Матемаико-статистические методы исследования в педагогике

Использование ПК 

Использование компьютера при анализе результатов  педагогических экспериментов, несомненно, целесообразно. Однако использовать статистические критерии, "зашитые" в пакеты программ  следует осторожно.  Все  четыре  предлагаемых  к  использованию  для  обработки  результатов  педагогического эксперимента статистических критерия (Крамера-Уэлча, Вилкоксона-Манна-Уитни, x² и Фишера) корректно  реализованы  в  профессиональных  статистических  пакетах,  среди  которых  можно  выделить  и рекомендовать  такие  наиболее  распространенные  пакеты  статистического  анализа  как:  Statistica, StatGraphics  и SPSS.  Однако,  упомянутые  программы,  во-первых,  являются  лицензионными и стоят достаточно дорого. Во-вторых, они достаточно сложны и требуют значительных временных затрат для своего  освоения.  Наряду  с  этим,  существуют  инструменты  статистического  анализа  в  электронных таблицах Microsoft Excel, входящих в стандартный комплект Microsoft Office и установленных, наверное,  на  любом  современном  компьютере. Однако,  к  сожалению,  ни  один  из  четырех  рекомендуемых статистических  критериев  не  реализован  в  Excel,  поэтому  можно  посоветовать  производить  расчет эмпирических значений критериев вручную  (все необходимые формулы приведены ниже), используя компьютер или калькулятор  для получения  описательной  статистики  и  автоматизации  расчетов.

    

Методы  обработки данных и примеры. 

Приведем  методики анализа данных для выделенных выше шести  типовых  задач (см.  таблицу 5): описательная статистика, анализ совпадений и различий характеристик экспериментальной и контрольной групп на основании измерений, проведенных в порядковой шкале или шкале отношений. В качестве иллюстрации рассмотрим реализацию этих методик для числового примера (см. таблицы 1 и 4).

     Описательная  статистика. В  практических  задачах  обычно  имеется   совокупность  наблюдений (десятки,  сотни,  а  иногда  –  тысячи  результатов  измерений  индивидуальных  характеристик),  поэтому возникает задача компактного описания имеющихся данных. Для этого используют методы описательной статистики – описания результатов с помощью различных агрегированных показателей и графиков. Кроме того, некоторые показатели описательной статистики используются в статистических критериях при определении достоверности совпадений и/или различий характеристик  экспериментальной и контрольной группы.

     Для результатов измерений в  шкале отношений (задача 1.1 – см. таблицу 5) показатели описательной  статистики можно разбить на несколько групп:

- показатели  положения описывают положение  экспериментальных данных на  числовой оси. Примеры таких  данных – максимальный и минимальный  элементы выборки, среднее значение, медиана, мода и др.;

- показатели  разброса описывают степень разброса данных относительно своего центра (среднегозначения). К ним относятся: выборочная дисперсия, разность между минимальным и максимальным элементами (размах, интервал выборки) и др.

- показатели  асимметрии: положение медианы относительно среднего и др.

- гистограмма и др.

     Данные показатели используются для наглядного представления и первичного ("визуального") анализа результатов измерений характеристик экспериментальной и контрольной группы. Приведем формулы расчета основных показателей. Среднее арифметическое  x  выборки {xi}i = 1…N (выборочное среднее) рассчитывается следующим образом:

 

     В компьютерной программе Microsoft Excel для Windows описательная статистика  получается применением  инструмента   анализа  данных "Описательная  статистика" (Сервис/Анализ  данных/Описательная  статистика). Описательная  статистика  для  первого  столбца  таблицы  1 (числа  правильно решенных задач в контрольной группе до начала эксперимента) приведена в таблице 6. 

Таблица 6

  Описательная статистика числа правильно решенных задач в контрольной группе до начала эксперимента (см. первый столбец таблицы 1)

 

     Целый ряд приведенных в таблице  6 показателей описательной статистики  педагогу-исследователю не понадобятся  (далее используются только среднее (формула (1), первая строка таблицы 6), дисперсия (формула (2), шестая строка таблицы 6) и "счет" (объем выборки) – последняя строка таблицы 6).          Тем не менее, мы приводим все показатели, которые автоматически выводит "Описательная  статистика" в компьютерной  программе  Microsoft Excel  для Windows (таблица  6  экспортирована  из  Excel),  чтобы уважаемый читатель не терялся перед экраном компьютера.

     Гистограмма  в  Excel  получается  применением  инструмента   анализа  данных "Гистограмма" (Сервис/Анализ данных/Гистограмма). Гистограмма числа правильно решенных задач в контрольной группе до начала эксперимента (первый столбец таблицы 1) представлена на рисунке 2. 
 

Рис. 2. Гистограмма  числа правильно решенных задач  в контрольной группе

до начала эксперимента ("частота" – число  элементов выборки,

попавших  в заданный диапазон, называемый в Excel "карманом") 

     Рассмотрим  теперь  показатели  описательной  статистики  для   данных,  измеренных  в  порядковой  шкале.

Для результатов  измерений в порядковой шкале (задача 2.1 – см. таблицу 5) при небольшом числе градаций единственным информативным показателем описательной статистики является гистограмма.

     Для визуального (качественного)  сравнения экспериментальной и  контрольной групп удобно строить для них совместные гистограммы. Например, по результатам таблицы 4 (см. выше) можно построить несколько парных  гистограмм,  на  которых  отложены  одновременно  частоты  для  двух  групп (например, контрольной и экспериментальной). На рисунках 3 и 4 приведены две из них – позволяющие сравнивать контрольную и экспериментальную группу до начала и после окончания эксперимента (на самом деле визуальный анализ не дает возможности сказать, значимо ли различаются данные выборки – для  этого  необходимо  использовать  статистические  методы  –  см.  ниже). Для  их  построения  сначала перейдем от таблицы 4 к таблице 7, отличающейся от первой тем, что в ее ячейках стоят не абсолютное число членов  той или иной  группы, набравших соответствующий балл, а доля (в процентах) членов группы, получивших данный балл, так как подобное преобразование (деление на одно и то же число – количество  членов  в  данной  группе)  позволяет  качественно  сравнивать  группы  разных  размеров (например, разного количества учащихся). Затем строим гистограммы в компьютерной программе MicrosoftExcel для Windows (Меню/Вставка/Диаграмма) – см. рисунки 3 и 4, на которых по вертикали отложен процент членов той или иной группы, набравших соответствующий балл. 
 
 

Таблица 7

Результаты измерений уровня знаний в контрольной

и экспериментальной  группах до и после эксперимента 
 
 

 

     Таким образом, описательная  статистика,  во-первых, позволяет  представить  результаты педагогического   эксперимента в компактном и  информативном  виде, что дает  возможность проводить качественный анализ исследуемых объектов. Во-вторых, ряд показателей описательной статистики используется в количественном анализе (при применении статистических критериев – см. ниже).

Рис. 3. Гистограммы  контрольной и экспериментальной групп до начала эксперимента 

Рис. 4. Гистограммы  контрольной и экспериментальной  групп после окончания эксперимента 

     Завершив рассмотрение показателей  описательной статистики, перейдем  к общей методике определения  степени достоверности совпадений и различий, а затем опишем ее применение сначала для данных, измеренных в шкале отношений, а затем – для данных, измеренных в порядковой шкале. 

Общие подходы к определению  достоверности  совпадений и различий. 

     Как отмечалось  выше, типовой  задачей  анализа  данных  в  педагогических  исследованиях  является  установление  совпадений или  различий  характеристик  экспериментальной  и  контрольной  группы.  Для  этого  формулируются статистические гипотезы:

- гипотеза  об отсутствии различий (так называемая нулевая гипотеза);

- гипотеза  о значимости различий (так называемая  альтернативная гипотеза).

     Для принятия  решений  о   том,  какую  из  гипотез (нулевую   или  альтернативную)  следует   принять, используют  решающие  правила  –  статистические  критерии. То  есть,  на  основании  информации  о результатах наблюдений (характеристиках членов экспериментальной и контрольной группы) вычисляется  число,  называемое  эмпирическим  значением  критерия. Это  число  сравнивается  с  известным (например, заданным таблично) эталонным числом, называемым критическим значением критерия. Критические значения приводятся, как правило, для нескольких уровней значимости. Уровнем значимости называется вероятность ошибки, заключающейся в отклонении (не принятии) нулевой гипотезы,  то  есть  вероятность  того,  что  различия  сочтены  существенными,  а  они  на  самом  деле  случайны. Обычно используют уровни значимости (обозначаемые a), равные 0,05, 0,01 и 0,001. В педагогических исследованиях обычно ограничиваются значением 0,05, то есть, грубо говоря, допускается не более чем 5% возможность ошибки.

     Если полученное исследователем  эмпирическое значение критерия  оказывается меньше или равно  критическому,  то принимается  нулевая  гипотеза  –  считается,  что на  заданном  уровне  значимости (то есть  при том значении  a,  для которого  рассчитано  критическое значение  критерия)  характеристики экспериментальной и контрольной групп совпадают. В противном случае, если эмпирическое значение критерия  оказывается  строго  больше  критического,  то  нулевая  гипотеза  отвергается  и  принимается альтернативная  гипотеза  –  характеристики  экспериментальной  и  контрольной  группы  считаются  различными с достоверностью различий 1 – a. Например, если a = 0,05 и принята альтернативная гипотеза, то достоверность различий равна 0,95 или 95%.

     Другими словами, чем меньше  эмпирическое значение критерия (чем левее оно находится от  критического значения), тем больше  степень совпадения характеристик  сравниваемых объектов. И наоборот,  чем  больше  эмпирическое  значение  критерия (чем  правее  оно  находится  от  критического  значения), тем сильнее различаются характеристики сравниваемых объектов. В дальнейшем мы ограничимся уровнем значимости a = 0,05, поэтому, если эмпирическое значение критерия  оказывается меньше или равно критическому,  то можно  сделать  вывод, что "характеристики  экспериментальной и контрольной  групп  совпадают  с  уровнем  значимости  0,05".

     Если  эмпирическое  значение  критерия оказывается строго больше критического, то можно сделать вывод,  что "достоверность различий  характеристик экспериментальной и контрольной групп равна 95%".

    Опишем методики расчета эмпирических  значений критериев для двух  типовых задач анализа данных – сравнения выборок, содержащих данные, измеренные в шкале отношений и порядковой шкале. 

Методика  определения  достоверности  совпадений  и  различий  для  экспериментальных  данных, измеренных  в шкале  отношений. 

Рассмотрим  случай (см.  описание  исходных  данных  выше  в пятом разделе), когда для измерений используется шкала отношений. Предположим, что имеется экспериментальная группа, состоящая из N человек, и контрольная группа, состоящая из M человек. Допустим, что  в результате измерения одного и  того же показателя  с помощью  одной и  той же процедуры измерений  были  получены  следующие  данные:  x = (x1, x2, …, xN)  –  выборка  для  экспериментальной группы  и  y = (y1, y2, …, yM)  –  выборка  для  контрольной  группы,  где  xi  –  элемент  выборки  –  значение

исследуемого  показателя у  i-го члена  экспериментальной  группы,  i = 1, 2, …, N, а  yj –  значение исследуемого показателя у j-го члена  контрольной группы, j = 1, 2, …, M. Так  как измерения производились  в шкале отношений, то {xi} и {yj} – положительные, в том числе, возможно – целые, числа, для которых имеют смысл все арифметические операции. В качестве примера будем рассматривать результаты измерений уровня  знаний  в контрольной и экспериментальной группах до  и после эксперимента (см. таблицу 1) – количество правильно решенных задач.

     Для данных, измеренных в шкале  отношений, для проверки гипотезы  о совпадении характеристик двух  групп целесообразно использование  либо критерия Крамера-Уэлча,  либо критерия Вилкоксона-Манна-Уитни.  Критерий  Крамера-Уэлча предназначен  для проверки  гипотезы  о равенстве средних (строго говоря – математических ожиданий) двух выборок, критерий Вилкоксона-Манна-Уитни является более "тонким" (но и более трудоемким) – он позволяет проверять гипотезу о том, что две выборки