Метод оптимальных решений

Чтобы проверить теоретические  выводы о конструкции самолета, строят его модель - единственный (а не серийный) настоящий самолет - и сначала  проверяют его испытанием в аэродинамической трубе. Затем проводят испытания  в настоящем полете. Во время испытания  выявляются недостатки, уточняются условия  задачи, уточняются и проверяются  все три этапа ее решения. Затем  снова эксперимент, и так до получения  хорошего для практики результата.

Таким образом, вырисовывается следующая  схема математического моделирования:

Реальный Мир	1 этап - абстракция	Математическая модель
4 этап эксперимент		2 этап решение математи- ческой проблемы
Выводы о реальном мире	3 этап - интерпретация	Математические выводы

Рассмотрим пример.

Задача. Два художника купили по одинаковому количеству краски. Первый из них половину всей краски купил  по рублей за тюбик, а другую половину - по рублей за тюбик. Второй половину всех денег за покупку истратил на тюбики по рублей, а другую половину денег - на тюбики по рублей. Кто из них  заплатил за покупку меньше?

Решение. I. Введем обозначения:

S - число тюбиков, купленных каждым  художником;

х рублей - сумма, затраченная на покупку  первым художником;

y рублей - сумма, затраченная на  покупку вторым художником.

По условию задачи имеем:

S/2 + S/2 = x, (1)

y/ 2 + y/ 2 =S, (2)

Итак, нужно выяснить, какое из чисел, x или y, меньше другого, если положительные  числа , , x, y, S удовлетворяют равенствам (1), (2). Эта математическая задача и  есть математическая модель данной практической задачи.

Приведем некоторые задачи, решаемые методом моделирования

Задача о рекламе. Средства массовой информации дают рекламные объявления для ускорения сбыта некоторой  продукции, которая есть в продаже. Последующая информация о продукции  распространяется среди покупателей  посредством общения друг с другом. По какому закону распространяется известие о наличии этой продукции?

Решение. Пусть N число потенциальных  покупателей данной продукции и  в момент времени t об ее наличии  в продаже знают х (t) покупателей. Хотя на самом деле число покупателей  целое, но для абстрактной математической модели можно считать, что функция  х (t) может принимать все значения от 0 до N.

Статистика показывает, что с  большой степенью достоверности  скорость изменения функции х (t) прямо пропорциональна как числу  знающих о продукции, так и  числу не знающих. Если условится, что  время отсчитывается после рекламных  объявлений, когда о товаре узнало N / человек, то приходим к дифференциальному  уравнению

x (t) = kx(t)( N x(t)) (3)

с начальными условиями х = N / при t = 0. В уравнении (3) коэффициент k это  положительный коэффициент пропорциональности, который определяется экспериментально и зависит от интенсивности рекламы  и скорости распространения слухов.

Интегрируя уравнение (1), находим, что

1 / N ln (x /(N x)) = kt + С.

Полагая NC = C1, приходим к равенству

x / (N x) = AеNk t , где А = еC1 .

Если последнее уравнение разрешить  относительно х, то получим соотношение

х (t) = N Aе Nkt / AеNkt + 1 = N / 1 + Ре Nkt , (4)

где Р = 1/ A.

Если учесть теперь начальные условия, то уравнение (4) перепишется в виде

х (t) = N / (1 + ( 1)Nkt

Задача (химия и технология производства). Через сосуд ёмкостью а литров, наполненный водным раствором некоторой  соли, непрерывно протекает жидкость, причем в единицу времени втекает b литров чистой воды и вытекает такое  же количество раствора.

Найти закон, по которому изменяется содержание соли в сосуде в зависимости  от времени протекания жидкости через  сосуд.

Решение: в данный момент времени t в сосуде содержится некоторое число x кг соли, а в b литрах кг.

Если бы в течение единицы  времени, начиная с момента t , концентрация раствора оставалась неизменной, т.е. такой, какой она была в момент времени t, то количество соли в сосуде за эту  единицу времени уменьшилось  бы на кг; такова скорость уменьшения количества соли в сосуде для момента t.

С другой стороны, производная равна  скорости прироста количества соли в  момент t; значит, скорость уменьшения количества соли в момент t будет  равна . Итак, имеем:

Разделим переменные: , откуда , или  потенцируя,

(5), где - произвольная постоянная.

Предположим для определенности, что  при t=0 количество соли в сосуде было равно c кг.

Полагая в формуле (5) t=0, найдем, что  и получим окончательно , т.е. количество соли убывает с течением времени  по «показательному» закону.

Ответ:

Задача (биология, процессы прироста). В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна  наличному его количеству x. Первоначальное количество фермента было a. Через час  оно удвоилось. Во сколько раз  оно увеличится через 3 часа?

Решение:

По условию дифференциальное уравнение  процесса ,

где k - коэффициент пропорциональности.

Разделяя переменные, получим: .

Отсюда, общее решение .

Найдем с из начального условия: при t=0, x=a. Отсюда , или c = a.

Подставляя в общее решение, получим частное решение задачи: .

Коэффициент пропорциональности определяем из данных дополнительных условий: при t=1час; x=2a.

Отсюда: , или . Подставляя в частное  решение , получим закон рассматриваемого процесса: .

При t = 3часа, x = 8a. Следовательно, количество фермента спустя три часа увеличится в 8 раз.

Ответ: за три часа количество фермента увеличится в 8 раз.

5 Элементарные  математические модели

Рассмотрим некоторые подходы  к построению простейших математических моделей, иллюстрирующие применение фундаментальных  законов природы.

1. Фундаментальные законы природы.  Наиболее распространенный метод  построения моделей состоит в  применении фундаментальных законов  природы к конкретной ситуации. Эти законы общепризнаны, многократно  подтверждены опытом, служат основой  множества научно-технических достижений. Поэтому их обоснованность не  вызывает сомнений, что, помимо  всего прочего, обеспечивает исследователю  мощную психологическую поддержку.

а) Сохранение энергии. Этот закон  известен почти двести лет и занимает, пожалуй, наиболее почетное место среди  великих законов природы. Полагаясь  на него, эксперт по баллистике, желающий быстро определить скорость револьверной пули и не имеющий поблизости специальной  лаборатории, может воспользоваться  относительно простым устройством  типа маятника -- груза, подвешенного на легком жестком и свободно вращающемся  стержне (рис. 1)

 
Рис. 1.

Пуля, застрявшая в грузе, сообщит  системе "пуля--груз" свою кинетическую энергию, которая в момент наибольшего  отклонения стержня от вертикали  полностью перейдет в потенциальную  энергию системы. Это описывается  цепочкой равенств

Здесь mv2/2 -- кинетическая энергия пули массы m, имеющей скорость v, M -- масса  груза, V -- скорость системы "пуля--груз" сразу после столкновения, g -- ускорение  свободного падения, I -- длина стержня,б-- угол наибольшего отклонения. Искомая  скорость определяется формулой

,

которая будет вполне точной, если не учитываемые нами потери энергии  на разогрев пули и груза, на преодоление  сопротивления воздуха, разгон стержня  и т. д. невелики. Это, на первый взгляд, разумное рассуждение на самом деле неверно. Процессы, происходящие при "слипании" пули и маятника, уже не являются чисто механическими. Поэтому примененный  для вычисления величины V закон  сохранения механической энергии несправедлив: сохраняется полная, а не механическая энергия системы. Он дает лишь нижнюю границу для оценки скорости пули (для правильного решения этой простой задачи надо воспользоваться  также законом сохранения импульса).

б) Сохранение материи. Именно этим соображением руководствуется школьник, решающий задачу о заполнении бассейна водой, втекающей и вытекающей из двух труб. Конечно же, область применения этого  закона несравненно шире.

Пусть, например, имеется небольшое  количество радиоактивного вещества (урана), окруженного толстым слоем "обычного" материала (свинца), -- ситуация типичная либо при хранении делящихся материалов, либо при их использовании в энергетике (рис.2).

 
Рис. 2

Под словом "небольшой" подразумевается  упрощающее обстоятельство, а именно то, что все продукты распада, не испытывая столкновений с атомами  вещества, беспрепятственно покидают область I. Другими словами, длина  свободного пробега продуктов распада  в первом веществе значительно больше характерных размеров самого материала LI, Т.е. . Слова "толстый слой" означают, что в согласии с целями хранения продукты деления полностью поглощаются  в области II. Это гарантируется при выполнении противоположного условия , где -- длина пробега продуктов распада во втором веществе, LII -- его характерный размер.

Итак, все, что вылетает из области I, поглощается в области II, и суммарная  масса обоих веществ со временем не меняется. Это и есть закон  сохранения материи, примененный к  данной ситуации. Если в начальный  момент времени t=0 массы веществ  были равны MI(0) и MII(0), то в любой момент времени справедлив баланс

MI(0) + MII(0)= MI(t) + MII(t) (6)

Одного уравнения (6), очевидно, недостаточно для определения текущих значений двух масс - MI(t) и MII(t). Для замыкания  математической формулировки необходимо привлечь дополнительное соображение  о характере распада. Оно гласит, что скорость распада (число атомов, распадающихся в единицу времени) пропорционально общему числу атомов радиоактивного вещества. За небольшое  время dt между моментами t и t + dt всего  распадется

атомов. Здесь вторично использован  закон сохранения вещества, но применительно  не ко всему процессу, а к отрезку  времени dt. В этом уравнении, описывающем  баланс атомов, в правой части стоит  знак минус (вещество убывает), а величина отвечает некоторому среднему значению числа атомов за рассматриваемое  время. Перепишем его в дифференциальной форме:

Учитывая, что , где -- атомный вес  вещества I, получаем

	(7)

При самопроизвольной радиоактивности  любой атом имеет некоторую не зависящую от состояния окружающего  вещества вероятность распада. Поэтому  чем больше (меньше) самого радиоактивного вещества, тем больше (меньше) выделяется продуктов распада в единицу  времени. Коэффициент пропорциональности (постоянная распада) определяется конкретным веществом. Уравнения (6), (7) вместе с  условиями , а также величинами , MI(0), MII(0) и составляют математическую модель рассматриваемого объекта.

Интегрируя (7), получаем, что масса  делящегося материала убывает по экспоненциальному закону

и при в области I вещество полностью  исчезает.

Так как суммарная масса в  соответствии с (6) остается постоянной, то в области II количество вещества растет:

и при продукты распада полностью  переходят из области I в область II.

в) Сохранение импульса. Неподвижно стоящая  в безветренную погоду на поверхности  озера лодка начнет двигаться  вперед, если сделать несколько шагов  от ее носа к корме. Так проявляет  себя закон сохранения импульса, утверждающий: полный импульс системы, не испытывающей действия внешних сил, сохраняется. Принцип реактивного движения положен  в основу многих замечательных технических  устройств, например, ракеты, выводящей  на орбиту вокруг Земли искусственный  спутник, для чего ей требуется развить  скорость примерно 8 км/с. Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении  сопротивлением воздуха, гравитацией  и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей.

Пусть продукты сгорания ракетного  топлива покидают расположенные  в кормовой части выхлопные сопла  со скоростью u (для современных топлив величина и равна 3-5 км/с). За малый  промежуток времени dt между моментами t и t + dt часть топлива выгорела, и  масса ракеты изменилась на величину dm. Изменился также импульс ракеты, однако суммарный импульс системы "ракета плюс продукты сгорания" остался тем же, что и в момент t:

где v(t) -- скорость ракеты, - средняя  за промежуток dt скорость истекающих из сопел газов (обе скорости берутся  относительно Земли). Первый член в  правой части этого равенства - импульс  ракеты в момент t + dt, второй -- импульс, переданный истекающим газом за время dt.

Учитывая, что m(t + dt) = m(t) + (dm/dt) dt + O(dt2), закон  сохранения импульса можно переписать в виде дифференциального уравнения

в котором член - (dm/dt)u, очевидно, не что иное, как сила тяги ракетных двигателей, и которое, будучи преобразованным  к виду

легко интегрируется:

где v0, m0 - соответственно скорость и  масса ракеты в момент t = 0. Если v0=0, то максимальная скорость ракеты, достигаемая  при полном сгорании топлива, равна

(8)

Здесь mp - полезная масса (масса спутника), ms - структурная масса (масса собственно ракетной конструкции - топливных баков, двигателей, систем управления и т.д.).

Простая формула Циолковского (8) позволяет  сделать фундаментальный вывод  о конструкции ракеты для космических  полетов. Введем величину

которая характеризует при mр = 0 отношение  структурной и начальной масс ракеты. Тогда для практически  реальных значений км/с получаем при mр = 0

Отсюда следует, что даже в самой  идеальной ситуации (полезная масса  равна нулю, отсутствуют гравитация и сопротивление воздуха и  т.д.) ракета рассматриваемого типа не способна достичь первой космической  скорости. Тем самым необходимо использовать многоступенчатые ракеты - вывод, к  которому пришли основоположники.