Моделирование систем

 

2.3. Описание  характеристик системы.

Узловые характеристики системы, рассчитываемые на Q-модели, представлены в таблице 7.

Таблица 7. Узловые характеристики Q-модели

Узел	Характеристика	Описание
S1	l1	средняя длина очереди
	m1	среднее число заявок в узле (включая очереди)
	ρ1	коэффициент загрузки узла
	ω1	среднее время ожидания в очереди
	u1	среднее время пребывания в узле (включая ожидание в очереди)
	α 1	коэффициенты передач
S2	l2	средняя длина очереди
	m2	среднее число заявок в узле (включая очереди)
	ρ2	коэффициент загрузки узла
	ω2	среднее время ожидания в очереди
	u2	среднее время пребывания в узле (включая ожидание в очереди)
	α 2	коэффициенты передач
S3	l3	средняя длина очереди
	m3	среднее число заявок в узле (включая очереди)
	ρ3	коэффициент загрузки узла
	ω3	среднее время ожидания в очереди
	u3	среднее время пребывания в узле (включая ожидание в очереди)
	α 3	коэффициенты передач
S4	l4	средняя длина очереди
	m4	среднее число заявок в узле (включая очереди)
	ρ4	коэффициент загрузки узла
	ω4	среднее время ожидания в очереди
	u4	среднее время пребывания в узле (включая ожидание в очереди)
	α 4	коэффициенты передач

Системные характеристики системы, рассчитываемые на Q-модели, представлены таблице 8.

 

Таблица 8. Системные характеристики Q-модели

Характеристика	Описание	Вычисление
L	средняя суммарная длина очередей в системе	L = l1 + l2 + l3 + l4
M	среднее суммарное число заявок в системе (включая очереди)	M  = m1+m2+ m3+ m4
W	среднее время ожидания в системе	W = ω1* α 1+ ω2 * α 2+ ω3 * α 3+ ω4 * α 4
U	среднее время пребывания в системе (включая ожидание в очередях)	U  = u1 * α 1+ u2 * α 2+ u3 * α 3+ u4 * α 4

 

Результаты построения математической модели системы на базе ССМ представлены на рисунке 4.

Рисунок 4. ССМ потока

Использованные в рассматриваемой  здесь модели ССМ-узлы кратко описаны  в таблице 9.

 Таблица 9. Описание узлов ССМ

Узел Q-модели	ССМ-узел	Описание
S0	b0	одиночный источник
S1	b1	устройство
S2	b2	устройство
S3	b3	устройство
S4	b4	устройство
S5	b5	приемник
S6	b6	P узел
S7	b7	P узел
S8	b8	P узел
S9	b9	P узел

 

3. Имитационное моделирование системы в разомкнутом режиме.

3.1. Построение  схемы GPSS-модели.

Реализуем имитационную модель на проблемно-ориентированном  языке (GPSS).

Приведем ее на рисунке 5.

Рисунок 5. ССМ, ориентированная на GPSS

В таблице 10 представлены параметры дополнительных узлов.

Таблица 10. Параметры GPSS-узлов

Узел	Узлы-фазы	Параметр	Значение
b1	b1,1
	b1,2	задержка	50
	b1,3
b2	b2,1
	b2,2	задержка	150
	b2,3
b3	b3,1
	b3,2	задержка	28
	b3,3
b4	b4,1
	b4,2	задержка	63
	b4,3

Измерение и вычисление узловых и системных характеристик  иллюстрируется таблицами 11, 12. На схеме ССМ (рисунок 5) точки сбора статистики обозначены символом – x.

Таблица 11. Измерение узловых характеристик ССМ

Узел	Характеристика	Точки или узел замера	ИМЯ_ПАРЫ_ТОЧЕК
b1	m1 , u1	2-3	w_b_1
	m1 , u1	2-4	u_b_1
	ρ1	узел b1
b2	m2 , u2	5-6	w_b_2
	m2 , u2	5-7	u_b_2
	ρ2	узел b2
b3	l3 , ω3	8-9	w_b_3
	m3 , u3	8-10	u_b_3
	ρ3	узел b3
b4	l4 , ω4	11-12	w_b_4
	m4 , u4	11-13	u_b_4
	ρ4	узел b4

 

Таблица 12. Измерение и вычисление системных характеристик ССМ

Характеристика	Вычисление	Точки или узел замера	ИМЯ_ПАРЫ_ТОЧЕК
L W	L = l1 + l2 + l3 + l4, W = ω1 * α 1+ ω2 * α 2+ ω3 * α 3+ ω4 * α 4	2-3 плюс 5-6 плюс 8-9 плюс 11-12 плюс	W_system
M U	M  = m1 +m2 + m3+ m4, U  = u1 * α 1+ u2 * α 2+ u3 * α 3+ u4 * α 4	1-14	U_system

Опишем на языке GPSS разработанную GPSS-ориентированную  стохастическую сетевую модель.

Строим модель в соответствии с рисунком 5.

3.2. Построение GPSS-модели.

Текст программы приведен ниже.

Листинг 1. Текст программы

b_1  STORAGE 2

b_4  STORAGE 2

 

GENERATE (TRIANGULAR(1,85,255,170))

Queue U_system

 

TRANSFER         .4,,Label_3

TRANSFER         .5,,Label_2 

 

queue w_b_1

queue            u_b_1

ENTER b_1

depart w_b_1

ADVANCE          75,25

LEAVE b_1

depart           u_b_1

TRANSFER         ,konec

 

Label_2 queue            w_b_2

queue            u_b_2

SEIZE            b_2

depart           w_b_2

ADVANCE          225,75

RELEASE          b_2

depart           u_b_2

 

TRANSFER         ,konec

 

Label_3 queue            w_b_3

queue            u_b_3

SEIZE            b_3

depart           w_b_3

ADVANCE          42,14

RELEASE          b_3

depart           u_b_3

 

TRANSFER         .45,,Label_3

 

queue            w_b_4

queue            u_b_4

ENTER b_4

depart           w_b_4

ADVANCE          94.5,31.5

LEAVE b_4

depart           u_b_4

 

TRANSFER .55,,Label_3

 

konec depart           U_system

TERMINATE        1

start           100000

 

 

Листинг 2. Статистический отчет выполнения GPSS-модели

 

FACILITY     ENTRIES  UTIL.   AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY

B_3          244042    0.603      42.006  1        0    0    0     0      0

B_2           20144    0.267     225.158  1        0    0    0     0      0

 

QUEUE            MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME   AVE.(-0) RETRY

U_SYSTEM         12    1 100001      0     2.193    372.949    372.949   0

W_B_3            11    0 244042 116519     0.455     31.729     60.721   0

U_B_3            11    0 244042      0     1.058     73.736     73.736   0

W_B_4             3    0 134254 122607     0.015      1.879     21.658   0

U_B_4             5    1 134254      0     0.761     96.402     96.402   0

W_B_2             2    0  20144  16215     0.020     16.688     85.560   0

U_B_2             3    0  20144      0     0.286    241.846    241.846   0

W_B_1             1    0  19814  19814     0.000      0.000      0.000   0

U_B_1             2    0  19814      0     0.087     75.024     75.024   0

 

STORAGE          CAP. REM. MIN. MAX.  ENTRIES AVL.  AVE.C. UTIL. RETRY DELAY

B_1               2    2   0     2    19814   1    0.087  0.044    0    0

B_4               2    1   0     2   134254   1    0.746  0.373    0    0

 

3.3. Имитационное моделирование.

Ниже в таблице 13 представлены результаты аналитического (расчет представлен в п.4) и имитационного моделирования и вычислена погрешность аналитической модели. При этом за эталон взяты характеристики ИМ.

Таблица 13. Характеристики ИМ

	Харак-тика	Значение характеристики		Погрешность, %
		АМ	ИМ	1
Узел
1	ρ1	0.044	0.066	49.153
	l1	0.002	0.000	100.000
	m1	0.046	0.132	185.105
	ω1	1.157	0.000	100.000
	u1	26.157	74.954	186.549
2	ρ2	0.266	0.398	49.906
	l2	0.096	0.051	46.859
	m2	0.361	0.449	24.215
	ω2	54.221	28.561	47.324
	u2	204.221	253.319	24.042
3	ρ3	0.267	0.399	50.000
	l3	0.096	0.134	39.007
	m3	0.362	0.532	46.800
	ω3	10.147	14.092	38.877
	u3	38.147	56.107	47.080
4	ρ4	0.164	0.246	50.183
	l4	0.032	0.004	87.534
	m4	0.196	0.496	153.208
	ω4	6.170	0.727	88.218
	u4	37.670	95.347	153.108
Система
	L	0.227	0.189	16.557
	M	0.966	1.609	66.554
	U	71.696	43.380	39.494
	W	306.196	479.727	56.673

Выводы. Большие различия в результатах вызваны тем, что при расчете аналитической модели в нее были внесены упрощения:

1. Преобразование исходной  ССМ в сеть МО разомкнутого  типа.

2. Замена многоканальных  узлом одноканальными.

3. Преобразование сети  МО в однородную сеть.

4. Преобразование сети МО в экспоненциальную сеть.

3.4. Анализ исходного состояния.

Значения параметров модели обеспечивают ее работу в стационарном режиме, то есть без нарастающих очередей. Значения коэффициентов загрузки обслуживающих узлов, устройств, памятей различны и лежат в пределах 0.044÷0.266. Длительность моделирования достаточна для обработки 100000 заявок.

Оценка зависимости  точности моделирования от его длительности.

В качестве шага изменения  длительности моделирования будем  использовать число обработанных заявок (10000 - 100000 заявок).

Соответственно выполняется моделирование с разной длительностью (например, обрабатывается 10000. 20000. 50000. 100000 заявок). Фиксируем значения 1 узловой и 1 системной характеристик. Строим графики зависимости их значений от числа обработанных заявок.

 

Таблица 14. Зависимости значений характеристик от числа обработанных заявок

Количество транзактов	Число заявок в устройстве b2	Среднее времени пребывания в системе
10000	0.456	255.477
20000	0.452	254.668
50000	0.450	253.831
100000	0.449	253.319

 

Рисунок 6. Зависимость числа заявок в устройстве b2

от числа обработанных заявок

Рисунок 7. Зависимость среднего времени пребывания в системе

от числа обработанных заявок

Как видно из графиков зависимостей, с увеличением числа обработанных заявок характеристики системы улучшаются.

4. Имитационное моделирование  системы в замкнутом режиме.

4.1. Построение  схемы GPSS-модели.

Аналитические модели (АМ) – это математические модели, рассчитываемые аналитически, формульно и позволяющие для заданных значений параметров системы непосредственно получать, рассчитывать значения характеристик системы.