Метод оптимальных решений

Моделирование представляет собой  один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении  или воспроизведении тех или  иных свойств реальных объектов, предметов  и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с  помощью абстрактного описания в  виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ. Возможности  моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что  модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование  как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных  видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия "модель", широко используемого  не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.

Классификация в любой области  знаний чрезвычайно важна. Она позволяет  обобщить накопленный опыт, упорядочить  понятия предметной области.

Существует несколько подходов к классификации моделей. Выделим  основные:

область использования;

учёт в модели временного фактора (динамики);

отрасль знаний;

способ представления моделей.

Классификация по области использования:

Классификация с учётом фактора  времени и области использования:

2

Классификация по способу представления:

2

2 Требования, предъявляемые  к математическим моделям

К математическим моделям предъявляются  следующие основные требования:

Универсальности.

Точности.

Адекватности.

Экономичности.

Универсальность математической модели характеризует полноту отражения  в ней свойств реального объекта. Математическая модель отражает не все, а лишь некоторые свойства реального  объекта.

Точность математической модели оценивается  степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и  значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Адекватность математической модели - это ее способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то ее экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного  времени и памяти компьютера.

К математическим моделям предъявляется  и целый ряд других требований, среди которых следует выделить следующие:

Вычислимость, т.е. возможность ручного  или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей  функционирования объекта (системы).

Модульность, т.е. соответствие конструкций  модели структурным составляющим объекта (системы).

Алгоритмизируемость, т.е. возможность  разработки соответсвующих алгоритма  и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.

Наглядность, т.е. удобное визуальное восприятие модели.

Задачи математического  моделирования

Существует два основных класса задач, связанных с математическими  моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются  известными, и нам остается только исследовать её поведение. Например, определение частоты колебаний  гармонического осциллятора при  известном значении параметра k - прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя  поведение реальной системы с  её моделью. Ещё одна обратная задача: подобрать параметры модели таким  образом, чтобы она удовлетворяла  каким-то заданным условиям -- такие  задачи требуется решать при проектировании систем.

3 Примеры математического  моделирования

Структурно-функциональная организация  биологических макромолекул. Классическая и квантовая динамика процессов  внутримолекулярных и межмолекулярных  взаимодействий макромолекул и их комплексов.

Процессы переноса заряда, вещества и энергии в молекулярно-биологических  системах. Химическая и биологическая  кинетика. Математические модели кинетики роста популяций. Периодические  процессы в биологии. Качественная теория систем биохимических реакций.

Биологические мембраны. Моделирование  структуры и основных мембранных процессов. Моделирование проницаемости  и возбудимости клеточных мембран.

Биология клетки. Создание математических моделей функционирования органелл и клетки в целом. Модели внутриклеточной  и межклеточной передачи сигналов. Математическое моделирование регуляции  функционирования клетки.

Математическая физиология. Моделирование  тканей, органов, и систем организма  в норме и патологии. Моделирование  иммунной, эндокринной системы, сердечно-сосудистой системы, мышечной системы, системы свертывания крови и других систем тканей и органов. Моделирование патофизиологических процессов: повреждения, регенерации и старения тканей, органов и систем. Моделирование инфекционных заболеваний. Нейросетевые модели обработки информации в структурах мозга.

Биология развития и старения. Моделирование  систем контроля онтогенеза. Моделирование  процессов деления и роста  клеток, дифференциации тканей и морфогенеза  особи. Моделирование процессов  физиологической адаптации и  старения организма.

Математическая генетика. Моделирование  пространственной, временной и функциональной организации генетических систем. Теория внутрипопуляционной селекции. Моделирование  генетического полиморфизма.

Эволюция. Математические модели эволюционной генетики. Исследования общих закономерностей  макроэволюционного процесса. Эволюционные модели биоразнообразия. Популяционная  биология. Моделирование динамики численности  и структуры популяций с учетом различных биологических механизмов взаимодействия популяций (отношения  типа хищник-жертва, конкуренция, действие лимитирующих факторов, стимуляторов и др.). Модели взаимодействия популяций  через сигнальные системы.

Моделирование экосистем. Модели региональных и локальных экосистем. Геоинформационные  системы. Модели глобального развития. Модели массопереноса в природных  средах. Математические модели экосистем  как основа экологического прогноза. Эколого-экономические модели. Математическое моделирование процессов в различных  компонентах экосистем. Математическое моделирование искусственных экосистем. Модели взаимодействия экосистем. Модели круговорота веществ. Модели замкнутых  экосистем. Теория подобия экосистем.

Вычислительная экология. Проблемы окружающей среды и природных  ресурсов. Интегрированные оценки взаимосвязи  биосферы и климата. Экология вирусов: моделирование межпопуляционных взаимодействий в системе вирусы-переносчики - потенциальные  хозяева в различных экологических  нишах. Математические модели эпидемического процесса. Задачи прогноза и управления эпидемическим процессом.

Системная биология. Общие проблемы моделирования сложных систем. Качественная теория поведения биологических  систем во времени. Теория редукции сложности  математических моделей. Общесистемные  проблемы математического моделирования  популяций, сообществ, биоценозов. Модели пространственной синхронизации. Автоколебания. Диссипативные структуры. Самоорганизация  и саморегуляция живых систем.

4 Составление  математических моделей

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые  важные для данного исследования типичные его черты.

Математическая модель - модель, в  которой для описания свойств  и типичных черт объекта используются математические символы.

Покупая в магазине разные продукты, мы автоматически занимаемся простейшим математическим моделированием. Запомнив цену каждого продукта, мы (или кассир) складываем абстрактные числа, оплачиваем сумму и затем по каждому чеку (числу на чеке) получаем конкретный продукт.

Такую же простейшую схему математического  моделирования мы много раз применяли  в курсе алгебры при решении  текстовых задач. Мы перекладывали  практическую задачу на математический язык, решали математическую задачу, а  затем интерпретировали математический результат.

Процесс математического моделирования - это процесс построения математической модели. Он состоит из следующих  этапов:

Переложение практической задачи на математический язык: составление уравнений, неравенств, системы уравнений и  неравенств и т. д.

Решение математической задачи: уравнения, неравенства, системы и т. д.

Интерпретация математического результата: переход от найденных чисел (корней уравнений, решений неравенств) к  их практическому смыслу в данной задаче.

Проверка результата практикой.

Первые три этапа мы все применяли  при решении текстовых алгебраических задач. И если мы не допустили ошибок, что проверяется непосредственно  проверкой или по данным в учебнике ответам, то считается, что задача решена верно. При решении практических задач такого ответа не существует. Представьте себе, что решается сложная  задача о конструировании самолета или не менее сложная экономическая  задача. В таких случаях необходима проверка математических выводов экспериментом.

Чтобы проверить теоретические  выводы о конструкции самолета, строят его модель - единственный (а не серийный) настоящий самолет - и сначала  проверяют его испытанием в аэродинамической трубе. Затем проводят испытания  в настоящем полете. Во время испытания  выявляются недостатки, уточняются условия  задачи, уточняются и проверяются  все три этапа ее решения. Затем  снова эксперимент, и так до получения  хорошего для практики результата.

Таким образом, вырисовывается следующая  схема математического моделирования:

Реальный Мир	1 этап - абстракция	Математическая модель
4 этап эксперимент		2 этап решение математи- ческой проблемы
Выводы о реальном мире	3 этап - интерпретация	Математические выводы

Рассмотрим пример.

Задача. Два художника купили по одинаковому количеству краски. Первый из них половину всей краски купил  по рублей за тюбик, а другую половину - по рублей за тюбик. Второй половину всех денег за покупку истратил на тюбики по рублей, а другую половину денег - на тюбики по рублей. Кто из них  заплатил за покупку меньше?

Решение. I. Введем обозначения:

S - число тюбиков, купленных каждым  художником;

х рублей - сумма, затраченная на покупку  первым художником;

y рублей - сумма, затраченная на  покупку вторым художником.

По условию задачи имеем:

S/2 + S/2 = x, (1)

y/ 2 + y/ 2 =S, (2)

Итак, нужно выяснить, какое из чисел, x или y, меньше другого, если положительные  числа , , x, y, S удовлетворяют равенствам (1), (2). Эта математическая задача и  есть математическая модель данной практической задачи.

Приведем некоторые задачи, решаемые методом моделирования

Задача о рекламе. Средства массовой информации дают рекламные объявления для ускорения сбыта некоторой  продукции, которая есть в продаже. Последующая информация о продукции  распространяется среди покупателей  посредством общения друг с другом. По какому закону распространяется известие о наличии этой продукции?

Решение. Пусть N число потенциальных  покупателей данной продукции и  в момент времени t об ее наличии  в продаже знают х (t) покупателей. Хотя на самом деле число покупателей  целое, но для абстрактной математической модели можно считать, что функция  х (t) может принимать все значения от 0 до N.

Статистика показывает, что с  большой степенью достоверности  скорость изменения функции х (t) прямо пропорциональна как числу  знающих о продукции, так и  числу не знающих. Если условится, что  время отсчитывается после рекламных  объявлений, когда о товаре узнало N / человек, то приходим к дифференциальному  уравнению

x (t) = kx(t)( N x(t)) (3)

с начальными условиями х = N / при t = 0. В уравнении (3) коэффициент k это  положительный коэффициент пропорциональности, который определяется экспериментально и зависит от интенсивности рекламы  и скорости распространения слухов.

Интегрируя уравнение (1), находим, что

1 / N ln (x /(N x)) = kt + С.

Полагая NC = C1, приходим к равенству

x / (N x) = AеNk t , где А = еC1 .

Если последнее уравнение разрешить  относительно х, то получим соотношение

х (t) = N Aе Nkt / AеNkt + 1 = N / 1 + Ре Nkt , (4)

где Р = 1/ A.

Если учесть теперь начальные условия, то уравнение (4) перепишется в виде

х (t) = N / (1 + ( 1)Nkt

Задача (химия и технология производства). Через сосуд ёмкостью а литров, наполненный водным раствором некоторой  соли, непрерывно протекает жидкость, причем в единицу времени втекает b литров чистой воды и вытекает такое  же количество раствора.

Найти закон, по которому изменяется содержание соли в сосуде в зависимости  от времени протекания жидкости через  сосуд.

Решение: в данный момент времени t в сосуде содержится некоторое число x кг соли, а в b литрах кг.

Если бы в течение единицы  времени, начиная с момента t , концентрация раствора оставалась неизменной, т.е. такой, какой она была в момент времени t, то количество соли в сосуде за эту  единицу времени уменьшилось  бы на кг; такова скорость уменьшения количества соли в сосуде для момента t.