Моделирование систем

Исходная ССМ может  быть неоднородной (обслуживает потоки заявок нескольких типов), не экспоненциальной (законы поступления и обслуживания заявок могут быть не экспоненциальными), может содержать неразрешенные в сетях МО ресурсы (например, память, узлы захвата и освобождения памяти, узлы выбора маршрутов в зависимости от состояний узлов и в соответствии с заданными условиями и т.п.).

Соответственно задача состоит в том, чтобы получить указанную сеть МО из исходной ССМ путем внесения в нее упрощений. Для этого:

1. Преобразуем исходную  ССМ в сеть МО разомкнутого  типа.

2. Заменим многоканальные  узлы одноканальными.

3. Преобразуем сеть  МО в однородную сеть.

4. Преобразуем сеть МО в экспоненциальную сеть.

5. Рассчитаем характеристики.

Построенные ранее ССМ (рисунок 4) или GPSS-ССМ (рисунок 5) является разомкнутой и не экспоненциальной.

Полученная СМО представлена на рисунке  8.

Рисунок 8. Сеть МО

Заменим многоканальные узлы одноканальными для упрощения расчётов.

Для каждого многоканального узла j с канальностью (Kj) пересчитаем исходные трудоемкости запросов (средние значения длительности обслуживания в канале t_j) и получим новые значения t*_j  по формуле:

t*_{j  =} t_j / Kj .

Здесь многоканальными  являются узлы b₁ (K₁ = 2) и b₄ (K₄ = 2). Заменим их эквивалентными одноканальными узлами b*₁ (K₁ = 1) и b*₄ (K₄ = 1).

t*_{1  =} t₁ /K₁ = 50 / 2 = 25  и t*_{4  =} t₄ / K₄ = 63/ 2 = 31.5.

Для рассматриваемой сети МО получим следующие значения параметров:

1. Для закона поступления  заявок параметр экспоненциального  распределения m_t= 170, скорость их поступления λ = 0.0059.

2. Для  закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₁  параметр экспоненциального распределения (средняя длительность обслуживания в канале узла) m_t  = t*₁  = 85.

3. Для закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₂  параметр экспоненциального распределения (средняя длительность обслуживания в канале узла) m_t  = t₂  = 150.

4. Для закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₃  параметр экспоненциального распределения (средняя длительность обслуживания в канале узла) m_t  = t₃  = 28.

5. Для закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₄  параметр экспоненциального распределения (средняя длительность обслуживания в канале узла) m_t  = t*₄  = 31.5.

В результате проведенных  упрощений получена модель в виде разомкнутой, однородной, линейной, экспоненциальной сети МО с одноканальными устройствами.

Представим внешнюю  среду одним узлом b₀ (вместо b₀ и b₅) и в качестве источника и в качестве приемника. Запросы приходят из внешней среды и возвращаются в нее.

Тогда сеть состоит из n = 9 узлов, где N = 4 устройств.

Состав узлов сети - b₀, b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆, b₇, b₈, b₉.

Опишем матрицу вероятностей переходов P, при этом будем учитывать все узлы, кроме маршрутных (таблица 15)

Таблица 15. Матрицу вероятностей переходов

	b0	b*1	b2	b3	b*4
b0		0.3	0.3	0.4
b*1	1
b2	1
b3				0.45	0.55
b*4	0.45			0.55

Структура сети МО с указанием  исходных параметров (интенсивностей потоков и параметров устройств) представлена на рисунке 9.

Рисунок 9. АМ (сеть МО)

В таблице 16 представлены параметры узлов сети МО.

Таблица 16. Параметры узлов сети МО

Узел	Параметр	Описание	Значение
b0	z0,1	тип узла	источник
	z0,2	назначение	генерация потока заявок
	z0,3	закон распределения времени τ  между заявками в потоке fτ	случайный
	z0,5	тип закона	экспоненциальный
	z0,5	среднее время τ - mτ	170
		Примечание: интенсивность поступления  заявок λ = 1 / mτ  = 0.0059
b*1	z1,1	тип узла	устройство
	z1,2	канальность K1	1
	z1,3	быстродействие канала B1	1
	z1,4	дисциплина обслуживания	FIFO
b2	z2,1	тип узла	устройство
	z2,2	канальность K2	1
	z2,3	быстродействие канала B2	1
	z2,4	дисциплина обслуживания	FIFO
b3	z3,1	тип узла	устройство
	z3,2	канальность K3	1
	z3,3	быстродействие канала B3	1
	z3,4	дисциплина обслуживания	FIFO
b4	z4,1	тип узла	устройство
	z4,2	канальность K4	1
	z4,3	быстродействие канала B4	1
	z4,4	дисциплина обслуживания	FIFO
b6	z6,1	тип узла	маршрутный
	z6,2	назначение	вероятностный выбор маршрута
	z6,3	вектор вероятностей переходов	0.6; 0.4
b7	z7,1	тип узла	маршрутный
	z7,2	назначение	вероятностный выбор маршрута
	z7,3	вектор вероятностей переходов	0.5; 0.5
b8	z8,1	тип узла	маршрутный
	z8,2	назначение	вероятностный выбор маршрута
	z8,3	вектор вероятностей переходов	0.55; 0.45
b9	z9,1	тип узла	маршрутный
	z9,2	назначение	вероятностный выбор маршрута
	z9,3	вектор вероятностей переходов	0.45; 0.55

 

Параметры потока заявок приведены в таблице 17.

Таблица 17. Параметры потока заявок сети МО

Параметр	Описание	Значение
h0,1	закон распределения  времени τ между заявками в потоке fτ	случайный
h0,2	тип закона	экспоненциальный
h0,3	среднее время mτ	170
h1,1	закон распределения ft,1    времени t обслуживания в канале b*1	случайный
h1,2	тип закона	экспоненциальный
h1,3	среднее время обслуживания в канале b*1  mτ	25
h2,1	закон распределения ft,2    времени t обслуживания в канале b2	случайный
h2,2	тип закона	экспоненциальный
h2,3	среднее время обслуживания в канале b2  mτ	150
h3,1	закон распределения ft,3  времени t обслуживания в канале b3	случайный
h3,2	тип закона	экспоненциальный
h3,3	среднее время mτ  обслуживания в канале b3	28
h*4,1	закон распределения ft,4  времени t обслуживания в канале b4	случайный
h*4,2	тип закона	экспоненциальный
h*4,3	среднее время mτ  обслуживания в канале b4	31.5

 

Состав искомых характеристик представлен ниже. Это узловые характеристики:

• для узла b*₁ – l₁, m₁, ρ₁, ω₁, u₁;
• для узла b₂ – l₂, m₂, ρ₂, ω₂, u₂;
• для узла b₃ – l₃, m₃, ρ₃, ω₃, u₃;
• для узла b*₄ – l₄, m₄, ρ₄, ω₄, u₄.

Системные характеристики:

L = l₁ + l₂+ l₃+ l₄; 

M = m₁ + m₂ +m₃+ m₄;

U = α_1* u₁+ α_2* u₂+ α_3* u₃+ α_4* u_4;

W = α_1* ω₁+ α_2* ω₂+ α_3* ω₃+ α_4* ω₄.

1. Опишем возможные  состояния сети. Здесь это вектор  , где M_i – число заявок в узле b_i.

Вектор  , где M₁ – число заявок в узле b₁ (любое),M₂ – число заявок в узле b₂ (любое), M₃ – число заявок в узле b₃ (любое), M₄ – число заявок в узле b₄ (любое).

2. Вычислим неизвестные  интенсивности потоков λ_i на входах в устройства. Для этого построим и решим систему из N линейных уравнений, используя свойство линейности, выражаемое для каждого из устройств i = 1, …, N как

.

Здесь N = 4 и искомые величины: λ_1, λ_2, λ_3, λ_4. Система уравнений выглядит как

λ ₁ = λ_{0 *} p_0,1  + λ_{1 *} p_1,1+ λ_{2 *} p_2,1+ λ_{3 *} p_3,1+ λ_{4 *} p_4,1;

λ₂ = λ_{0 *} p_0,2  + λ_{1 *} p_1,2+ λ_{2 *} p_2,2+  λ_{3 *} p_3,2+ λ_{4 *} p_4,2;

λ₃ = λ_{0 *} p_0,3 + λ_{1 *} p_1,3+ λ_{2 *} p_2,3+ λ_{3 *} p_3,3+ λ_{4 *} p_4,3;

λ₄ = λ_{0 *} p_0,4 + λ_{1 *} p_1,4+ λ_{2 *} p_2,4+ λ_{3 *} p_3,4+ λ_{4 *} p_4,4.

А после подстановки  значений p_i,j из матрицы P

λ₁ = λ_{0 *} 0.3  + λ_{1 *} 0+ λ_{2 *} 0+  λ_{3 *} 0 + λ_{4 *} 0_;

λ₂ = λ_{0 *} 0.3 + λ_{1 *} 0 + λ_{2 *} 0+  λ_{3 *} 0+ λ_{4 *} 0_;

λ₃ = λ_{0 *} 0.4 + λ_{1 *} 0+ λ_{2 *} 0+ λ_{3 *} 0.45+ λ_{4 *} 0.55_;

λ₄ = λ_{0 *} 0 + λ_{1 *} 0+ λ_{2 *} 0+ λ_{3 *} 0.55+ λ_{4 *} 0_.

Соответственно

λ₁ = 0.00177;

λ₂ = 0.00177;

λ₃ = 0.0095;

λ₄ = 0.0052.

3. Рассчитываем коэффициенты передач (среднее число посещений заявкой каждого  устройства) α_k = λ_k / λ₀ .

α₁ = λ₁ / λ₀ = 0.3;

α₂ = λ₂ / λ₀ = 0.3;

α₃ = λ₃ / λ₀ = 1.61;

α₄ = λ₄ / λ₀ = 0.88.

5. Рассчитываем коэффициенты загрузок устройств ρ_k = λ_{k *} t_k.

ρ₁ = λ_{1 *} t₁ = 0.044;

ρ₂ = λ_{2 *} t₂ = 0.266;

ρ₃ = λ_{3 *} t₃ = 0.266;

ρ₄ = λ_{4 *} t₄ = 0.164.

Так как коэффициенты загрузок меньше 1, то сеть работает в  стационарном режиме и можно продолжать расчеты.

5. Рассчитываем узловые  характеристики по формулам:

l_i  = ρ_i² / ( 1 - ρ_i ) ,

m_i  = ρ_i / ( 1 - ρ_i ) ,

ω_{i =} l_i / λ_{i ,}

u_{i =} m_i / λ_{i  .}

Для узла b*₁ получаем

l₁ = 0.002;  m₁ = 0.046;  ω₁ = 1.157;  u₁ = 26.157.

для узла b₂ получаем

l₂ = 0.096;  m₂ = 0.361;  ω₂ = 54.221;  u₂ = 204.221;

для узла b₃ получаем

l₃ = 0.096;  m₃ = 0.362;  ω₃ = 10.147;  u₃ = 38.147;

для узла b*₄ получаем

l₄ = 0.032;  m₄ = 0.196;  ω₄ = 6.170;  u₄ = 37.670.

Полученные результаты сведем в таблицу 18.

Таблица 18. Значения характеристик сети МО

Узел	Характеристики узловые	Значение
b1	ρ1	0.044
	l1	0.002
	m1	0.046
	ω1	1.157
	u1	26.157
	α1	0.3
b2	ρ2	0.266
	l2	0.096
	m2	0.361
	ω2	54.221
	u2	204.221
	α2	0.3
b3	ρ3	0.267
	l3	0.096
	m3	0.362
	ω3	10.147
	u3	38.147
	α3	1.61
b4	ρ4	0.164
	l4	0.032
	m4	0.196
	ω4	6.170
	u4	37.670
	α4	0.88
	системные
	L	0.227
	M	0.966
	U	71.696
	W	306.196