Числовые выражения

                                                Введение                                                                                                         

 

Включение и содержание обучения младших школьников элементов алгебры, особенно упражнений с функциональным содержанием, позволяет увидеть  динамичность явлений реального  мира, взаимную обусловленность и  связь величин. А это оказывает  большое влияние  на формирование мировоззрения учащихся. Изучение алгебраического  материала способствует развитию у  учащихся таких логических приемов, как анализ и синтез, обобщение  и конкретизация, индукция и дедукция.

Введение элементов алгебры  имеет большое значение для совершенствования  системы начального математического  образования, расширения арсенала математических средств, используемых школьниками  при решении задач. Буквенная  символика, вводимая в начальных  классах, и связанное с ней  понятие переменной способствуют обобщению  знаний о числах, свойствах арифметических действий. Использование уравнений для решения задач позволяет существенно изменить всю систему обучения решению задач.

Понятие математического  выражения, изучаемого в начальных  классах, имеет важное значение. Так это понятие помогает учащимся овладеть вычислительными навыками. Действительно, часто вычислительные ошибки связаны с непониманием структуры выражений. Нетвердым знанием порядка выполнения действий в выражениях. Усвоение понятия выражения обуславливает формирование таких важных математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение. Умение составлять выражения по задаче необходимо для умения решать задачи алгебраическим способом, т.е.  с помощью составления уравнений.

Самостоятельно конструируя  выражения, дети осознают их структуру, овладевая умением читать, записывать, вычислять их значения.

В целом же алгебраический материал в курсе математики начальной  школы выполняет вспомогательную  функцию при изучении основного  содержания программы.

Алгебраический материал изучается, начиная с 1 класса, в тесной связи с арифметическим и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовит детей а изучению алгебры в следующих классах.

Объектом исследования являются числовые выражения, а его предметом  – методические приемы обучения младших  школьников понятию числовых выражений  в традиционном подходе.

Глава I. Научно – методические основы изучения числовых выражений в начальной школе. Понятие числового выражения.

1. Числовое выражение и его значение в математике. Понятие числового выражения.

Что такое числовое выражение? Само название говорит о том, что это выражение с числами. Именно так оно и есть. Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением. Обычное число, дробь обыкновенная или десятичная - всё это числовые выражения. Главный признак числового выражения - в нём нет букв. Только числа и математические знаки.

7-3 - числовое выражение.

(8+3,2)·5,4 - тоже числовое  выражение. 

Значение числового выражения.

Так как в качестве знаков в числовых выражениях входят знаки арифметических действий, то мы можем посчитать  значение числового выражения. Для  этого необходимо выполнить указанные  действия.

Например:

(100-32):17 = 4, то есть для выражения  (100-32):17 значением этого числового  выражения будет являться число  4.

2*4+7=15, число 15 будет являться  значением числового выражения      2*4+7.

Часто для краткости записи не пишут  полностью значение числового выражения, а пишут просто "значение выражения", опуская при этом слово «числового».

Числовое равенство.

Если два числовых выражения  записаны через знак равно, то эти  выражения образуют числовое равенство. Например,  выражение 2*4+7=15 является числовым равенством.

Как уже отмечалось выше, в числовых выражениях могут использоваться скобки.  Известно, что скобки влияют на порядок  действий.

Вообще, все действия разделены  на несколько ступеней.

• Действия первой ступени: сложение и вычитание.
• Действия второй ступени: умножение и деление.
• Действия третей ступени – возведение в квадрат и возведение в куб.

Правила при вычислении значений числовых выражений.

При вычислении значений числовых выражений  следуют руководствоваться следующими правилами:

1. Если выражение не имеет скобок, то надо выполнять действия, начиная с высших ступеней: третья ступень, вторая ступень и первая ступень. Если имеется несколько действий одной ступени, то их выполняют в порядке, в котором они записаны, то есть слева на право.
2. Если в выражении присутствуют скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а лишь затем все стальные действия в обычном порядке. При выполнении действий в скобках, если их там несколько, следует пользоваться порядком описанным в пункте 1.
3. Если выражение представляет собой дробь, то сначала вычисляются значение в числителе и знаменателе, а потом числитель делится на знаменатель.
4. Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то выполнять действия следует с внутренних скобок.

 

 

 

В курсе математики обычно дают следующее индуктивное определение:

а) каждое число числовым выражением;

б) если А и Б числовые выражения, то (А)+(Б), (А)-(Б),(А)*(Б),(А):(Б)-числовые выражения.

Для сокращения записи условились не заключать в скобки отдельные  числа. Кроме того, условились не писать скобки, если несколько выражений  складываются или вычитаются, при чем эта операция выполняется слева направо. Точно так же, если делят или умножают несколько чисел.

Наконец условились выполнять  сначала действия второй ступени (умножение  и деление), а потом – первой (сложение и вычитание)

Если задано выражение  со скобками, то сначала выполняют  действия в них

Каждому числовому выражению  соответствует числовое значение(ЗН), при чем ЗН (А ± Б) = ЗН (А) ± ЗН( Б ); ЗН ( А * Б )

= ЗН( А ) * ЗН ( Б ); ЗН ( А : Б ) = ЗН ( А ) : ЗН ( Б ). Если ЗН ( Б ) = 0, то ЗН ( А : Б ) не существует. Например, числовые выражения 8 : ( 4 – 4 ) и ( 6 – 6 ) : ( 3 – 3 ) не имеют числовых выражений.

Из чисел с помощью  знаков арифметических действий и скобок составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получится число, которое называется значением выражения.

Если в числовом выражении  можно выполнить все указанные  в нем действия, то полученное действительное число называется значением данного  числового выражения, а о числовом выражении говорят, что оно имеет  смысл.

Если числовое выражение  состоит из одного действительного  числа, то его числовым значением  является само это число.

Иногда числовое выражение  не имеет числового значения, так  как не все указанные в нем  действия выполнимы; о таком числовом выражении говорят, что оно не имеет ( лишено ) смысла. Например, 7 : ( 3 * 2 – 6 ) ; ( 2 * 2)* 0 лишены смысла.

Таким образом, любое числовое выражение либо имеет одно числовое выражение, либо лишено смысла.

Числовое выражение часто  употребляют для описания какого – либо свойства числа, являющимся числовым значением этого выражения. Так, например свойство числа – 17 дает при делении на 2 остаток 1 записывают числовым выражением 2 * ( - 9 ) + 1, чтобы описать свойства каждого нечетного числа из промежутка [ - 2, 14 ] дает при делении на 2 остаток 1, надо написать соответствующее числовое выражение для каждого из чисел – 1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, т. е.восемь следующих числовых выражений: 2 ( - 1) – 1, 2 * 0 + 1, 2 * 1 – 1, 2 * 2 – 1, 2 * 3 + 1, 2 * 4 * 1, 2 * 5 + 1 и 2 * 6 + 1. Выписать соответствующие числовые выражения для всех тех целых нечетных чисел, каждое из которых обладает указанным свойством, практически нельзя. Замечая общность составления таких числовых выражений и используя буквенную символику, можно сокращенно написать всю бесконечную совокупность таких числовых выражений

 

n=2l – 1, где l = 0, ± 1,  ± 2 , ±….. ( 1 )

        При  каждом  l получается числовое выражение, числовое значение  которого, есть целое число n, дающее при делении на 2 остаток 1, для любого целого цисла n, обладающего указанным свойством, можно указать число l, при котором ( 1 ) превращается в числовое выражение, имеющее числовым значением число n. Запись 4l + 3, где l  = 0, ± 1, ± 2, ±…, представляет собой бесконечную совокупность числовых выражений таких, что при каждом указанном l она превращается в числовое выражение, числовым значением которого, является число n, дающее при делении на 4 остаток.

Приведенные выше примеры  говорят о том, что часто вместо числовых выражений удобнее  рассматривать  выражения, в которых на некоторых  местах вместо чисел стоят буквы. Всякое такое выражение в начальном  курсе математики называют математическим выражением. Понятие «математическое  выражение» является простейшим и поэтому  оно не определяется, а лишь описывается, что и было сделано выше. Математическое выражение, в котором участвуют  знаки действий сложения, умножения, вычитания, деления, извлечения из корня  и возведения в степень, называют алгебраическим выражением.

С первыми выражениями  – суммой и разностью – дети знакомятся при изучении сложения и  вычитания в концентре «Десяток». Не используя специальных терминов, первоклассники производят вычисления, записывают выражения, читают их, заменяют число суммой, основываясь на наглядных  представлениях. При этом выражение 4 + 3 они читают так: «к четырем прибавить  три» или « четыре увеличить на три». Находя  значения выражений, состоящих  из трех чисел, которые соединены  знаком сложения и вычитания, учащиеся фактически пользуются правилом порядка  выполнения действий в неявном виде и выполняют первые  тождественные  преобразования  выражений.

Познакомившись с выражениями  вида ( а + б ), первоклассники сначала употребляют термин «сумма»  для обозначения числа, получающегося в результате сложения, т. е. сумма, трактуется как значение выражения. Затем с появлением более сложных выражений, например, вида ( а + б ) – с, появляется необходимость иного понимания термина «сумма». Выражение ( а + б ) называется суммой, а его компоненты – слагаемыми. При введении выражений вида а – б, а * б, а : б поступают аналогично. Сначала разностью ( произведением, частным ) называют значением выражения, а затем само выражение. Одновременно учащимся сообщают названия его компонентов: уменьшаемое, вычитаемое, множители, делимое и делитель. Например, в равенстве 9 – 4 = 5  9 – уменьшаемое, 4 – вычитаемое, 5 – разность. Запись 9 – 4 также называется разностью. Можно вводить эти термины в другой последовательности: предложить учащимся записать пример 9 – 4, пояснив, что записана разность, и вычислить, чему равна записанная разность. Учитель вводит название полученного числа: 5 – тоже разность. Другие числа при вычитании называются: 9 – уменьшаемое, 4 – вычитаемое.

Для закрепления этих терминов предлагаются упражнения вида: « Вычислите  сумму чисел; запишите сумму чисел; сравните суммы чисел; замените число  суммой одинаковых чисел». Важно чтобы дети  поняли, что при вычислении суммы производится указанное действие ( сложение ), а при записи суммы получаем два числа, соединенных знаком плюс.

При изучении сложения и  вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более  чисел, соединенными одинаковыми или  различными знаками действий вида: 3 + 1 + 1, 4 – 1 – 1, 2 + 2 + 2 + 2, 6 + 3 – 7, раскрывая  смысл таких выражений, учитель  показывает, как их читают ( например, к трем прибавить один и к полученному числу прибавить еще один ). Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке действий в выражениях без скобок, хотя и не формулирует его. Несколько позднее детей учат преобразовывать выражения в процессе вычислений, например: 10 – 7 + 5 =  3 + 5 = 8, такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований. Знакомство первоклассников с выражениями вида 10 – ( 6 + 2 ), ( 7 – 4 ) + 5 и т. п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме , вычитания числа из суммы и др.к записи решения составных задач, а также способствует более глубокому усвоению понятия выражения.

На следующем этапе  усвоения понятия выражения учащиеся знакомятся с выражениями, в которых  используются скобки, они  могут  быть введены посредством текстовых  задач. Учитель предлагает составить  на наборном полотне суммы и разности чисел 10 и 3, используя карточки, на которых  записаны эти числа и знаки  действий. Затем составленную учениками  разность 10 -  3 учитель заменяет подготовленной заранее карточкой с этой разностью.

Самостоятельно конструируя  выражения, дети осознают их структуру, овладевая умением читать, записывать, вычислять их значения.

Вводятся термины «математическое  выражение»  и «значение выражения». Определения этих терминов не даются. Записав несколько простейших выражений: сумм, разностей, учитель называет их математическими выражениями. Предложив  вычислить эти примеры, он объясняет, что числа, полученные в результате вычисления, называются значением выражения. Дальнейшая работа над числовыми  выражениями состоит в том, что  дети упражняются в чтении, записи под диктовку, составлений выражений, заполнении таблиц, широко используя  при этом новые термины.

 

2. Роль, место и задачи математики в изучении числовых   выражений в начальной школе.

Математика – наука  о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода  развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика. Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. Был  накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал. Понимание  математики, как самостоятельной  науки возникло впервые в Древней  Греции.  
       В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика – наука о числе. Число - это одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4.... Задачи измерения длин, площадей и т. п., а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательных числах возникло у индийцев в 6-11 вв. Потребность в точном выражении отношений величин привела к введению иррациональных чисел, которые выражаются через рациональные числа лишь приближенно; рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел. Окончательное развитие теория действительных чисел получила лишь во 2-й пол. 19 в. в связи с потребностями математического анализа. В связи с решением квадратных и кубических уравнений в 16 в. были введены комплексные числа.