Условие минимизации издержек при заданном объеме производства

 

 

                                            w₁Dx₁ + w₂Dx₂ ≥ 0.                                          (3.5)

 

Теперь рассмотрим изменение (—Dx₁, —Dx₂), при котором также производится постоянный объем выпуска и издержки также не могут снижаться. Это подразумевает, что 

 

 

                                          —w₁Dx₁ — w₂Dx₂ ≥ 0.                                        (3.6) 

 

Сложив выражения (3.5) и (3.6), получим  

 

 

                                            w₁Dx₁ + w₂Dx₂ = 0.                                          (3.7) 

 

Решение уравнений для Dx₂/Dx₁ : 

 

= — = — ,                                     (3.8) 

 

а это не что иное, как условие  минимизации издержек, выведенное выше путем геометрических рассуждений.

Обратите внимание на некоторое сходство рис. 3.1 с решением задачи потребительского выбора, графически изображенным ранее. Хотя эти решения и выглядят одинаково, на самом деле они относятся к разным задачам. В задаче потребительского выбора прямая являлась бюджетным ограничением, и потребитель в поисках наиболее предпочитаемого положения двигался вдоль бюджетного ограничения. В задаче с производителем изокванта представляет собой технологическое ограничение, и производитель в поисках оптимального положения перемещается вдоль изокванты [8, с. 149].

Выбор количеств  факторов, минимизирующих издержки фирмы, вообще говоря, зависит от цен факторов и от того объема выпуска, который  фирма хочет производить, поэтому записываем эти выбранные количества факторов в виде x₁(w₁, w₂, y) и x₂(w₁, w₂, y). Это так называемые функции условного спроса на факторы, илифункции производного спроса на факторы. Они показывают взаимосвязь между ценами и выпуском и оптимальный выбор фирмой количества факторов при условии производства фирмой заданного объема выпускаy.

Обратите особое внимание на различие между функциями условного спроса на факторы и функциями спроса на факторы, максимизирующего прибыль, которые были рассмотрены в предыдущей главе. Функции условного спроса на факторы показывают выбор, минимизирующий издержки при заданном объеме выпуска; функции же спроса на факторы, максимизирующего прибыль, показывают выбор, максимизирующий прибыль при заданной цене фактора.

Функции условного спроса на факторы, как правило, не являются непосредственно наблюдаемыми: они представляют собой гипотетическое построение и отвечают на вопрос, сколько каждого фактора использовалабы фирма, если бы хотела произвести заданный объем выпуска самым дешевым способом. Однако функции условного спроса на факторы полезны в качестве способа отделения задачи определения оптимального объема выпуска от задачи определения метода производства, минимизирующего издержки [4, с. 135].

Пример:  Минимизация издержек для случаев конкретных технологий.  Предположим, что рассматриваем технологию, при которой факторы производства являются совершенными комплементами, так что f(x₁, x₂) = = min {x₁, x₂}.Тогда, если хотим произвести y единиц выпуска, нам явно потребуется y единиц x₁ и y единиц x₂. Следовательно, минимальные издержки производства будут равны 

 

c(w₁, w₂, y) = w₁y + w₂y = (w₁ + w₂)y.                                     (3.9) 

 

Что можно сказать о случае технологии с использованием совершенных субститутов f(x₁, x₂) = x₁ + x₂.Поскольку товары 1 и 2 выступают в производстве совершенными субститутами, ясно, что фирма будет использовать тот из них, который дешевле. Поэтому минимальные издержки производства y единиц выпуска составят w₁y или w₂y в зависимости от того, какая из этих двух величин меньше. Другими словами:  

 

c(w₁, w₂, y) = min{w₁y, w₂y} = min{w₁, w₂}y.                         (3.10) 

 

Наконец, рассмотрим технологию Кобба—Дугласа, описываемую формулой f(x₁, x₂) =  . В этом случае можем применить технику дифференциального исчисления, чтобы показать, что функция издержек примет вид 

 

c(w₁, w₂, y) = K ,                                       (3.11) 

 

где K есть константа, зависящая от a и от b. Подробности этого исчисления представлены в приложении.

Предположение о том, что фирма  выбирает факторы таким образом, чтобы минимизировать издержки производства выпуска, имеет последствия, касающиеся изменения наблюдаемого выбора по мере изменений цен факторов.

Предположим, что из наблюдений нам  известны два набора цен ( ) и ( ) и связанные с ними выбранные фирмой количества факторов ( ) и ( ). Предположим также, что с помощью каждой из этих выбранных комбинаций факторов производится один и тот же объем выпуска y. Тогда, если каждая выбранная комбинация факторов есть комбинация, минимизирующая издержки при соответствующих ценах, то должно соблюдаться 

 

 

                                          (3.12)

и  

.                                      (3.13)

 

Если фирма всегда выбирает такой  способ производства y единиц выпуска, который минимизирует ее издержки, то комбинации факторов, выбранные фирмой в моменты времени t и s, должны удовлетворять указанным неравенствам. Запишем второе неравенство в виде 

 

— —   ≤ — —                                     (3.14) 

 

и прибавим его к первому неравенству, получив при этом неравенство 

 

( —  )  + ( —  )  ≤ ( —  )  + ( —  ) ,             (3.15) 

 

которое может быть преобразовано  к виду 

( —  ) ( — ) + ( —  ) ( — ) ≤ 0.                  (3.16) 

 

Используя для изменения спроса на факторы и цен факторов D, получаем 

 

Dw₁Dx₁ + Dw₂Dx₂ ≤ 0.                                            (3.17) 

 

Это неравенство следует исключительно  из предпосылки о поведении, минимизирующем издержки. Оно налагает ограничения на возможные изменения в поведении фирмы при изменении цен факторов и сохранении постоянного объема выпуска.

Например, если цена первого фактора  возрастает, а цена второго —  остается постоянной, то Dw₂ = 0, так что неравенство приобретает вид 

 

Dw₁Dx₁ = 0.                                                      (3.18) 

 

Если цена фактора 1 возрастает, то, как следует из данного неравенства, спрос на фактор 1 должен сокращаться; следовательно, кривая условного спроса на фактор должна иметь отрицательный наклон[1, с. 159].

Аналогичным образом, если фирма решает производить больше выпуска и  цены факторов остаются постоянными, то издержки фирмы должны будут расти. Вспомним, что технология характеризуется возрастающей, убывающей или постоянной отдачей от масштаба в зависимости от того, является ли f(x₁, x₂) величиной большей, меньшей или равной tf(x₁, x₂) для всех t > 1. Оказывается, существует отчетливо прослеживаемая взаимосвязь между типом отдачи от масштаба, характеризующим производственную функцию, и поведением функции издержек [10, с. 168].

Предположим вначале, что  имеем  дело с естественным случаем постоянной отдачи от масштаба. Используем каждого фактора просто в y раз больше, чем для производства одной единицы выпуска. Это означает, что минимальные издержки производства y единиц выпуска составят просто c(w₁, w₂, 1)y. В случае постоянной отдачи от масштаба функция издержек является линейной по выпуску.

Если фирма решает произвести выпуск в два раза больше, она может  сделать это при менее чем удвоенных издержках, при условии, что цены факторов остаются постоянными. Это естественное следствие идеи возрастающей отдачи от масштаба: если фирма удваивает используемое количество факторов, то она более чем удвоит выпуск. Следовательно, если она хочет произвести выпуск вдвое больше, она сможет сделать это, используя менее чем в два раза больше каждого фактора.

Однако удвоение используемого  количества каждого фактора увеличит издержки ровно в два раза. Поэтому увеличение используемого количества каждого фактора менее чем вдвое приведет к возрастанию издержек менее чем в два раза: это говорит нам о том, что функция издержек с ростом выпуска будет возрастать медленнее, чем при линейной зависимости [8, с. 151].

Аналогичным образом, если технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба, функция издержек с ростом выпуска будет возрастать быстрее, чем при линейной зависимости. С удвоением выпускаиздержки более чем удвоятся.

Эти факты могут быть выражены с  позиций поведения функции средних издержек. Функция средних издержек — это просто издержки на единицу производства y единиц выпуска: 

 

 

 AC(y) = .                                             (3.19) 

 

Если технология характеризуется  постоянной отдачей от масштаба, то, как мы видели выше, функция издержек имеет вид c(w₁, w₂, y) = c(w₁, w₂, 1)y . Это означает, что функция средних издержек будет иметь вид 

 

AC(w₁, w₂, y) =   = c(w₁, w₂, 1).                          (3.20)

 

 

 Иными словами, издержки на единицу выпуска будут постоянными, независимо от того, какой объем выпуска захочет производить фирма.

Если технология характеризуется  возрастающей отдачей от масштаба, то издержки с ростом выпуска растут медленнее, чем при линейной зависимости, так что средние издержки демонстрируют убывающую зависимость от выпуска: с возрастанием выпуска средние издержки производства имеют тенденцию к снижению.

Аналогичным образом, если технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба, средние издержки с ростом выпуска будут возрастать.

Данная технология может иметь области возрастающей, постоянной или убывающей отдачи от масштаба — выпуск при различных объемах производства может расти быстрее с той же скоростью или медленнее, чем масштабы действий фирмы. Подобным же образом при различных объемах производства функция издержек может убывать, оставаться постоянной или возрастать.

С настоящего же момента нас больше всего будет интересовать поведение  функции издержек относительно переменной выпуска. Будем представлять цены факторов большей частью фиксированными на некоторых предопределенных уровнях и считать издержки зависящими только от выбора фирмой объема выпуска. Функция издержек определяется как минимальные издержки получения данного объема выпуска. Часто бывает важно отличать минимальные издержки для случая, когда фирма может изменять количества всех используемых ею факторов производства, от минимальных издержек для случая, когда фирма может изменять количества лишь некоторых факторов производства.

Мы определили короткий период как  период, в котором некоторые из факторов производства должны использоваться в постоянном количестве. В длительном периоде все факторы производства могут изменяться. Функцию краткосрочных издержек определяют как минимальные издержки производства данного объема выпуска при изменении количеств лишь переменных факторов производства. Функция долгосрочных издержек показывает минимальные издержки производства данного объема выпуска при изменении всех факторов производства [4, с. 136].

Предположим, что в коротком периоде  количество фактора 2 фиксировано на каком-то предопределенном уровне  , но в длительном периоде оно может изменяться. Тогда функция краткосрочных издержек определяется задачей

 

 

 c_s(y,  ) = min w₁x₁ + w₂                                                 (3.21)

 

Обратите внимание, что в общем  случае минимальные издержки производства y единиц выпуска в коротком периоде будут зависеть от количества и стоимости имеющегося постоянного фактора.

В случае двух факторов производства эту задачу минимизации решить нетрудно: просто находим наименьшее количество x₁, такое, что f(x₁,  ) = y. Однако если имеется много факторов производства, являющихся в коротком периоде переменными, решение задачи минимизации издержек потребует более сложных расчетов.

Функция краткосрочного спроса на фактор 1 есть то количество фактора 1, которое  минимизирует издержки. В общем случае это количество зависит от цен  факторов, а также от количеств  постоянных факторов, так что записываем функции краткосрочного спроса на факторы как 

 

x₁ = 

(w₁, w₂,  , y),

x₂ = 

.

 

Из этих уравнений следует, например, что если в коротком периоде площади производственного здания постоянны, то число рабочих, которое хочет нанять фирма при любом заданном наборе цен и выбранном объеме выпуска, будет, как правило, зависеть от площадей здания [10, с. 169].

Обратите внимание, что согласно определению функции краткосрочных  издержек 

 

c_s(y, 

) = w₁ (w₁, w₂,  , y) + w₂ . 

 

Это выражение подтверждает, что  минимальные издержки производства выпуска y есть издержки, связываемые с использованием комбинации факторов производства, минимизирующей издержки. Это верно по определению, но тем не менее оказывается полезным.

Функция долгосрочных издержек в этом примере определяется задачей 

 

c_s(y) = min w₁x₁ + w₂x₂