Анализ и оптимизация САР частоты вращения вала двигателя постоянного тока

Следует отметить, что в предлагаемой схеме  фактически изменять можно только параметры  усилителя и звена местной  обратной связи. Эти элементы введены  в схему как раз для того, чтобы обеспечить возможность

 ее коррекции. Не исключено,  что параметры звена обратной  связи по напряжению (ОСН) заданы неудачно и потребуют существенной коррекции.

1.1.2. Параметры и передаточные функции  элементов

Основной метод исследования линейных систем с постоянными коэффициентами - преобразование Лапласа. При нулевых  начальных условиях, после преобразования Лапласа уравнения вида, получаем:

L[a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +…+ a_ny] = L[b₀u^(m) + b₁y^(m-1) +…+ b_mu].

(a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +…+ a_n)Y(p) = (b₀p^(m) + b₁p^(m-1) +…+ b_m)U(p).               (3.2.4)

Y(p) = L[y(t)] =

exp(-pt) y(t) dt,

U(p) = L[u(t)] =

exp(-pt) u(t) dt.

Для линейного уравнения преобразование Лапласа отношения выходного  сигнала Y(p) к входному сигналу U(p) при  нулевых начальных условиях не зависит  от самих сигналов и называется передаточной функцией системы W(p).

Y(p) = U(p) (b₀p^(m) + b₁p^(m-1) +…+ b_m) /(a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +…+ a_n),

W(p) = (b₀p^(m) + b₁p^(m-1) +…+ b_m) /(a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +…+ a_n),

Y(p) = W(p) U(p). 

Передаточная функция W(p) зависит  только от самих дифференциальных уравнений  и обладает свойством линейности:

Если Y(p) = Y₁(p) + Y₂(p), то U(p) = W(p)Y₁(p) + W(p)Y₂(p) = U₁(p)+U₂(p).

Если Y(p) = сY(p), то U(p) = W(p) Y(p) = с W(p) Y(p).

Y(p) = W(p)e(p);  W(p) = W₁(p)W₂(p);

Y_ос(p) = W_ос(p)Y(p);  e(p)=U(p)-Y_oc(p).

Выражение выходного сигнала состояния  системы через входной сигнал управления:

Y(p)=W(p)(U(p)-W_ос(p)Y(p);

Y(p)(1± W(p)W_ос(p))=W(p)U(p).

Отсюда главная передаточная функция  замкнутой системы:

W_зс(p) = Y(p)/U(p) = W(p)/[1 ± W(p) W_oc(p)].

Знак плюс или минус определяется типом обратной связи (отрицательная или положительная). Соответственно, выходной сигнал с учетом сигнала дестабилизирующего воздействия f(t), который суммируется с правой частью выражения:

Y(p)=W_зс(p)U(p) + W_f(p)f(p), 

где W_f(p) – передаточная функция по возмущению. В замкнутой системе передаточная функция по возмущению определяется как отношение выходной величины, преобразованной по Лапласу, к функции возмущающего воздействия, преобразованной по Лапласу при нулевых начальных условиях. Возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы.

W_f(p) = Y(p)/f(p) = W₂(p)/[1+W_oc(p)W(p)].

Передаточная функция по ошибке:

W_e(p) = e(p)/U(p) = 1/[1 + W(p) W_oc(p)].

Передаточная функция по ошибке - основное средство исследования точности САУ. C учетом возмущающего воздействия:

e(p)=W_e(p)U(p) + W_ef(p)f(p),

где W_ef(p) - передаточная функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке):

W_ef(p) = e(p)/f(p) = -W₂(p)W_oc(p)/[1 + W(p) W_oc(p)].

Передаточная функция по обратной связи:

W_Yoc(p) = Y_oc(p)/U(p) = W(p) W_oc(p)/[1 + W(p) W_oc(p)].

У - усилитель моделируется апериодическим звеном с параметрами 
k_y = (20+N) = (20+1); T_y = (0.06 + 0.001N) = (0.06 + 0.001×1), с. 
При N=1; k_y = 21; T_y =0,061 с.

Передаточная функция усилителя :

 

 

Примечание, р = σ + jω – это аргумент передаточной функции, меняющийся в пределах всей комплексной плоскости, от (-¥, -j¥) до (¥, j¥).

ТП - тиристорный преобразователь моделируется апериодическим звеном с параметрами 
k_тп = (15+2N) = (15+2×1) ;T_тп = (0.05 + 0.001N) = (0.05 + 0.001×1), с. 
При N=1; k_тп= 17; T_тп = 0,051, с.

Передаточная  функция тиристорного преобразователя :

 

ОСН - гибкая обратная связь по напряжению, инерционно-дифференцирующее звено : 
k_осн = 0.1(1.5 + 0.1N) = 0.1(1.5 + 0.1×1); T_осн =0.01(5 + N) =  0.01(5 + 1) , c. 
При N=1; k_осн = 0,16; T_осн = 0,06 c. 

ТГ - тахогенератор, усилительное (пропорциональное) звено: 
k_тг = 0.01(2 + 0.3N) = 0.01(2 + 0.3×1), [В·сек/об]. 
При N=1;k_тг = 0,006 [В·сек/об].

 

Г - генератор, апериодическое звено : 
k_г = 0.1(13 + 0.1N) = 0.1(13 + 0.1×1) ; T_г = 0.01 (8 + N) = 0.01 (8 + 1),с. 
При N=1; k_г = 1,31  ; T_г = 0,09,с. 

ДПТ- двигатель постоянного тока, апериодическое звено второго порядка.

k_ду =0.1(12 + N) = 0.1(12 + 1), [об/(сек·В)];

к_дв = 0.05(15 + N) = 0.05(15 + 1), [об/(сек·Н·м)]; 
T_я = 0.01 (6 + 0.32N) = 0.01 (6 + 0.32×1),с;

T_м = 0.1 (5 + 0.5N) = 0.1 (5 + 0.5×1),с.

При N=1;k_ду = 1,3 [об/(сек·В)]; k_дв = 0,8 [об/(сек·Н·м)]; 
T_я= 0,0632с; T_м = 0,55с.

 

 

Передаточная  функция ДПТ по каналу управления, определяющая влияние напряжения на якоре двигателя на частоту вращения его вала:

 

а по каналу возмущения: 

Передаточная  функция W_дв(p) определяет влияние момента сопротивления на валу двигателя на его частоту вращения. Момент сопротивления на валу прикладывается той машиной, которую приводит в движение двигатель.

Совокупность  передаточных функций элементов  и функциональной схемы позволяет  построить структурно-алгоритмическую  модель САР, а также аналитическую  модель, представляющую собой передаточную функцию всей САР. В рассматриваемом  примере используется аналитический  инструмент – программа МВТУ, что  избавляет от необходимости проведения громоздких выкладок по получению аналитической  модели САР.

 

 

 

 

 

1.3. Построение, запуск и анализ модели САР

1.3.1. Построение структурной схемы САР

Рисунок 2 – Модель исходной САР

В результате расчета построена переходная характеристика исходной САР, по которой хорошо видно, что исходная САР – неустойчива. Следовательно, требуется коррекция параметров элементов, а может быть и структуры САР, для обеспечения ее устойчивости.

2. Оценка устойчивости и стабилизация разомкнутой САР.Параметрическая оптимизация САР

Система находится в  состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих  факторов ошибка регулирования (разность между заданным и фактическим  состоянием системы) стремится к  нулю. Под устойчивостью понимается способность динамической системы  возвращаться в равновесное состояние  после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния  или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой.

2.1. Стабилизация разомкнутой САР

Разомкнем контур главной обратной связи, для чего на входах сумматора  №1 поменяем весовые множители вместо «1 -1» на «1 0», подключим его к  осциллографу и запустим моделирование (рисунок 3):

Все многообразие систем управления можно разделить на классы по различным  признакам, важнейшими из которых являются цель управления, вид структуры, вид  и размерность математической модели, характер сигналов, характер параметров, характер внешних воздействий. Согласно этим признакам будем различать:

- системы  стабилизации, программного управления, следящие системы;

- системы  разомкнутые, замкнутые или комбинированной  структуры;

- модели  линейные, нелинейные, скалярные и  векторные;

- системы  непрерывные, дискретные или гармонически  модулированные;

 

 

- системы стационарные и нестационарные, с сосредоточенными или распределенными  параметрами;

- системы  с детерминированными или стохастическими  воздействиями.

Практическая  классификация систем управления обычно строится на основе применяемых принципов  управления и осуществления управляющих  воздействий.

Рисунок 3. Проверка устойчивости разомкнутого контура САР.

График  переходной функции показывает, что  разомкнутый контур неустойчив, поскольку  его выходной сигнал представляет собой  колебания с быстро увеличивающейся  амплитудой. Отметим, что неустойчивость проявится аналогично и при другом, например импульсном, воздействии.

 

Рисунок 3 показывает, что разомкнутая САР неустойчива. Для обеспечения выполнения необходимого условия практического применения критерия Найквиста, разомкнутую САР требуется стабилизировать.

Потеря устойчивости разомкнутой САР возникает из-за наличия местной обратной связи (системы, составленные из устойчивых звеньев и имеющие обратные связи, могут терять устойчивость). Интересно отметить, что эта связь была введена для того, чтобы обеспечить достаточную устойчивость и качество результирующей САР. Это указывает на то, что параметры звена обратной связи по напряжению заданы неудачно и могут потребовать коррекции.

Стабилизация контура уменьшением  коэффициента усиления усилителя.

Рисунок 4. Коэффициент усиления усилителя уменьшен с 21 до 6.5.

 

Переходная характеристика имеет  колебательную компоненту, амплитуда которой сравнительно медленно увеличивается со временем. Разомкнутый контур еще не устойчив, но близок к критическому, граничному режиму.

Теперь можно стабилизировать  разомкнутую САР, обеспечив хотя бы минимальный, двукратный (т.е. в 20*lg(2)=6 дБ) запас устойчивости контуру местной обратной связи. Для этого уменьшим коэффициент усиления усилителя вдвое.

 

 

Рисунок 5. Стабилизированная разомкнутая САР.

Переходная  функция устанавливается на уровне 0,55, что говорит об устойчивости разомкнутого контура САР, но величина усиления ее контура сравнительно мала. Желательно иметь усиление разомкнутого контура 10 ÷ 100 раз (20 ÷ 40 дБ), а запас устойчивости по амплитуде 2 ÷ 10 раз (6 ÷ 20 дБ).

Таким образом, изменением только коэффициента усиления усилителя не удается получить удовлетворительных характеристик разомкнутого контура. Следовательно, требуется более  глубокая стабилизация.

Стабилизация изменением параметров усилителя и звена ОСН

Устойчивость  разомкнутого контура обеспечена с  запасом в 6 дБ. Однако, запас этот сравнительно мал, как и мало усиление всего разомкнутого контура, составляющего величину 2, это видно по установившемуся значению переходной функции контура рис. П14. Поэтому, во избежание возможных трудностей, которые могут возникнуть при окончательной коррекции САР, изменим и параметры звена ОСН. Будем изменять постоянную времени T инерционно-дифференцирующего звена ОСН и усиление усилителя (k).

Цель  состоит в том, чтобы привести разомкнутый контур на границу устойчивости при значительно большем, чем 3,25, значении усиления усилителя, достигнутого в схеме рисунок 3. МВТУ при этом выполняет большую вычислительную работу.

В результате подбора параметров остановимся на схеме контура  рисунок 4.

Рисунок 6. Медленное увеличение размаха колебаний переходной функции говорит о том, что разомкнутый контур находиться в близи границы устойчивости.

 

 

 

 

 

 

Уменьшение  постоянной времени ОСН до 0.005 сек позволило довести значение коэффициента усиления усилителя в критическом, граничном режиме САР до величины 138.

Как видно  на рис. П6, после второй коррекции, состоявшей в уменьшении в 10 раз постоянной времени звена ОСН, значение коэффициента усиления усилителя, при котором разомкнутый контур находится вблизи границы устойчивости, повысилось с 3,25 до 138.

Остается  обеспечить запас устойчивости по амплитуде  контура местной обратной связи  путем уменьшения коэффициента усиления усилителя.

Рисунок 7.Окончательно стабилизированный разомкнутый контур САР. 

 

Усиление  усилителя уменьшено по сравнению  с его значением в критическом  режиме в 10 раз, со 138 до 13,8, т.е. на 20 дБ – это и есть запас устойчивости по амплитуде контура местной обратной связи. Результирующее усиление разомкнутого контура всей САР составляет примерно 2,4 единиц (20*lg(2,4)=7,6 дБ), что видно из установившегося значения переходной функции.

Итак, разомкнутая САР стабилизирована. Поэтому устойчивость замкнутой САР можно анализировать с помощью критерия Найквиста.

Поинтересуемся, окажется ли устойчивой замкнутая САР , разомкнутый контур которой только что стабилизирован. Для этого замкнем обратную связь (коэффициенты по входам сумматора №1 поменяем на “1 -1” ) и проверим, как поведет себя переходная характеристика САР:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 8. САР после стабилизации разомкнутого контура.

Система устойчива, но колебательность переходной характеристики чрезмерна. Замкнутая САР требует коррекции.

Как видно  на рисунке 7, установившееся значение переходной функции составляет примерно 118 об/сек, что на 25 % меньше точного значения, равного 1/W_тг(p)_|p=0 = 1/0.119 = 166,7 об/сек. Т.о. точность полученной системы и в установившемся режиме неудовлетворительна.