Метод оптимальных решений

Введение ……………………………………………………………………3

1 Основы математического моделирования  …………………..5

2 Требования, предъявляемые к математическим  моделям….10

3 Примеры математического моделирования……………..……12

4 Составление математических моделей……………………..…15

5 Элементарные математические  модели……………………….21

Заключение………………………………………………………..…27

Список использованной литературы……………………………………..28

Введение

Для нашего времени характерна интеграция наук, стремление получить как можно  более точное представление об общей  картине мира. Эти идеи находят  отражение в концепции современного школьного образования. Но решить такую  задачу невозможно в рамках одного учебного предмета. Поэтому в теории и практике обучения наблюдается  тенденция к интеграции учебных  дисциплин (интегрированные курсы, интегрированные уроки), которая  позволяет учащимся достигать межпредметных  обобщений и приближаться к пониманию  общей картины мира. Это особенно важно для преподавания математики, методы которой используются во многих областях знаний и человеческой деятельности.

Среди огромного числа проблем, которые волнуют всех, требуя незамедлительного  решения, основополагающей становится организация и обеспечение процесса становления личности, способной  адекватно ориентироваться, свободно избирать свою позицию и действовать  в современном конфликтном, динамично  меняющемся мире. Интеграция ориентирована  на подготовку выпускника к жизни  в современном обществе, к достойному выбору собственной жизненной и  профессиональной позиции; способствует развитию креативности, коммуникативных  способностей.

Актуальность проблемы обосновывается необходимостью изменения структуры  и содержания школьных курсов в рамках профильного обучения. Сложившаяся  школьная система не решает многие проблемы профильного обучения: пока нет достаточного научного обоснования  определённого и готового к реализации содержания профильного обучения, не определён эталонный и просто необходимый уровень общей и  предпрофессиональной компетентности, достаточный для продолжения  образования. Все, связанное с профильным обучением, находится сегодня в  стадии становления.

В классах или образовательных  учреждениях разного профиля  и предметы должны иметь разное содержание. Эта идея все ещё не находит  своего места в практике. В школах России появляется все больше и больше профильных классов. Профилируются  и сами школы. Однако почти всюду  это происходит по одному и тому же сценарию: увеличивается число  часов на профильные предметы, вводятся дополнительные предметы, ради этого  урезаются часы остальных, но почти  никакого влияния на их содержание этот процесс не оказывает. В результате ученики математического класса и гуманитарной гимназии изучают  одну и ту же математику - разница  лишь в том, что в первом случае все теории доказываются и задачи решаются трудные, а во втором никакие  теоремы не доказываются, некоторые  не упоминаются вовсе, решаемые задачи примитивны и неинтересны.

Интеграция как средство обучения должна дать ученику те знания, которые  отражают связанность отдельных  частей мира как системы, научить  ребёнка с первых шагов воспринимать мир как единое целое, в котором  все элементы взаимосвязаны.

Цель работы:

показать пути совершенствования  математической подготовки и развития навыков моделирования реальных процессов учащихся профильных классов;

отразить прикладные возможности  математики.

1 Основы математического  моделирования

Учителю интеграция предметов позволяет  воспитывать у ребят охоту  к целенаправленному преодолению  трудностей на пути познания. Новые  функции педагога главным образом  определяются необходимостью чёткого  представлять структуру учебной  деятельности и свои действия на каждом этапе от возникновения замысла  до полного его осуществления.

Приведём пример простейшей математической модели. Представим себе, что нужно  определить площадь пола комнаты. Реальный объект - пол комнаты - заменяется абстрактной

математической моделью - прямоугольником.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда  не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передаёт всех его свойств  и особенностей, а является его  приближённым отражением. Однако в  результате замены реального объекта  соответствующей ему моделью  появляется возможность математически  сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа  его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат  позволяет единообразно описать  широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведёт  себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих  наблюдений.

Моделирование представляет собой  один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении  или воспроизведении тех или  иных свойств реальных объектов, предметов  и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с  помощью абстрактного описания в  виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ. Возможности  моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что  модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование  как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных  видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия "модель", широко используемого  не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.

Классификация в любой области  знаний чрезвычайно важна. Она позволяет  обобщить накопленный опыт, упорядочить  понятия предметной области.

Существует несколько подходов к классификации моделей. Выделим  основные:

область использования;

учёт в модели временного фактора (динамики);

отрасль знаний;

способ представления моделей.

Классификация по области использования:

Классификация с учётом фактора  времени и области использования:

2

Классификация по способу представления:

2

2 Требования, предъявляемые  к математическим моделям

К математическим моделям предъявляются  следующие основные требования:

Универсальности.

Точности.

Адекватности.

Экономичности.

Универсальность математической модели характеризует полноту отражения  в ней свойств реального объекта. Математическая модель отражает не все, а лишь некоторые свойства реального  объекта.

Точность математической модели оценивается  степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и  значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Адекватность математической модели - это ее способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то ее экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного  времени и памяти компьютера.

К математическим моделям предъявляется  и целый ряд других требований, среди которых следует выделить следующие:

Вычислимость, т.е. возможность ручного  или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей  функционирования объекта (системы).

Модульность, т.е. соответствие конструкций  модели структурным составляющим объекта (системы).

Алгоритмизируемость, т.е. возможность  разработки соответсвующих алгоритма  и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.

Наглядность, т.е. удобное визуальное восприятие модели.

Задачи математического  моделирования

Существует два основных класса задач, связанных с математическими  моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются  известными, и нам остается только исследовать её поведение. Например, определение частоты колебаний  гармонического осциллятора при  известном значении параметра k - прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя  поведение реальной системы с  её моделью. Ещё одна обратная задача: подобрать параметры модели таким  образом, чтобы она удовлетворяла  каким-то заданным условиям -- такие  задачи требуется решать при проектировании систем.

3 Примеры математического  моделирования

Структурно-функциональная организация  биологических макромолекул. Классическая и квантовая динамика процессов  внутримолекулярных и межмолекулярных  взаимодействий макромолекул и их комплексов.

Процессы переноса заряда, вещества и энергии в молекулярно-биологических  системах. Химическая и биологическая  кинетика. Математические модели кинетики роста популяций. Периодические  процессы в биологии. Качественная теория систем биохимических реакций.

Биологические мембраны. Моделирование  структуры и основных мембранных процессов. Моделирование проницаемости  и возбудимости клеточных мембран.

Биология клетки. Создание математических моделей функционирования органелл и клетки в целом. Модели внутриклеточной  и межклеточной передачи сигналов. Математическое моделирование регуляции  функционирования клетки.

Математическая физиология. Моделирование  тканей, органов, и систем организма  в норме и патологии. Моделирование  иммунной, эндокринной системы, сердечно-сосудистой системы, мышечной системы, системы  свертывания крови и других систем тканей и органов. Моделирование  патофизиологических процессов: повреждения, регенерации и старения тканей, органов  и систем. Моделирование инфекционных заболеваний. Нейросетевые модели обработки  информации в структурах мозга.

Биология развития и старения. Моделирование  систем контроля онтогенеза. Моделирование  процессов деления и роста  клеток, дифференциации тканей и морфогенеза  особи. Моделирование процессов  физиологической адаптации и  старения организма.

Математическая генетика. Моделирование  пространственной, временной и функциональной организации генетических систем. Теория внутрипопуляционной селекции. Моделирование  генетического полиморфизма.

Эволюция. Математические модели эволюционной генетики. Исследования общих закономерностей  макроэволюционного процесса. Эволюционные модели биоразнообразия. Популяционная  биология. Моделирование динамики численности  и структуры популяций с учетом различных биологических механизмов взаимодействия популяций (отношения  типа хищник-жертва, конкуренция, действие лимитирующих факторов, стимуляторов и др.). Модели взаимодействия популяций  через сигнальные системы.

Моделирование экосистем. Модели региональных и локальных экосистем. Геоинформационные  системы. Модели глобального развития. Модели массопереноса в природных  средах. Математические модели экосистем  как основа экологического прогноза. Эколого-экономические модели. Математическое моделирование процессов в различных  компонентах экосистем. Математическое моделирование искусственных экосистем. Модели взаимодействия экосистем. Модели круговорота веществ. Модели замкнутых  экосистем. Теория подобия экосистем.

Вычислительная экология. Проблемы окружающей среды и природных  ресурсов. Интегрированные оценки взаимосвязи  биосферы и климата. Экология вирусов: моделирование межпопуляционных взаимодействий в системе вирусы-переносчики - потенциальные  хозяева в различных экологических  нишах. Математические модели эпидемического процесса. Задачи прогноза и управления эпидемическим процессом.

Системная биология. Общие проблемы моделирования сложных систем. Качественная теория поведения биологических  систем во времени. Теория редукции сложности  математических моделей. Общесистемные  проблемы математического моделирования  популяций, сообществ, биоценозов. Модели пространственной синхронизации. Автоколебания. Диссипативные структуры. Самоорганизация  и саморегуляция живых систем.

4 Составление  математических моделей

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые  важные для данного исследования типичные его черты.

Математическая модель - модель, в  которой для описания свойств  и типичных черт объекта используются математические символы.

Покупая в магазине разные продукты, мы автоматически занимаемся простейшим математическим моделированием. Запомнив цену каждого продукта, мы (или кассир) складываем абстрактные числа, оплачиваем сумму и затем по каждому чеку (числу на чеке) получаем конкретный продукт.

Такую же простейшую схему математического  моделирования мы много раз применяли  в курсе алгебры при решении  текстовых задач. Мы перекладывали  практическую задачу на математический язык, решали математическую задачу, а  затем интерпретировали математический результат.

Процесс математического моделирования - это процесс построения математической модели. Он состоит из следующих  этапов:

Переложение практической задачи на математический язык: составление уравнений, неравенств, системы уравнений и  неравенств и т. д.

Решение математической задачи: уравнения, неравенства, системы и т. д.

Интерпретация математического результата: переход от найденных чисел (корней уравнений, решений неравенств) к  их практическому смыслу в данной задаче.

Проверка результата практикой.

Первые три этапа мы все применяли  при решении текстовых алгебраических задач. И если мы не допустили ошибок, что проверяется непосредственно  проверкой или по данным в учебнике ответам, то считается, что задача решена верно. При решении практических задач такого ответа не существует. Представьте себе, что решается сложная  задача о конструировании самолета или не менее сложная экономическая  задача. В таких случаях необходима проверка математических выводов экспериментом.