Матемаико-статистические методы исследования в педагогике

"одинаковы" (в том числе, что совпадают  их средние, дисперсии и все  другие показатели).

     Критерий Крамера-Уэлча. Эмпирическое  значение  данного  критерия  рассчитывается  на  основании  информации об объемах N и М  выборок x и y, выборочных средних  x  и  y  и выборочных дисперсиях Dx и Dy сравниваемых выборок (эти значения могут быть вычислены вручную по формулам (1)-(2) или с помощью инструмента "Описательная статистика" в компьютерной программе Microsoft Excel для Windows – см. выше) по следующей формуле:

     Алгоритм определения достоверности  совпадений и различий характеристик  сравниваемых выборок  для   экспериментальных  данных, измеренных  в шкале  отношений,  с помощью   критерия Крамера-Уэлча заключается  в следующем:

1.  Вычислить  для сравниваемых выборок Tэмп  –  эмпирическое  значение  критерия Крамера-Уэлча по формуле  (3).

2.  Сравнить  это значение с критическим  значением T0.05 = 1,96: если Tэмп £  1,96, то сделать вывод: "характеристики  сравниваемых  выборок  совпадают  на  уровне  значимости  0,05";  если Tэмп > 1,96,  то  сделать вывод "достоверность различий  характеристик сравниваемых  выборок составляет 95%".

     В качестве примера применим алгоритм для данных из таблицы 1. Для этого сравним сначала числа правильно решенных задач в контрольной и экспериментальной группе до начала эксперимента. Вычисляем по формуле (3) значение Tэмп = 0,04 £ 1,96. Следовательно, гипотеза о совпадении характеристик контрольной и экспериментальной групп до начала эксперимента принимается на уровне значимости 0,05. Теперь  сравним характеристики контрольной и  экспериментальной  групп после окончания эксперимента. Вычисляем по формуле  (3)  значение  Tэмп = 2,42 > 1,96. Следовательно,  достоверность  различий характеристик контрольной и экспериментальной групп после окончания эксперимента составляет 95%.

Итак, начальные (до начала эксперимента) состояния  экспериментальной и контрольной групп совпадают,  а  конечные (после  окончания  эксперимента)  –  различаются.  Следовательно,  можно  сделать вывод, что эффект изменений обусловлен именно применением экспериментальной методики обучения. Отметим, что мы не рассматриваем вопрос о том, "в какую сторону" экспериментальная группа отличается  от  контрольной,  то  есть,  улучшились  или  ухудшились (с  содержательной  точки  зрения,  не имеющей отношения к статистическим методам и являющейся прерогативой педагогики) исследуемые характеристики.

     Критерий  Вилкоксона-Манна-Уитни.  Данный  критерий  оперирует   не  с  абсолютными  значениями  элементов  двух  выборок,  а  с  результатами  их парных  сравнений. Например,  существенно,  что учащийся Петров решил больше задач, чем учащийся Иванов, а на сколько больше – не важно. Возьмем две выборки: {xi}i = 1…N и {yj}j=1…M и для каждого элемента первой выборки xi, i = 1…N, определим число ai элементов второй выборки, которые превосходят его по своему  значению (то есть число  таких  yj, что  yj > xi),  а  также число bi  элементов  второй  выборки,  которые по  своему  значению равны ему (то есть число таких yj, что yj = xi). Сумма

по всем N членам первой выборки называется эмпирическим значением критерия Манна-Уитни  и обозначается U.

     Определим эмпирическое значение  критерия Вилкоксона: 

Алгоритм  определения достоверности совпадений и различий для экспериментальных данных, измеренных в шкале отношений, с помощью критерия Вилкоксона-Манна-Уитни заключается в следующем:

1.  Вычислить  для сравниваемых выборок Wэмп  – эмпирическое значение критерия  Вилкоксона по формуле (4).

2.  Сравнить это значение с критическим значением W0.05 = 1,96: если Wэмп £ 1,96, то сделать вывод:

"характеристики  сравниваемых  выборок  совпадают   с  уровнем  значимости  0,05";  если Wэмп > 1,96,  то  сделать   вывод "достоверность  различий  характеристик  сравниваемых  выборок составляет 95%".

     В качестве примера применим  алгоритм для данных из таблицы  1.

Для этого  сравним сначала числа правильно  решенных задач в контрольной  и экспериментальной группе до начала эксперимента. В таблице 8 приведены  результаты экспериментальной группы (второй столбец), и контрольной группы (пятый столбец), а также для каждого члена экспериментальной группы  подсчитано  число  членов  контрольной  группы,  решивших  строго  большее (чем  он)  число  задач, плюс полусумма числа членов контрольной группы, решивших такое же (что и он) число задач (третий столбец). Например, в таблице 8 серым цветом в пятом столбце помечены члены контрольной группы, правильно решившие строго большее число задач, чем первый член (то есть  i = 1) экспериментальной группы, который правильно решил 12 задач. Значит x1 = 12 и число таких yj, что yj > x1 равно 16. Следовательно, a1 = 16. Число таких yj, что yj = x1 равно 2. Следовательно, b1 = 2. Итак, a1 + b1 / 2 = 17, то есть число затененных ячеек равно 17. Записываем это число во вторую строку третьего столбца. Аналогично заполняются остальные строки третьего столбца.

Таблица 8

Пример  вычисления эмпирического значения критерия Манна-Уитни

    Сумма  всех 25 чисел  в   третьем  столбце  таблицы  8  дает  эмпирическое  значение  критерия Манна-Уитни U = 373.  Вычисляем по  формуле (4)  значение Wэмп = 0,0338 £ 1,96.  Следовательно,  гипотеза  о том, что сравниваемые выборки совпадают, принимается на уровне значимости 0,05. Теперь аналогичным образом (построив таблицу, аналогичную таблице 8, и вычислив эмпирическое значение  критерия Вилкоксона)  сравним  числа  правильно  решенных  задач  в  контрольной  и  экспериментальной  группе  после  окончания  эксперимента.  Вычисляем  по  формуле  (4)  значение Wэмп = 2,1974 > 1,96. Следовательно, достоверность различий сравниваемых выборок составляет 95%. Итак, начальные (до начала эксперимента) состояния экспериментальной и контрольной групп совпадают,  а  конечные (после  окончания  эксперимента)  –  различаются.  Следовательно,  можно  сделать вывод, что эффект изменений обусловлен именно применением экспериментальной методики обучения. 

Методика  определения  достоверности  совпадений  и  различий  для  экспериментальных  данных, измеренных в порядковой шкале. 

     Рассмотрим случай, когда используется  порядковая шкала с L различными  баллами. Характеристикой группы  будет число ее членов, набравших тот или иной балл. Для экспериментальной группы вектор баллов есть n = (n1, n2, …, nL), где nk – число членов экспериментальной группы,  получивших  k-ый  балл,  k = 1, 2, …, L.  Для контрольной группы  вектор  баллов  есть m = (m1, m2, …, mL), где mk – число членов контрольной группы, получивших k-ый балл, k = 1, 2, …, L. Для рассматриваемого  нами  числового примера (L = 3  – "низкий", "средний"  или "высокий"  уровень знаний) данные приведены в таблице 4. Для данных, измеренных в порядковой шкале (см., например, таблицу 4), целесообразно использование критерия однородности x²  ("хи" – буква греческого алфавита, название критерия читается: "хи- квадрат"), эмпирическое значение x²_эмп которого вычисляется по следующей формуле (пример расчета приведен ниже):

Критические значения x²_0.05  критерия x² для уровня значимости 0,05 приведены в таблице 9 (статистические  таблицы критических  значений статистических критериев для различных  уровней  значимости и различных – в том числе больших 10 – градаций шкалы отношений можно найти, практически, в любом учебнике по статистическим методам или в специальных статистических таблицах). 

Таблица 9

Критические значения критерия x² для уровня значимости a = 0.05

Алгоритм  определения достоверности совпадений и различий для экспериментальных данных, измеренных в порядковой шкале, заключается в следующем:

1.  Вычислить  для сравниваемых выборок x²_эмп  – эмпирическое  значение критерия x² по формуле (5).

2.  Сравнить  это значение с критическим  значением x²_0.05, взятым из таблицы 9: если x²_эмп ≤ x²_0.05, то  сделать  вывод: "характеристик  сравниваемых  выборок  совпадают  с  уровнем  значимости x²_0.05; если x²_эмп > x²_0.05   , то сделать вывод "достоверность различий характеристик сравниваемых выборок составляет 95%".

     Применим  алгоритм для данных  из  таблицы 4. Сначала  вычисляем  по формуле  (5)  эмпирические  значения  критерия x². Для примера приведем  расчет. Параметры экспериментальной группы (N = 25) после окончания эксперимента: n1 = 2, n2 = 13, n3 = 10 (то есть 2 учащихся продемонстрировали "низкий"  уровень  знаний,  13  – "средний"  и  10  – "высокий"  –  см.  выше  таблицу  4),  контрольной  группы (M = 30): m1 = 12, m2 = 10, m3 = 8. Подставляя в формулу (5), получаем:

     Аналогичным образом вычисляются все оставшиеся из 16 возможных результатов парных сравнений  групп (экспериментальная  и  контрольная  группы,  до  начала  и  после  окончания  эксперимента). Результаты вычислений приведены в таблице 10. Ячейки таблицы 10 содержат эмпирические значения критерия x² для сравниваемых групп, соответствующих строке и столбцу. Жирным шрифтом выделены результаты  сравнения характеристик экспериментальной и контрольной группы  до  начала  и после окончания эксперимента. Например,  эмпирическое  значение  критерия  x² ,  получаемое  при сравнении характеристик контрольной группы до начала эксперимента (вторая строка таблицы 10) и экспериментальной группы до начала эксперимента (третий столбец таблицы 10), равно 0,03.

     В  рассматриваемом  примере  L = 3 (выделены  три уровня  знаний  – "низкий", "средний"  и "высокий"). Следовательно, L – 1 = 2. Из таблицы 9 получаем для L – 1 = 2: x²_0.05  = 5,99. Тогда из таблицы 10 видно, что все эмпирические значения критерия x², кроме результата x_эмп = 7,36 сравнения экспериментальной и контрольной групп после окончания эксперимента, меньше критического значения. Следовательно "характеристики  всех  сравниваемых  выборок,  кроме  экспериментальной  и  контрольной групп после окончания эксперимента, совпадают с уровнем значимости 0,05".