Анализ и оптимизация САР частоты вращения вала двигателя постоянного тока

2.2 Предварительная  коррекция замкнутой САР

Частотные характеристики строятся именно для разомкнутого контура, а по ним можно судить об устойчивости замкнутой САР, пользуясь критерием устойчивости Найквиста.

 

 

 

 

 

Критерий  устойчивости Найквиста. Этот критерий основан на связи свойства устойчивости замкнутой системы с формой АФЧХ разомкнутой устойчивой системы. Разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи. Исследование разомкнутой системы проще, чем замкнутой, и его можно производить экспериментально.

 

Передаточная  функция W_pc разомкнутой системы:

W_pс(jw) = K_pc(jw)/H_pc(jw),

 

с углом поворота фазы в соответствии с выражением :

DargH_рс(jw) = np/2,   0 ≤ w ≤ ∞.

 

АФЧХ  замкнутой системы описывается выражением:

W_зс(jw)= W_pc(jw) /[1+ W_pc(jw)].

 

Обозначим знаменатель  этого выражения через W₁(jw):

W₁(jw)=1+W_pc(jw)=1+K_pc(jw)/H_pc(jw)=H(jw)/H_pc(jw),

 

где H(jw) = K_pc(jw) + H_pc(jw), характеристический полином замкнутой системы при р=jw.

В соответствии со свойствами передаточных функций порядок полинома Н(р) не превышает порядка полинома H_pc(p), т.к. H(p)=K_pc(p)+H_pc(p), а порядок полинома K_pc(p) меньше порядка полинома H_pc(p). Поэтому критерий Михайлова для замкнутой системы соответствует выражению:

DargH(jw) = (n - 2m) (p/2),   0 ≤ w ≤ ∞.

 

где m - число  правых корней системы, имеющей в  замкнутом состоянии характеристический полином Н(р)=0.

Из (4.2.5) следует:

DargW₁(jw) = DargH(jw) - DargH_pc(jw).

 

C учетом (4.2.3):

DargW₁(jw) = (n - 2m) (p/2) - np/2 = -mp.

 

 

 

 

 

В устойчивой замкнутой системе правых корней в характеристическом уравнении  нет, т. е. m=0, а, следовательно, условием устойчивости замкнутой системы будет:

DargW₁(jw) = 0.

Условие (4.2.8) выполняется только тогда, когда  кривая W₁(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает начала координат комплексной плоскости. Действительно, только в этом случае результирующий поворот вектора W₁(jw) при изменении w от 0 до ∞ будет равен нулю, так как возрастание угла j(w), обусловленное движением вектора W₁(jw) в положительном направлении (противчасовой стрелки), будет компенсироваться таким же убыванием j(w), обусловленным движением вектора W₁(jw) в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

 

Как видно  из (4.2.5), переход на комплексной плоскости  от годографа вектора W₁(jw) к годографу вектора АФЧХ разомкнутой системы W_pс(jw) осуществляется сдвигом кривой W₁(jw) влево на -1, так как W_pc(jw) = W₁(jw) -1. С учетом этой операции, получаем следующую формулировку амплитудно-фазового критерия устойчивости Найквиста: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы W_pс(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0).

 

Более общая  формулировка критерия Найквиста относится  к системам, имеющим так называемую АФЧХ второго рода , когда W_pс(jw) пересекает (неограниченное количество раз) вещественную ось левее точки ReW_pc(w) = -1.

 

 

Будем считать  положительным переход годографа  через вещественную ось, если он совершается  сверху вниз, и отрицательным, если он совершается снизу вверх. Для таких годографов критерий Найквиста формулируется в следующем виде: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если при изменении частоты от 0 до +∞ разность между числом положительных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через участок вещественной оси (-1; -∞) и числом отрицательных переходов равна нулю. Из этого условия видно, что система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ в форме кривой 1, устойчива и в замкнутом состоянии.

 

 

На рисунке приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рисунке - замкнутая САУ неустойчива.

На рисунках показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно устойчивых и неустойчивых в замкнутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ при w® 0 уходит в бесконечность. В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса. Критерий Найквиста нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли система, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

Предварительная коррекция замкнутой  САР осуществляется посредством  изменения и оптимизации значения коэффициента усиления разомкнутого контура. Технически этот коэффициент можно  менять, установив в схеме рис. П16  П-регулятор между сумматорами  и меняя его усиление, а контролировать его значение - по установившемуся  значению

 

 

переходной  функции. Изменение коэффициента усиления контура управления приводит к вертикальным смещениям ЛАЧХ и не влияет на ЛФЧХ.

Построение  и анализ ЛАЧХ и ЛФЧХ

Понятие частотных характеристик - является важнейшим понятием, широко применяемым в теории управления. Методы, основанные на применении частотных  характеристик, являются наиболее удобными в инженерной практике в классе систем с одним входом и выходом.

Функция W(jw), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Она может быть получена путем замены p на jw в выражении W(p). В более общей формулировке частотную передаточную функцию можно представить в виде отношения частотных спектров выходного и входного сигнала:

W(jw) = Y(jw)/U(jw) = W(p)|_p=jw.

Частотная передаточная функция линейного  звена является изображением Фурье  его импульсной функции и может  определяться по интегральному преобразованию:

W(jw) =

h(t) exp(-jwt) dt.

Для односторонних функций h(t), W(jw) есть комплексная функция, которую иногда называют амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ):

W(jw) = A(w) exp(jj(w)) = P(w) + jQ(w),

где P(w) - вещественная,  Q(w) - мнимая частотные характеристики,  А(w) - амплитудная частотная характеристика (АЧХ),  j(w) - фазовая частотная характеристика (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

A(w) = U_m /Y_m = |W(jw)| =

,

j(w) = arctg(Q(w)/P(w)).

Прежде  чем непосредственно строить  ЛАЧХ и ЛФЧХ (логарифмические амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики) необходимо задать пределы частотного диапазона, в котором будут построены характеристики. Значения концов диапазона следует подбирать так, чтобы на графиках были видны все их характерные особенности. С другой стороны, декад не должно быть слишком много, иначе график получится слишком мелкий. Возьмем три декады, от 0.1 рад/сек до 100 рад/сек (декада – изменение частоты в 10 раз).

Рисунок 9. Выделение фрагмента схемы для частотного анализа.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 10. ЛАХ и ФЧХ стабилизированной в разомкнутом состоянии САР.

Запас по амплитуде 20 дБ

Запас по фазе 102⁰

Обеспечены необходимые запасы устойчивости:

• по фазе в пределах 40⁰ - 70⁰ и даже более;
• по амплитуде 12 – 20 дБ,

 

В условиях эксплуатации параметры системы  по тем или иным причинам могут  меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут  привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы  устойчивости. Поэтому стремятся  спроектировать систему так, чтобы  она работала вдали от границы  устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

 

 

 

 

 

 

Согласно  критерию Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точки (-1, j0), тем больше запас устойчивости. Различают запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа  АФЧХ разомкнутой системы от критической  точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки  пересечения годографом оси абсцисс.

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа  от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом j между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

 

 

Как уже  отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой системы растет модуль каждой точки АФЧХ и при  некотором значении K = K_кр АФЧХ пройдет через критическую точку и попадет на границу устойчивости, а при K >K_кр замкнутая система станет неустойчива. Однако в случае АФЧХ типа 1 (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых систем. В этом случае запас устойчивости

определяется  двумя отрезками h₁ и h₂, заключенными между критической точкой и АФЧХ.

Рис. 4.3.6.

Обычно  при создании системы задаются требуемыми запасами устойчивости h и j, за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой системы входить не должна.

Рис. 4.3.7.

Анализ  устойчивости по ЛЧХ. Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить  по ЛЧХ разомкнутой системы. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать  определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых  систем (1 и 2), отличающихся друг от друга  только коэффициентом передачи K₁< K₂. Пусть первая система устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет (рис. 4.3.7).

Если W₁(p) - передаточная функция первой системы, то передаточная функция второй системы W₂(p) = K W₁(p), где K = K₂/K₁. Вторую систему можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с

передаточными функциями K (Безинерционное звено) и W₁(p), поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев. Поэтому ЛАЧХ второй системы: L₂(w) = 20 lg K + L₁(w),  а ЛФЧХ: j₂(w) = j₁(w).

Пересечениям  АФЧХ вещественной оси соответствует  значение фазы j = -p. Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ j = -p линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A₁(w) < 1, A₂(w) > 1, что соответствует на ЛАЧХ значениям L₁(w) = 20 lg A₁(w) < 0 и L₂(w) > 0.

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что  система в замкнутом состоянии  будет устойчива, если значению ЛФЧХ j = -p будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h₁ и h₂, определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где j = -p, но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения  АФЧХ с единичной окружностью. Частоты w_c1 и w_c2, при которых это происходит, называют частотами среза.

В точках пересечения A(w) = 1 = > L(w) = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ j_c1> -p , то замкнутая система устойчива. Это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии j = -p. И, наоборот, для неустойчивой замкнутой системы j_c2< -p, поэтому при w = w_c2 ЛФЧХ проходит ниже линии j = -p. Угол j₁ = j_c1-(-p) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии j = -p до ЛФЧХ.

Исходя  из сказанного, критерий устойчивости Найквиста по логарифмическим ЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [-∞; -1], можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы

частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию j = -p, была больше частоты среза.

 

 

Годограф, является стандартным методом отображения АФЧХ на комплексной плоскости с координатами ReW(ω) и ImW(ω). Параметром на кривой годографа является частота, изменяющаяся в интервале от 0 до ∞. Для произвольной частоты ω радиус вектор в точке W(jω) показывает амплитуду выходного сигнала, а угол j (ω) - сдвиг фазы между выходным и входным сигналом. Иногда W(jω) называют комплексным коэффициентом передачи, подразумевая, что АФЧХ является обобщением обычного коэффициента усиления К на случай его зависимости от частоты и фазового сдвига, также зависящего от частоты. Комплексно сопряженные ветви АФЧХ, отличающиеся знаком j, зеркальны относительно вещественной оси.

Для частотного анализа систем применяется  также раздельное построение графиков АЧХ и ФЧХ, если в том появляется необходимость.