Сущность, модели, границы применения метода производственной функции

 

 

Искомое решение находится из системы  уравнений:

 

 

 

где l множитель Лагранжа.

В частности, если число факторов N = 2, задача допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 7).

 

 

Рис. 7. Оптимальная комбинация ресурсов

 

Здесь отрезок АВ есть изокоста , кривая R изокванта, касающаяся изокосты в точке D , которая и соответствует оптимальному набору факторов ( ).

Полезно привести полное решение поставленной задачи для случая двух факторов, т.е. N = 2.

Пусть x ₁ = K капитал (основные фонды),

x ₂ = L труд (рабочая сила);

производственная  функция 

 

 

 

условие ограниченности ресурса 

 

 

 

где r цена использования машин и оборудования (т.е. услуг капитала), равная норме банковского процента; w ставка оплаты труда.

Условия оптимальности имеют вид 

 

а)

 

Это условие означает, что объем  используемого капитала должен быть принят на том уровне, когда маргинальная фондоотдача ( y / K ) равна норме процента; дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности;

 

б)

 

Это условие требует, чтобы количество занятой рабочей силы было взято на уровне, когда маргинальная производительность труда ( y / L ) равна ставке заработной платы, так как дальнейшее увеличение количества занятых приводит к убыткам (точка на рис. 8).

 

Рис. 8. Оптимальное количество занятых

 

Здесь угловой коэффициент касательной  в точке А равен w .

Для ПФ типа КоббаДугласа задача имеет вид

найти

 

 

 

при условии 

 

 

 

Получим следующее решение

 

 

 

 

Множитель характеризует здесь предельную продуктивность финансовых средств, т.е. показывает, на какую величину D y изменится максимальный выпуск продукции если объем средств b увеличится на малую единицу.

Заметим, что сумма эластичностей капитала (иa ) характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) приbтруда ( изменении масштаба производства, т.е. когда расход ресурсов ( K и L ) увеличивается в одинаковое число раз. Если a + b > 1, то отдача возрастает, если a + b = 1, то отдача постоянная, если a + b < 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх.

 

2.3 Функции предложения  и их свойства

 

Функция предложения S ( p ) описывает зависимость между рыночной ценой товара и его предложением на изолированном рынке этого товара. В общем случае следует исходить из того, что рассматриваемый продукт производится на достаточно большом количестве конкурирующих между собой предприятий. В такой ситуации естественно считать, что каждый производитель стремится к наибольшей прибыли, и его индивидуальный выпуск продукта увеличивается по мере роста цены на этот продукт. Но тогда и общее предложение товара на рынке S (p), как сумма индивидуальных выпусков, является возрастающей функцией цены, т.е. S' (p) > 0.

В более специфических ситуациях (олигополия, монополия) поведение предприятия  необязательно определяется стремлением  к максимальной прибыли, поскольку  при повышении цены производитель может обеспечить себе заметный прирост прибыли и без увеличения объема выпуска. Таким образом, строго говоря, должны быть исследованы случаи, когда S (p) = const или даже S' ( p ) < 0 (рис. 9).

На рис. 9 представлено семейство функций предложения. Линия AB соответствует совершенной конкуренции и стремлению производителей к получению максимальной прибыли, линия AC отвечает неизменному выпуску, который тем не менее дает возможность вести хозяйство с приличной прибылью в условиях несовершенной конкуренции; линия АD представляет снижающийся объем производства, что возможно в условиях монополии и резкого роста цен.

 

 

Рис. 9. Возрастающая, неизменная и убывающая функции предложения

 

В дальнейшем анализе в качестве основного рассматривается состояние  совершенной конкуренции и рост предложения в зависимости от роста цен. Для практических расчетов применяются функции предложения  двух основных видов, параметры которых определяются путем обработки статистических данных:

1) линейная функция 

 

 

2) степенная функция 

 

 

 

Коэффициент эластичности предложения  по цене ( E _Sp ) показывает, на сколько процентов увеличится предложение товара, если его цена вырастает на 1%.

Для линейной функции предложения 

 

 

где средние значения цены и предложения по таблице наблюдений.

Для степенной функции 

 

 

 

Для функции предложения, определяемой как решение рассмотренной ниже (5) задачи оптимизации прибыли (см. формулу  на с. 90, помеченную звездочкой), имеем

 

 

 

Эластичность предложения по цене

 

 

 

т.е. полностью определяется характером постоянных и переменных издержек.

В более общем случае объем предложения j -того товара рассматривается не только в зависимости от его цены ( p _j ), но и от цен на другие товары. В этой ситуации система функций предложения имеет вид

 

 

где n количество наименований товаров.

Товары i и j называются конкурирующими, если перекрестная эластичность

 

 

 

т.е. при увеличении цены p _i уменьшается выпуск j -того товара; товары являются комплектными, если

 

 

 

В этом случае рост производства одного товара необходимо вызывает увеличение выпуска другого.

3. Практическое применение производственной  функции

 

3.1 Моделирование издержек  и прибыли предприятия (фирмы)

 

В основе построения моделей поведения  производителя (отдельного предприятия  или фирмы; объединения или отрасли) лежит представление о том, что производитель стремится к достижению такого состояния, при котором ему была бы обеспечена наибольшая прибыль при сложившихся рыночных условиях, т.е. прежде всего при имеющейся системе цен.

Наиболее простая модель оптимального поведения производителя в условиях совершенной конкуренции имеет  следующий вид: пусть предприятие (фирма) производит один продукт в  количестве y физических единиц. Если p экзогенно заданная цена этого продукта и фирма реализует свой выпуск полностью, то она получает валовой доход (выручку) в размере

 

 

 

В процессе создания этого количества продукта фирма несет производственные издержки в размере C ( y ). При этом естественно считать, что C' ( y ) > 0, т.е. издержки возрастают с увеличением объема производства. Также обычно полагают, что C'' ( y ) > 0. Это означает, что дополнительные (маргинальные) издержки на производство каждой дополнительной единицы продукции возрастают по мере увеличения объема производства. Это предположение связано с тем, что при рационально организованном производстве, при малых объемах могут быть использованы лучшие машины и высококвалифицированные работники, которых уже не окажется в распоряжении фирмы,когда объем производства вырастет. На рис. 4.10 представлены типичные графики функций R ( y ) и C ( y ). Производственные издержки состоят из следующих составных частей:

1) материальные затраты C _m , в число которых входят расходы на сырье, материалы, полуфабрикаты и т.п.

Разность между валовым доходом  и материальными затратами называется добавленной стоимостью (условно чистой продукцией):

 

 

 

2) расходы на оплату труда C _L ;

 

 

Рис. 10. Линии выручки и издержек предприятия

 

3) расходы, связанные с использованием, ремонтом машин и оборудования, амортизация, так называемая оплата услуг капитала C _k ;

4) дополнительные расходы C _r , связанные с расширением производства, строительством новых зданий, подъездных путей, линий связи и т.д.

Совокупные производственные издержки:

 

 

 

Как уже было отмечено выше,

 

 

однако эта зависимость от объема выпуска ( у ) для разных видов издержек различна. А именно имеют место:

а) постоянные расходы C ₀ , которые практически не зависят от y , в т.ч. оплата административного персонала, аренда и содержание зданий и помещений, амортизационные отчисления, проценты за кредит, услуги связи и т.п.;

б) пропорциональные объему выпуска (линейные) затраты C ₁ , сюда входят материальные затраты C _m , оплата труда производственного персонала (часть C _L ), расходы по содержанию действующего оборудования и машин (часть C _k ) и т.п.:

 

 

 

где а обобщенный показатель затрат указанных видов в расчете на одно изделие;

в) сверхпропорциональные (нелинейные) затраты С ₂ , в составе которых выступают приобретение новых машин и технологий (т.е. затраты типа С _r ), оплата сверхурочного труда и т.п. Для математического описания этого вида затрат обычно используется степенная зависимость

 

 

 

Таким образом, для представления  совокупных издержек можно использовать модель

 

 

 

(Заметим, что условия C' ( y ) > 0, C'' ( y ) > 0 для этой функции выполнены.)

Рассмотрим возможные варианты поведения предприятия (фирмы) для  двух случаев:

1. Предприятие имеет достаточно большой резерв производственных мощностей и не стремится к расширению производства, поэтому можно полагать, что C ₂ = 0 и совокупные издержки являются линейной функцией объема выпуска:

 

 

 

Прибыль составит

 

 

 

Очевидно, что при малых объемах  выпуска 

 

 

 

фирма несет убытки, так как П < 0.

Здесь y _w точка безубыточности (порог рентабельности), определяемая соотношением

 

 

 

Если y > y _w , то фирма получает прибыль, и окончательное решение об объеме выпуска зависит от состояния рынка сбыта производимой продукции (см. рис. 10).

2. В более общем случае, когда С ₂ 0, имеются две точки безубыточности и причем положительную прибыль фирма получит, если объем выпуска y удовлетворяет условию

 

 

 

На этом отрезке в точке  достигается наибольшее значение прибыли. Таким образом, существует оптимальное решение задачи о максимизации прибыли. В точке А , соответствующей издержкам при оптимальном выпуске, касательная к кривой издержек С параллельна прямой линии дохода R .

Следует заметить, что окончательное  решение фирмы также зависит  от состояния рынка, но с точки  зрения соблюдения экономических интересов  ей следует рекомендовать оптимизирующее значение выпуска (рис. 11).

 

 

Рис. 11. Оптимальный объем выпуска

 

В общем случае, когда С ( у ) является нелинейной возрастающей и выпуклой вниз функцией (так как С' ( у ) > 0 и С'' ( у ) > 0) объема выпуска, ситуация полностью аналогична той, которая рассмотрена в пункте 2. По определению прибылью считается величина

 

 

Точки безубыточности и определяются из условия равенства прибыли нулю, а максимальное ее значение достигается в точке которая удовлетворяет уравнению

 

или

 

Таким образом, оптимальный объем  производства характеризуется тем, что в этом состоянии маргинальный валовой доход ( R ( y )) в точности равен маргинальным издержкам C ( y ).

В самом деле, если y < то R ( y ) > C ( y ), и тогда следует увеличить выпуск продукции, поскольку ожидаемый дополнительный доход превысит ожидаемые дополнительные издержки. Если же y > то R ( y ) < C ( y ), и всякое увеличение объема уменьшит прибыль, поэтому естественно рекомендовать уменьшить объем производства и придти в состояние y = (рис. 12).

 

 

Рис. 12. Точка максимума прибылии зона безубыточности

 

(*)

 

Нетрудно видеть, что при увеличении цены ( р ) оптимальный выпуск, а также прибыль увеличиваются, т.е.

 

 

Это верно также и в общем  случае, так как 

 

 

 

Пример. Фирма производит сельскохозяйственные машины в количестве у штук, причем объем производства в принципе может изменяться от 50 до 220 штук в месяц. При этом естественно увеличение объема производства потребует увеличения затрат как пропорциональных, так и сверхпропорциональных (нелинейных), поскольку потребуется приобрести новое оборудование и расширить производственные площади.

В конкретном примере будем исходить из того, что общие издержки (себестоимость) на производство продукции в количестве у изделий выражаются формулой

 

C ( y ) = 1000 + 20 y + 0,1 y ² (тыс. руб.).

 

Это означает, что постоянные издержки

 

C ₀ = 1000 (т. руб.),

 

пропорциональные затраты 

 

C ₁ = 20 y ,

 

т.е. обобщенный показатель этих затрат в расчете на одно изделие равен: а = 20 тыс. руб., а нелинейные затраты составят C ₂ = 0,1 y ² ( b = 0,1).

Приведенная выше формула для издержек является частным случаем общей  формулы, где показатель h = 2.

Для нахождения оптимального объема производства воспользуемся формулой точки максимума прибыли (*), согласно которой имеем:

 

 

 

Совершенно очевидно, что объем  производства, при котором достигается  максимальная прибыль, весьма существенно  определяется рыночной ценой изделия p .

В табл. 1 представлены результаты расчета оптимальных объемов при различных значениях цены от 40 до 60 тыс. рублей за изделие.

В первом столбце таблицы фигурируют возможные объемы выпуска у , второй столбец содержит данные о полных издержках С ( у ), в третьем столбце представлена себестоимость в расчете на одно изделие:

 

 

 

Таблица 1

Данные об объемах  выпуска, затратах и прибыли 

Объемы и затраты				Цены и прибыли
Y	C	AC	MC	40	42	44	50	54	60
50	2250	45	30	- 250	- 150	- 50	250	450	740
			33
80	3240	40,5	36	-40	+120	280	760	1080	1560
			38
100	4000	40	40	0	200	400	1000	1400	2000
			41
110	4410	40,1	42	- 10	210	430	1090	1530	2190
			43
120	4840	40,3	44	- 40	200	440	1160	1640	2360
			47
Продолжение таблицы 1
150	6250	41,7	50	- 250	50	350	1250	1850	2750
			52
170	7290	42,9	54	- 490	- 150	190	1210	1890	2910
			57
200	9000	45	60	- 1000	- 600	- 200	1000	1800	3000
			62
220	10240	46,5	64	- 1440	- 1000	- 560	760	1640	2960