

Здесь величина y имеет, как правило, стоимостный характер, выражая объем производимой продукции в денежном выражении. В качестве аргументов выступают объемы затрачиваемых ресурсов при реализации соответствующего эффективного технологического способа. Таким образом, приведенное соотношение описывает границу технологического множества V ,поскольку при данном векторе затрат ( x ₁ , ..., x _N ) производить продукции, в количестве большем, чем y , невозможно, а производство продукции в количестве меньшем, чем указанное, соответствует неэффективному технологическому способу. Выражение для производственной функции оказывается возможным использовать для оценки эффективности принятого на данном предприятии методе хозяйствования. В самом деле, для заданного набора ресурсов можно определить фактический выпуск продукции и сравнить его с рассчитанным по производственной функции. Полученная разница дает полезный материал для оценки эффективности в абсолютном и относительном измерении.

Производственная  функция представляет собой очень  полезный аппарат плановых расчетов, и поэтому в настоящее время  развит статистический подход к построению производственных функций для конкретных хозяйственных единиц. При этом обычно используется некоторый стандартный набор алгебраических выражений, параметры которых находятся при помощи методов математической статистики. Такой подход означает, в сущности, оценку производственной функции на основе неявного предположения о том, что наблюдаемые производственные процессы являются эффективными. Среди разнообразных типов производственных функций наиболее часто применяются линейные функции вида

 

 

 

поскольку для них легко решается задача оценивания коэффициентов по статистическим данным, а также степенные функции

 

 

 

для которых задача нахождения параметров сводится к оцениванию линейной формы путем перехода к логарифмам.

В предположении о дифференцируемости производственной функции в каждой точке множества X возможных комбинаций затрачиваемых ресурсов полезно рассмотреть некоторые связанные с ПФ величины.

В частности, дифференциал

 

 

 

представляет собой изменение  стоимости выпускаемой продукции  при переходе от затрат набора ресурсов x = ( x ₁ , ..., x _N ) к набору x + dx = ( x ₁ + dx ₁ , ..., x _N + dx _N ) при условии сохранения свойства эффективности соответствующих технологических способов. Тогда величину частной производной

 

 

можно трактовать как предельную (дифференциальную) ресурсоотдачу или, иными словами, коэффициент предельной продуктивности, который показывает, на сколько увеличится выпуск продукции в связи с увеличением затрат ресурса с номером j на малую единицу. Величина предельной продуктивности ресурса допускает истолкование как верхний предел цены p _j , которую производственный объект может уплатить за дополнительную единицу j -того ресурса с тем, чтобы не оказаться в убытках после ее приобретения и использования. В самом деле, ожидаемый прирост продукции в этом случае составит

 

 

 

и, следовательно, соотношение 

 

 

 

позволит получить дополнительную прибыль.

В коротком периоде, когда один ресурс рассматривается как постоянный, а другой как переменный, большинство  производственных функций обладают свойством убывающего предельного  продукта. Предельным продуктом переменного ресурса называют прирост общего продукта в связи с увеличением применения данного переменного ресурса на единицу.

Предельный продукт труда можно  записать как разность

 

MPL = F ( K , L + 1) - F ( K , L ),

где MPL предельный продукт труда.

Предельный продукт капитала можно  также записать как разность

 

MPK = F ( K + 1, L ) - F ( K , L ),

 

где MPK предельный продукт капитала.

Характеристикой производственного  объекта является также величина средней ресурсоотдачи (продуктивности производственного фактора)

 

 

 

имеющего ясный экономический  смысл количества выпускаемой продукции  в расчете на единицу используемого  ресурса (производственного фактора). Величина, обратная к ресурсоотдаче

 

 

 

обычно называется ресурсоемкостью, поскольку она выражает количество ресурса j , необходимое для производства одной единицы продукции в стоимостном выражении. Весьма употребительны и понятны такие термины, как фондоемкость, материалоемкость, энергоемкость, трудоемкость, рост которых обычно связывают с ухудшением состояния экономики, а их снижение рассматривается как благоприятный результат.

Частное от деления дифференциальной продуктивности на среднюю 

 

 

называется коэффициентом эластичности продукции по производственному фактору j и дает выражение относительного прироста продукции (в процентах) при относительном приросте затрат фактора на 1%. Если E _j ё 0, то происходит абсолютное снижение выпуска продукции при увеличении потребления фактора j; такая ситуация может иметь место при использовании технологически неподходящих продуктов или режимов. Например, излишнее потребление топлива приведет к излишнему повышению температуры и необходимая для производства продукта химическая реакция не пойдет. Если 0 < E _j ё 1, то каждая последующая дополнительная единица затрачиваемого ресурса вызывает меньший дополнительный прирост продукции, чем предыдущая.

Если E _j > 1, то величина приростной (дифференциальной) продуктивности превосходит среднюю продуктивность. Таким образом, дополнительная единица ресурса увеличивает не только объем выпускаемой продукции, но и среднюю характеристику ресурсоотдачи. Так процесс повышения фондоотдачи происходит, когда вводятся в действие весьма прогрессивные, эффективные машины и приборы. Для линейной производственной функции коэффициент a _j численно равен величине дифференциальной продуктивности j -того фактора, а для степенной функции показатель степени a _j имеет смысл коэффициента эластичности по j -тому ресурсу.

2. Виды и типы производственных  функций

 

2.1 Изокванта и ее  типы

 

При моделировании потребительского спроса один и тот же уровень полезности различных комбинаций потребительских  благ графически отображается с помощью  кривой безразличия.

В экономико-математических моделях  производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту . Таким образом, производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.

 

 

Рис. 1. Изокванты, соответствующие различному объему производства

 

На рис. 1 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K ₁ единиц капитала и L ₁ единиц труда или K ₂ единиц капитала и L ₂ единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y ₂ = 300.

В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество X _c , называемое изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора справедливо равенство

 

 

 

Таким образом, для всех наборов  ресурсов, соответствующих изокванте, оказываются равными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты

 

 

 

Отсюда коэффициент эквивалентной  замены пары факторов j и k равен:

 

 

 

Полученное соотношение показывает, что если производственные ресурсы  замещаются в отношении, равном отношению  приростных продуктивностей, то количество производимой продукции остается неизменным. Нужно сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции

 

 

 

который вычисляется вдоль изокванты  при неизменном уровне затрат прочих производственных факторов. Величина s_jk представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на s_jk процентов, то коэффициент взаимной замены sjk изменится на один процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность s _jk = 1. Соответственно большие значения s_jk свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо.

Для степенных производственных функций  для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливо равенство s _jk = 1. В практике прогнозирования и предплановых расчетов часто используются функции постоянной эластичности замены (СЕS), имеющие вид:

 

 

 

Для такой функции коэффициент  эластичности замены ресурсов

 

 

и не меняется в зависимости от объема и отношения затрачиваемых ресурсов. При малых значениях s _jk ресурсы могут заменять друг друга лишь в незначительных размерах, а в пределе при s _jk = 0 они теряют свойство взаимозаменяемости и выступают в процессе производства лишь в постоянном отношении, т.е. являются взаимодополняющими. Примером производственной функции, описывающей производство в условиях использования взаимодополняющих ресурсов, является функция выпусказатрат, которая имеет вид

 

 

 

где a _j постоянный коэффициент ресурсоотдачи j -того производственного фактора. Нетрудно видеть, что производственная функция такого типа определяет выпуск по узкому месту на множестве используемых производственных факторов. Различные случаи поведения изоквант производственных функций для различных значений коэффициентов эластичности замены представлены на графике (рис. 2).

Представление эффективного технологического множества с помощью скалярной  производственной функции оказывается  недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтись единственным показателем, описывающим результаты деятельности производственного объекта, но необходимо использовать несколько ( М ) выходных показателей. В этих условиях можно использовать векторную производственную функцию

 

 

 

Рис. 2. Различные случаи поведения  изоквант

 

Важное понятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением

 

 

 

Аналогичное обобщение допускают  все остальные главные характеристики скалярных ПФ.

Подобно кривым безразличия изокванты  также подразделяются на различные  типы.

Для линейной производственной функции  вида

 

 

 

где Y объем производства; A , b ₁ , b ₂ параметры; K , L затраты капитала и труда, и полном замещении одного ресурса другим изокванта будет иметь линейную форму (рис. 3).

Для степенной производственной функции 

 

 

изокванты будут иметь вид кривых (рис. 4).

Если  изокванта отражает лишьодин технологический  способ производства данного продукта, то труд и капитал комбинируются  в единственно возможном сочетании (рис. 5).

 

Рис. 3. Изокванты линейного типа

Рис. 4. Изокванты степенной производственной функции

Рис. 45. Изокванты при жесткой дополняемости ресурсов

 

Рис. 6. Ломаные изокванты

 

Такие изокванты иногда называют изоквантами  леонтьевского типа по имени американского  экономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода inputoutput (затратывыпуск).

Ломаная изокванта предполагает наличие  ограниченного количества технологий F (рис. 6).

Изокванты подобной конфигурации используются в  линейном программировании для обоснования  теории оптимального распределения  ресурсов. Ломаные изокванты наиболее реалистично представляют технологические  возможности многих производственных объектов. Однако в экономической теории традиционно используют главным образом кривые изокванты, которые получаются из ломаных при увеличении числа технологий и увеличении соответственно точек излома.

 

2.2 Оптимальная комбинация ресурсов

 

Использование аппарата производственных функций дает возможность решения  задачи об оптимальном использовании  средств, предназначенных для приобретения производственных факторов.

Предположим, что факторы ( x ₁ , ..., x _N ) могут быть закуплены по ценам ( p ₁ , ..., p _N ), а объем имеющихся средств для приобретения составляет b (руб.). Тогда соотношение, описывающее множество допустимых наборов факторов, имеет вид

 

 

 

Граничная линия этого множества, соответствующая полному использованию  имеющихся средств, т.е.

 

 

 

называется изокостой, поскольку ей отвечают наборы, имеющие одинаковую стоимость b . Задача об оптимальном использовании средств формулируется так: требуется найти набор факторов, который дает наибольший выпуск продукции при ограниченных финансовых средствах b . Таким образом, требуется найти решение задачи: