Аналіз надійності інформаційних систем на етапі їх проектуванні

Для жорстко заданої схеми і  за умови простого потоку відмов кожного з вузлів складної інформаційної системи можна аналітично отримати функцію розподілу випадкового часу відмови усієї схеми [5,7].

Позначимо цю функцію  . Таким чином, – вірогідність відмови вузла, – вірогідність безвідмовної роботи вузла.

У разі простого потоку подій (відмов):

      (1)

де  – інтенсивність відмов вузла.

Кожен з вузлів характеризується своїм значенням величини .

При цьому функція розподілу  відмов усієї системи може бути отримана аналітично в явному виді. Її вид  може бути довільним і свідомо  не характеризувати потік як простий. Зокрема, її можна апроксимувати вираженням, властивим простому потоку:

      (2)

тут – інтенсивність відмов системи.

Проте, розрахункова модель, з використанням  для апроксимації вираження (2), матиме значну розбіжність з параметрами реальної системи. В першу чергу через те, що реальна система (навіть найпростіша), як правило, складається з декількох елементів, взаємодію яких вираження (2) не враховує.

З іншого боку, модель реальної системи  можна дещо спростити, наприклад, представивши її у вигляді набору еквівалентних блоків, сполучених в послідовно, – паралельні мережі. Тоді завдання апроксимації реальної системи розділяється на два етапи.

Перший – ця побудова мережа еквівалентних  блоків. Другий - побудова функції розподілу для отриманої еквівалентної системи.

Для отримання аналітичного вираження  функції розподілу відмов реальної схеми розглянемо поступове ускладнення схеми. При цьому залишаємося у рамках вже зроблених позначень: відмови вузла створюють простий потік подій і вірогідність відмови одиничного вузла підкоряється експоненціальному закону вірогідність безвідмовної роботи . Величина характеризує надійність схеми. При послідовному з'єднанні двох вузлів з інтенсивностями відмов і вірогідності безвідмовної роботи перемножуються, тобто .

Це означає, що в цьому випадку

У разі рівності інтенсивностей відмов розподіл часу безвідмовної роботи набуває вигляду: .

При паралельному з'єднанні  вузлів маємо для функції розподілу часу праці до першої відмови . Значення підвищує надійність схеми, оскільки збільшується вірогідність безвідмовної роботи за поточний час.

Основна ідея полягає в тому, що узагальнений закон розподілу безвідмовної роботи пропонується використати у виді де під величиною розуміємо функціональну надмірність системи. Ціле значення відповідає паралельному дублюванню роботи елементів. У загальному випадку надмірність або підвищення надійності досягається схемним шляхом.

Для простого потоку подій параметр має сенс інтенсивності подій (у нашому випадку, відмов). У загальному випадку для потоку відмов з функцією розподілу часу напрацювання на відмову інтенсивність відмов є функція часу і визначається як відношення щільності розподілу відмов в даний момент часу до вірогідності безвідмовної роботи за час, більший, ніж дане: . Неважко перевірити, що для експоненціального закону . Дійсно, , .

Звідси інтенсивність відмов рівна  .

При, коли резервування немає, . У загальному випадку при отримане вираження для може бути використано для оцінки швидкості старіння системи.

Аналіз схем з будь-якою кількістю  параметрів і їх порівняння при довільних структурах зводиться до порівняння двох узагальнених законів, кожен з двома параметрами .

Розглянемо виведення законів  розподілу для різних схем, поступово  ускладнюючи їх структуру.

Для послідовного з'єднання двох елементів  функція розподілу системи має від

Рис. 3.14 - Схема з двох web–серверів та двох СКБД

На Рис. 3.14 має місце об'єднання двох блоків з Мал. 3.13 з додаванням усіх перехресних інформаційних зв'язків. Уся схема спрацьовує, тільки якщо спрацьовує її перший рівень, тобто вузли web 1 або web 2. Якщо обоє відмовляють, відмовляє уся схема. Ці вузли працюють за законами паралельного з'єднання і отже:

.

Якщо перший рівень пропускає сигнал, тобто хоч би один з його вузлів не відмовив, то другий рівень (СКБД 1 та СКБД 2) працюють за тією ж схемою, як і перший рівень.

.

Обидва ці рівні працюють за схемою послідовного з'єднання: уся схема  відмовляє, якщо відмовляє будь-який з рівнів. Тобто,

, де  і отримані вище. Остаточно функція розподілу часу повністю системи:

   (3)

Це означає, що обидва рівні в  поєднанні один з одним функціонально пов'язані як два елементи в послідовному з'єднанні, а усі елементи, що входять в кожен рівень, працюють паралельно.

Подібна схема виводу абсолютно  ідентично переноситься на випадок  трьох, чотирьох,…, мереж з елементів, відмова кожного з яких носить характер простого потоку подій. Розглянемо схему, представлену на мал. 3.15.

Рис. 3.15 - Загальна схема з'єднання серверів високонавантаженого ресурсу

Аналітичне вираження функції  розподілу часу напрацювання на відмову такої схеми має вигляд:

   (4)

де  і - кількість елементів першого і другого рівня. Якщо загальна схема така, що є більше двох рівнів, припустимо, їх буде , те вираження (4) набере вигляду:

.     (5)

Для практичного використання при  проектуванні і аналізі схем з'єднання серверів для кожного набору параметрів знаходитимемо найкраще наближення для вираження (5) за допомогою узагальненої функції розподілу .

Структура схеми параметром бути не може. Тому в кожному випадку це окремий етап, який, проте, легко  узагальнюється шляхом введення єдиного в даному випадку критерію близькості. Знаходимо такі значення параметрів

, при яких найбільше за абсолютною величиною відносне відхилення двох функцій розподілу найменше. При цьому виконується існування .

Розглянемо чисельні приклади для  вузлів з 2, 3, 5, 8 і 20 серверів на кожному рівні. У таблиці 3.1 представлені початкові дані для кожного варіанту розрахунку і отримані значення та для апроксимації законів розподілу часу повністю усієї системи.

Табл. 3.1

Початкові дані і результати апроксимації

№
1	2	2	0,001	0,005	0,000528605	2,03328
2	3	3	0,001	0,005	0,000509445	3,02326
3	4	4	0,001	0,005	0,000503539	4,01448
4	8	8	0,001	0,005	0,000500317	8,00254
5	20	20	0,001	0,005	0,000500181	20,0195

На Рис. 3.16 приведені графіки законів розподілу для прикладів з таблиці 3.1

Рис. - 3.16 Графіки 1-5 відповідають функціям розподілам вузлів з 2, 3, 4, 8, 20 серверів в кожному рівні

Результати таблиці 1 свідчать про те, що для окремого випадку рівності та та значення параметрів узагальненого розподілу та можуть бути призначені в якості початкових значень при пошуку.

Зіставимо вираження для узагальненого  закону розподілу випадкового часу напрацювання на відмову  усієї великої системи і закону розподілу (5) безпосередньо пов'язаного із структурою даної системи.

До речі, умова простого потоку подій для кожного елементу схеми  з інтенсивністю потоку відмов носить чисто ілюстративний характер і ніде в наших міркуваннях не принципово. Якщо відмови не підкоряються експоненціальному закону, то для каждого –го вузла усієї схеми необхідно замінити експоненціальний закон з параметром, що має сенс інтенсивності відмов, на того, яким описуються відмови в цьому вузлі цієї схеми, конкретно, на , де - вектор параметрів, характерний для цієї функції розподіли, сенс яких у кожному конкретному випадку свій. Це особливо важливо при проектуванні.

Тоді виведена формула для потоку відмов усієї схеми з  рівнями набуває вигляду:

.     (6)

Тут – номер вузла (чи найбільш простого елементу) системи, – кількість елементів в кожному – му рівні, – кількість рівнів.

Помітимо також, що критерій вибору параметрів узагальненої функції пов'язаний з метрикою у функціональному просторі функцій розподілу.

Аналіз обчислень показав, що розрахунок відстані по метриці 

іноді доцільно замінити на розрахунку метрикою .

Це пов'язано з неможливістю отримання скільки завгодно високої точності обчислень на хвостах розподілів. При, зокрема, мінімакс відносного відхилення рівносильний вимозі .

На Рис.3.16 видно, що чим більше величина функціональної надмірності, тим більше полога і тим повільніше вона росте при малих значеннях . Обмежуючись першим, головним членом ряду Маклорена для , отримаємо: , . У подвійних логарифмічних координатах величина є кутовий коефіцієнт лінійної ділянки графіку залежності від . Його значення носить характер фрактальної розмірності. Оскільки велика система набуває властивість, не властиві її елементам, то і складність вирішуваних завдань виходить за рамки тих визначень, які використовувалися при її конструюванні. Також і поняття функціональної надмірності має іншу категорію, чим паралельне дублювання елементів.

Для початкового наближення значень  і складемо таблицю . Параметри і прямій лінії отримуємо з мінімуму суми квадратів відхилень. Для їх визначення вирішуємо систему лінійних рівнянь. Їх матрична форма має вигляд:

.

Де  – число рядків в таблиці, тобто число точок ділянки прямої на Мал. Далі послідовно знаходимо:

,

,

, .

Для отримання і складемо систему

Звідси отримуємо оцінки значень  та ( та ): , .

Практичне використання цього факту  полягає в можливості зробити  попередню оцінку параметрів та . На мал. 3.17 представлені графіки залежності від для даних з табл 3.1.

Рис. 3.17 - Залежність

від

Рис. 3.18 - Інтенсивності відмов системи від часу для схем з табл. 3.1

Як було показано вище, в загальному випадку інтенсивність відмов рівна

.

При без резервування інтенсивність відмов постійна . Спочатку при малих значеннях інтенсивність відмов мала. При зростанні часу експлуатації великої системи інтенсивність відмов росте (Рис.3.15), що узгоджується з фізичним сенсом. При необмеженому зростанні часу крива , залишаючись опуклою вгору, росте, насичуючись до деякої межі. Знайдемо його при .

Таким чином, величина являється  точною верхньою гранню для інтенсивності відмов.

Використання простого потоку відмов не є обов'язковою вимогою і  носить чисто ілюстративний характер. Використання цієї методики правомірне для опису моделі відмов, як для потоків Эрланга, так і для схем елементів з розподілом часу повністю, описуваним іншими функціями, наприклад, Вейбулла або логнормальними законами. Покажемо на прикладі схеми з 2 web -серверов і 2 СКБД результати апроксимації функції розподілу відмов системи узагальненою функцією. У таблиці 3.2 приведені параметри функцій розподілу відмов елементів системи і результати апроксимації при початкових розподілах згідно із законом Вейбулла: .

Табл. 3.2

Початкові дані і результати при  розподілі відмов по Вейбуллу

0.001	0.6	0.001	0.6	0.005	0.8	0.005	0.8	0.931602	1.3497

На мал.3.19 представлені результати розрахунку функції розподілу часу до відмови системи і її апроксимація її узагальненою функцією з параметрами з таблиці 3.2

Рис. 3.19 - Функціям розподілу і її апроксимація для розподілу Вейбула для 2 серверів в кожному рівні

Пунктирна лінія – функція розподілу  часу між відмовами.

Суцільна лінія – аппроксимация  обобщеної функції.

Приведені результати за оцінкою функціональної надмірності і асимптотичної інтенсивності відмов системи дозволяють вийти на економічно обґрунтовані вимоги до параметрів проектованих систем. Сумарні втрати при побудові систем і їх експлуатації складаються з двох складових , де перший доданок визначається мірою надійності і пропорційно величині функціональної надмірності, а другий доданок – це втрати від відмов системи і пропорційна вірогідності відмов. Таким чином, загальні втрати рівні ,

де  – питома вартість збільшення функціональної надмірності, – віртуальні втрати прибули від відмов в послугах клієнтів.

 – значення функції розподілу  відмов системи за час морального  старіння її елементів.