Разработка методических материалов для проведения конференции «Вычисление числа π»

Из рисунка ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле . В нашем случае b=1, а=-1. Тогда π = 2*S.

Значения я будут  тем точнее, чем больше точек деления  будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительную работу поможет компьютер.

Ученикам предлагается разработать программу в среде Delphi. Работающее приложение может выглядеть примерно так:

 

Код программы приведен ниже:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

n,i: Integer;

dx,x,a,f,p: Real;

begin

n:=StrToInt(LabeledEdit1.Text);

dx :=1/n;

x := 0;

a := 0;

for i := 0 to n-1 do

begin

  f := sqrt(1-sqr(x));

  x:=x+dx;

  a:=a+f;

end;

p:=4*dx*a;

LabeledEdit2.Text:=FloatToStr(p);

end;

Метод Монте-Карло

Это фактически метод  статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат  и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время  подержать под дождем, то на его  поверхности останутся следы  капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N_kr — число капель в кругу, N_kv — число капель в квадрате, тогда

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая  составляется с помощью компьютера по специальной программе.

Каждому следу капли  поставим в соответствие два случайных  числа, характеризующих его положение  вдоль осей Ох и Оу.

Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно «приготовить» пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х = 0,32, у = 0,65.

Эти числа будем считать  координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0.32;0.65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (x_t; y_t) выполняется неравенство , то, значит, она лежит вне круга. Если: , то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения π снова воспользуемся формулой. Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D — некоторая постоянная, а N — число испытаний. В нашем случае N = N_kv. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз, нужно увеличить N в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам.

Вид работающего приложения показан на рисунке:

Код программы:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

M := 0;

//Ввод значений

R := StrToInt(Edit1.Text);

N := StrToInt(Edit2.Text);

Image1.Canvas.Ellipse(0,0,200,200);

//Генерация точек

Randomize;

For I := 1 To N do

begin

X := Random(100*R)/100;

Y := Random(100*R)/100;

Image1.Canvas.Pixels[Round(400*X)-200,200 - Round(400*Y)]:=clBlack;

If X*X + Y*Y <= R

    Then M := M + 1

end;

//Площадь

Label1.Caption := FloatToStr(4*R*R*M/N);

end;

Метод «падающей иголки»

Возьмем обыкновенную швейную  иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а — расстояние между прямыми, L — длина иглы.

Положение случайным образом брошенной  на чертеж иглы определяется расстоянием х от ее середины до ближайшей прямой и углом, который игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую.

 

Ясно, что

Изобразим графически функцию y=0.5*l*cos(φ).

Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с  координатами (φ;у), расположенными на участке ABCD. Заштрихованный участок — это точки, которые соответствуют случаю пересечения

иглы с прямой. Вероятность  события — «игла пересекла прямую» — вычисляется по формуле:

Вероятность Р(А) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж N раз, и k раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом S имеем _{. Отсюда:}

Построение  модели

В описанном выше методе используется тригонометрическая функция COS, при вычислении тригонометрических функций углы из градусной меры приходится переводить в радианную, где используется значение π. Поэтому для построения нашей модели мы используем проекцию иглы. Координаты проекции иглы на ось ОУ не влияют на наши расчеты. Координату X_t зададим датчиком случайных чисел. Координата Х₂ может изменяться в промежутке Х₁ < Х₂ < X_t + L, L — длина иглы. Условие пересечения иглы прямой Х₁< А <Х₂, где А — координата х проекции прямой на ОХ. Для конкретности возьмем А=2 (расстояние между прямыми), L=1 (длина иглы).

Вид работающего приложения:

Код программы:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

n,j,l,a,k: Longint; xl ,yl ,x2,y2,s,ro,p: Real;

begin

L:= 1; {длина иглы}

a:= 2; {расстояние между прямыми}

n:=StrToInt(LabeledEdit1.Text);

k:= 0; {кол-во пересечений.}

for j := 1 to n do

  begin

   xl:=Random( 10000)/10000;

   yl:= Random(10000)/10000;

   x2:= Random(10000)/10000;

   y2:= Random( 10000)/10000;

   s:= abs(y2-yl)/sqrt(sqr(y2-yl)+sqr(x2-xl));

   ro := (Random(10000)/10000)*2-l;

   if abs(ro) <= s/2 then k := k+1;

  end;

  p := n/k;

  LabeledEdit2.Text:=FloatToStr(p);

end;

Замечание. Изложенный метод  представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен  и с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой  опыт с составлением довольно сложной  математической модели.

Вычисление  числа π с помощью ряда Тейлора

Рассмотрим произвольную функции f(x). Предположим, что для нее в точке х₀ существуют производные всех порядков до п-го включительно. Тогда для функции f(x) можно записать ряд Тейлора:

 

Пусть теперь при и . Тогда

Если х=1, arctg(l)= л/4 и, значит,

 

Вычисления с помощью  этого ряда будут тем точнее, чем  больше членов ряда будет задействовано.

Вид работающего приложения показан ниже:

Код программы:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

n,i: Integer;

a,d,f,p:Real;

begin

n:=StrToInt(LabeledEdit1.Text);

a:=1;

for i:= 1 to n do

begin

  d:= 1/(2*i+1);

  if odd(i) then f:= -1*d else f:= 1*d;

  a := a+f;

end;

p := 4*a;

LabeledEdit2.Text:=FloatToStr(p);

end;

Разнообразие описанных  способов позволяет обращаться к  различным разделам математики, использовать знания и умения, полученные на уроках математики и информатики, что очень полезно для общего развития школьников.

Реализация выбранных  способов требует практических навыков, умений составлять математические модели, алгоритмы и программы.

На конференции школьники  могут обсудить следующие вопросы:

1. Точность метода. От чего она зависит?
2. Сложность метода.
3. Простота (сложность) реализации.

По окончании обсуждения делается вывод, какой метод можно  считать оптимальным.

 

 

Заключение

При выполнении выпускной квалификационной работы были решены следующие задачи:

1. Систематизирована и классифицирована литература по теме исследования и смежным темам;

2. Рассмотрены психолого-педагогические  основы организации исследовательской  деятельности школьников;

3. Разработаны методические  рекомендации по организации  исследовательской деятельности школьников по теме «Моделирование»;

4. Разработаны примеры  планов-конспектов дополнительных  занятий.

Работа может быть полезна школьным методистам – организаторам  внеучебной работы школьников, учителям и преподавателям вузов – руководителям  исследовательской работы учащихся, студентам педагогических вузов при изучении курса ТиМОИ.

 

Список литературы

1. Адаховский Б.А. Научное общество учащихся – содействие развитию пытливого взгляда не мир / Б.А. Адаховский, Е.М. Болотникова, С.М. Киселева. – Исследовательская работа школьников. – 2005. – №4. – С. 113–114.
2. Ананьев Б.Г. Проблема формирования характера. // Избр. психол. труды. – М.: Педагогика, 1980. – 236 с.
3. Беленкова О.В. Научное лицейское общество – клуб единомышленников / О.В. Беленкова // Исследовательская работа школьников. – 2005. – №4. – С. 115–117.
4. Бешенков, С. А. Моделирование и формализация / С. А. Бешенков, Е. А. Ракитина – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. –336 с.
5. Бешенков, С.А. Непрерывный курс информатики / С. А. Бешенков, Е. А. Ракитина, Н. В. Матвеева, Л. В. Милохина. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 143 с.
6. Бобровский, С.И. Delphi 7: учебный курс / С. И. Бобровский. – СПб. : Питер, 2008. - 736 с.
7. Богоявленская Д.Б. Исследовательская деятельность как путь развития творческих способностей. / Д.Б. Богоявленская // Исследовательская деятельность учащихся в современном образовательном пространстве: Сб.ст. – М., 2006. – С. 44–50.
8. Богоявленская Д.Б. Психология творческих способностей: Учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений / Д.Б. Богоявленская. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 320 с.
9. Божович Л.И. Проблемы формирования личности: Избранные психологические труды / Л.И. Божович – М., 1995. – 294 с.
10. Верига С.В. Продуктивные формы организации исследовательской деятельности со школьниками / С.В. Верига // Исследовательская работа школьников. – 2003. – №3. – С. 41–43.
11. Волкова В.К. Научное общество учащихся в школе «Крепыш» – совместный проект педагогов и учащихся / В.К. Волкова, С.В. Фирулева, И.В. Яковлева // Исследовательская работа школьников. – 2005. – №4. – С. 118–125.
12. Дереклеева Н.И. Научно-исследовательская работа в школе / Н.И. Дереклеева. – М.: Вербум-М, 2001. – 48 с.
13. Душин, В.К. Теоретические основы<span class="dash041e_0431_044