Условие минимизации издержек при заданном объеме производства

Таким образом, при обеспечении  постоянного объема выпуска, соотношение замены одного фактора другим выражается предельной нормой технического замещения, при равенстве которой соотношению предельных продуктов факторов  достигается оптимальная их комбинация. 

Изокванты схожи по определению  с кривыми безразличия. Так же как и кривые безразличия, отражающие альтернативные варианты потребительского выбора продуктов, обеспечивающие определенный уровень полезности, изокванты отражают альтернативные варианты затрат ресурсов для производства определенного объема продукции.

Изокванты строятся на основе эмпирических данных, полученных в результате анализа того или иного производственного процесса и несут в себе его характеристики. Во-первых, сама форма изокванты отражает возможности замещения факторов, т.е. пределы возможности комбинаций факторов. Во-вторых, изокванта показывает максимальное значение выпуска для каждой отдельной комбинации факторов. В-третьих, являясь вогнутой кривой, она отражает действие закона убывающей отдачи (по мере увеличения одного фактора и относительном уменьшении другого, предельная производительность первого падает). В-четвертых, изокванты имеют отрицательный наклон, что свидетельствует о разнонаправленном изменении факторов (увеличение одного предполагает уменьшение другого).

 

 

K

                                          K₁ 1

 K₂  ²                                 Q = const

              0 L₁ L₂ L

Рисунок 1.3 - Зона тех замещения (субституции)

Примечание - Источник: [8, с. 143]

На рис. 1.3. показано, что увеличение затрат труда с L₁, до L₂  компенсируется уменьшением затрат с K₁ до K₂. Это означает, что с увеличением применения труда на  ∆L выпуск продукции возрастет на ∆LЧMP_L, а уменьшение применения капитала на  ∆K сокращает объем выпуска на ∆K Ч MP_K. Следовательно, увеличение количества применяемого труда полностью компенсируется сокращением применения капитала, если выполняется равенство ∆LMP_L= ∆ΚΜΡ_Κ [8, с. 143].

Очевидно, что по мере замены капитала трудом отдача от труда (т.е. производительность труда) снижается. Аналогичная ситуация возникает в случае замены труда капиталом. Это означает, что

 

 ∆LЧMP_L+ ∆K Ч MP_K= 0,                                        (1.2)

 

где MP_L – предельный продукт труда (изменение совокупного продукта фирмы в результате изменения количества труда на 1 ед.);

MP_K – предельный продукт капитала (изменение совокупного продукта фирмы в результате изменения использования капитала на 1 ед.) [10, с. 167].

Возможности замещения факторов предопределены особенностями технологии. В зависимости от значений MRTS_LK  можно выделить несколько видов производственной функции рис.4.

        K       K

 

 L L

 

   А) для функции  Q = aK + bL Б) для функции Q = min(L/C₁; К/C₂)

 

   K                      K

 

 

                                                             L                                                                                     L

   В) для функции Q = AK^A L^B                     Г) для функции

Рисунок 1.4 - Типы производственных функций

Примечание - Источник: [1, с. 154]

В случае идеальной взаимозаменяемости факторов (А), когда один из них может быть полностью заменен другим, т.е. производство может осуществляться при помощи одного фактора (продажа мороженного через автомат или продавца), MRTS_LK = -1, и будет постоянной во всех точках изокванты. Для производства с фиксированными пропорциями факторов – производственная функция «затраты – выпуск» (Б) – замещение одного фактора другим невозможно и MRTS_LK = 0. Для производственной функции Кобба-Дугласа (В) MRTS_LK = ∆K/∆L и характеризуется убывающей по мере движения вдоль изокванты степенью замещения. Для производственной функции с постоянной эластичностью замещения – CES – функции (Г) MRTS_LK = -b. [1, с. 154].

Производственные  функции позволяют количественно  проанализировать важнейшие экономические  зависимости в сфере производства. Они дают возможность оценить среднюю и предельную эффективность различных ресурсов производства, эластичность выпуска по различным ресурсам, предельные нормы замещения ресурсов, эффект от масштаба производства и многое другое.

Пример 1. Предположим, что процесс производства описывается с помощью функции выпуска

 

.                                                (1.3)

 

Оценим основные характеристики этой функции для  способа производства, при котором  К=400, а L=200.

1. Предельные производительности факторов.

Для расчета  этих величин определим частные  производные функции по каждому  из факторов:

 

.

 

Таким образом, предельная производительность фактора  труд в четыре раза превышает аналогичную  величину для фактора капитал.

2. Эластичность производства.

Эластичность  производства определяется суммой эластичностей  выпуска по каждому фактору, то есть

 

.

 

3. Предельная норма замещения ресурсов.

Выше в  тексте эта величина обозначалась и равнялась . Таким образом, в нашем примере

 

=-0,4/0,1=-4,

 

то есть для  замещения единицы труда в  этой точке необходимы четыре единицы  ресурсов капитала.

4. Уравнение изокванты.

Для определения  формы изокванты необходимо зафиксировать  значение объема выпуска (Y). Пусть, например, Y=500. Для удобства примем L функцией К, тогда уравнение изокванты примет вид

 

.

 

Предельная  норма замещения ресурсов определяет тангенс угла наклона касательной  к изокванте в соответствующей  точке. Используя результаты п. 3, можно  сказать, что точка касания расположена  в верхней части изокваны, так  как угол достаточно велик.

Пример 2. Рассмотрим функцию Кобба-Дугласа в общем виде

 

.                                                   (1.4)

 

Предположим, что K и L удваиваются. Таким образом, новый уровень выпуска (Y) запишется следующим образом:

.

 Определим  эффект от масштаба производства  в случаях, если  >1, =1 и <1.

Если, например, =1,2, а =2,3, то Y увеличивается больше, чем в два раза; если =1, а =2, то удвоение К и L приводит к удвоению Y; если =0,8, а =1,74, то Y увеличивается меньше, чем в два раза.

Таким образом, в примере 1 мог наблюдаться  постоянный эффект от  масштаба производства.

Пример 3. Пусть дана производственная функция, связывающая объем выпуска продукции предприятия с численностью рабочих , производственными фондами и объемом используемых станко-часов

.                                                      (1.5)

Необходимо  определить максимальный выпуск продукции  при ограничениях

,

.

Решение. Для решения задачи составляем функцию Лагранжа

,

дифференцируем  ее по переменным , , , и полученные выражения приравниваем к нулю:

Из  первого и третьего уравнений  следует, что  , поэтому

откуда получим  решение  , при котором у=2. Поскольку, например, точка (0,2,0) принадлежит допустимой области и в ней у=0, то делаем вывод, что точка (1,1,1) – точка глобального максимума. Экономические выводы из полученного решения очевидны [4, с. 132].

Таким образом, подводя  итог вышесказанному кратко сформулируем основные выводы:

1. Теория производства изучает соотношение между количеством применяемых ресурсов и объемом выпуска.
2. Основным инструментом анализа производства является производственная функция, которая описывает количественную зависимость между выпуском продукции и затратами ресурсов. Один и тот же объем выпуска может быть достигнут при различных комбинациях ресурсов (технологиях).
3. Линия на графике, показывающая разные сочетания производственных ресурсов и данный объем выпуска, называется изоквантой. Эти сочетания ресурсов (технологии) являются наиболее эффективными, т.к. любая точка на изокванте соответствует минимальным объемам ресурсов, необходимых для получения заданного объема готовой продукции. Изокванта обычно выпукла к началу координат вследствие предполагающейся взаимозаменяемости ресурсов. Когда ресурсы являются взаимодополняемыми, изокванта имеет L -образную форму. Когда ресурсы представляют собой совершенные субституты, прямая принимает форму прямой линии. Совокупность изоквант, отражающая максимально достижимый  выпуск продукции при любом заданном наборе факторов производства называется картой изоквант.

В заключение отметим, что производственные функции  можно использовать для экстарполяции экономического эффекта производства в заданный период будущего. Как и в случае обычных эконометрических моделей, экономический прогноз начинают с оценки прогнозных значений факторов производства. При этом можно использовать наиболее подходящий в каждом отдельном случае способ экономического прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПОНЯТИЕ ОБЩЕГО, СРЕДНЕГО И  ПРЕДЕЛЬНОГО   ПРОДУКТА, ИХ ИЗМЕРЕНИЕ И ВЗАИМОСВЯЗЬ. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПРОДУКТ И            ОТДАЧА ОТ МАСШТАБА

 

Для того чтобы  отразить влияние переменного фактора  на производство, вводятся понятия  совокупного (общего), среднего и предельного  продукта.

Совокупный (общий) продукт переменного  фактора производства - это количество продукции, производимой при определенном количестве этого фактора и при прочих неизменных факторах производства.

Средний продукт переменного фактора  производства - это отношение совокупного продукта переменного фактора к использованному количеству этого фактора. Например, средний продукт труда AP(L) - это совокупный продукт труда ТР(L), деленный на количество часов труда (L):

 

                                                 (2.1)

 

По сути представленная величина представляет собой производительность труда или величину выпуска продукции  за каждый час труда, в некоторых  случаях расчет трудового фактора производится в зависимости от количества работников, труд которых применяется в данном производстве [8, с. 145].

Предельный продукт переменного фактора производства - это изменение при прочих равных условиях совокупного продукта этого фактора в соответствии с изменением его используемого количества. Например, предельный продукт труда MP(L) есть отношение изменения совокупного продукта труда ТР(1) - ТР(0) к изменению количества используемого труда L(1) - L(0), где ТР величина текущего и базового совокупного продукта, а L - величина текущего и базового количества труда:

 

                                                     (2.2)

 

Ниже на рисунке  нами изображены кривые совокупного  продукта, а также среднего и предельного  продуктов. Кривая совокупного (общего) продукта показывает, как изменяется выпуск продукции при изменении одного из факторов, когда другие остаются неизменными. При движении по кривой общего продукта производство может быть увеличено, если соотношение между переменным фактором и постоянными увеличивается. В нашем примере форма кривой общего продукта при изменяющихся затратах труда (L) и постоянных затратах капитала будет отражать закон убывания предельной производительности фактора.

Кривая среднего продукта показывает, что он достигает  максимума при использовании  количества труда, соответствующего точке  касания луча, выходящего из начала координат и кривой совокупного продукта[1, с. 155].

Кривая предельного  продукта показывает, что предельный продукт достигает своего максимума раньше, чем средний продукт. При этом важно отметить, что предельный продукт представляет собой прирост выпуска продукции за единицу переменного фактора, если эта величина больше предыдущей, то средний продукт увеличивается. Т.е. действует и обратная закономерность: если предельный продукт меньше среднего продукта, то средний продукт будет снижаться.

 

. 

Рисунок 2.1-  Кривые продукта

Примечание - Источник: [8, с. 146]

Важной закономерностью, которая управляет развитием  производства короткого периода является закон убывания предельной производительности фактора [8, с. 146].

Закон убывания предельной производительности устанавливает, что при увеличении использования  одного фактора, в то время, как другие остаются постоянными, предельный продукт переменного фактора будет уменьшаться. Следовательно, согласно этого закона увеличение производства, достигаемое при равномерном приросте переменного фактора, будет снижаться по мере роста соотношения между величинами переменного и постоянных факторов. Отсюда, увеличение выпуска продукции ограничено, если изменяется только один фактор.