Числовые выражения

        В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии – геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге «Начала» (300 лет до н. э.). 

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически  изучать движение, процессы изменения  величин, преобразование геометрических фигур. 

С употребления переменных величин в аналитической геометрии  и создание дифференциального и  интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является, введенная Ньютоном и Лейбницем понятие «бесконечно малой величины», создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа). 

На первый план выдвигается  понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. 

К этому времени относятся  и появление гениальной идеи Р. Декарта  – метода координат. Создается аналитическая  геометрия, которая позволяет изучать  геометрические объекты методами алгебры  и анализа. С другой стороны метод  координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и  аналитических фактов. Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. 

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные  формы. Возникают новые теории. Новые  теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности  математики. Замечательным примером такой теории является «воображаемая  геометрия» Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие. 

Математика нужна и  для развития младших школьников. Она задает стандарты правильного, рационального мышления на всю жизнь  вперед. Дает огромный толчок для умственного  развитития, ни один  другой школьный предмет не способен настолько поднять умственный уровень подрастающего индивида и послужить таким хорошим подспорьем для интеллектуального развития в последствии, уже в более зрелом возрасте.         

      Одна из важных воспитательных задач, связанных с изучением курса математики, - развитие познавательных способностей учащихся. Общепризнано, что роль математики в этом отношении чрезвычайно велика.

Занятия математикой должны также способствовать воспитанию у  детей самостоятельности, инициативы, творчества, волевых качеств, культуры и труда.

Задача изучения арифметического  материала не сводится к формированию вычислительных навыков. Предполагается, что в начальном курсе математики дети будут ознакомленны со свойствами арифметических действий, математическими отношениями, зависимостями, являющимися основой всех тех практических умений и навыков, которыми учащиеся должны овладеть в результате изучения курса.

Другая не менее важная задача состоит в том, чтобы обеспечить постепенную, но систематическую подготовку детей к усвоению  некоторых  важнейших математических понятий  ( понятия числового выражения, понятия переменной, функции и т. д. ). Нельзя забывать и о том, что начальный курс математики, уделяет внимание формированию у детей сознательных и прочных, доведенных до автоматизма навыков вычислений – как устных, так и письменных.

Прежде всего нужно четко определить требования предъявленные к учащимся начальных классов в результате ознакомления с нумерацией чисел и с десятичной системой счисления. Сначала научим детей названиям чисел, пусть они усвоят последовательность чисел натурального ряда, научатся читать и записывать эти числа, ознакомятся с десятичным составом чисел, с тем как образуются числа в ряду. Если говорить о практическом приложении, то этих знаний, достаточно, чтобы на их основе уверенно изучать арифметические действия.

   Большое значение в изучении числовых выражений, занимает использование занимательности и игровых форм. Работу можно вести в нескольких направлениях. Одно из них – оснащение занятий красочными плакатами, индивидуальными карточками для работы учащихся в классе ( с занимательными картинками и сюжетами ), индивидуальными наборами, применяемыми в течении всего года обучения ( набор цветных палочек, набор цветных фигур, набор многоугольников, фишки ). Другое направление – применение цветных графов, облегчающих понимание многих сюжетных вопросов, как, например, решение уравнений. Полезным оказывается и прием по использованию идеи машины, как оператора. Этот прием может служить хорошим образцом использования игровой формы в работе с младшими учащимися. Успех его применения можно объяснить точным учетом характерных особенностей современных детей, имеющих повышенный интерес к машинам и технике вообще.

 Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитыми логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.  
       Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

1.3 Методика изучения числа в пределах 10.

Выделение темы «Десяток» в особый концентр объясняется рядом причин.

Нумерация и арифметические действия в пределах 10 имеют некоторые  особенности. Десять - основание десятичной системы счисления, поэтому числа  от 1 до 10 образуется в результате счета  простых единиц (без использования  других разрядных единиц). Для обозначения  каждого из чисел первого десятка  применяется в устной речи особое слово, а на письме - особый знак.

Арифметические действия (сложение и вычитание) непосредственно связаны  с операциями над множествами. Случаи сложения и вычитания в пределах 10 являются табличными, они заучиваются  наизусть.

Небольшие числа создают хорошие  условия для раскрытия учащимися  математических понятий. Опираясь на имеющийся  у детей опыт, а также используя  практические действия с предметами, можно сформировать такие понятия, как натуральное число, равенство  и неравенство чисел.

В теме «Десяток» начинается изучение многих вопросов, работа над которыми продолжается в последующих концентрах. Так, счет в пределах 10 - основа овладения  счетом вообще, потому что другие разрядные  единицы (десятки, сотни и т.д.) считают  точно так же, как и простые  единицы. Названия и обозначения  чисел первого десятка служат исходными для называния и обозначения любых многозначных чисел.      Сложение и вычитание в пределах 10 составляют основу выполнения устных и письменных вычислений за пределами первого десятка.

В подготовительный период учителю  надо выявить запас математических знаний и умений у детей, поступивших  в школу, и подготовить их к работе над первой темой программы - нумерацией чисел в пределах 10. Важно на этом этапе установить, умеет ли ребенок считать предметы и в каких пределах, понимает ли смысл терминов « больше », « меньше », « столько же» « одинаково », « поровну », каков у него запас пространственных представлений (т. е. в какой мере он владеет понятиями ( « слева-справа », « вверху – внизу », « впереди – позади », « перед – после – между » и др.).

В непринужденной беседе ( желательно до начала обучения в 1 классе ) учитель предлагает ребенку выполнить несколько заданий, чтобы выяснить, каков запас знаний и умений у ученика. Задания могут быть примерно такими:

Умеешь ли ты считать? Сосчитай эти  картинки. Сколько здесь картинок? (10 - 15штук).

Возьми в левую руку столько  же карандашей, сколько их лежит  на столе (4 - 7 штук).

Узнай, каких кружков больше: синих  или красных (6 больших красных  и 7 маленьких синих).

Посмотри на картину (к сказке «Репка») и скажи, кто стоит перед жучкой, после кошки, между внучкой и  кошкой.

В том случае, когда ученик успешно  справляется с этими заданиями, можно предложить ему один - два вопроса по материалу, который предстоит изучать (примеры или задачи на сложение и вычитание в пределах 10, задания на различение и называние геометрических фигур, на узнавание цифр и др.).

Полученные сведения полезно записать в таблицу так, чтобы впоследствии учитель мог использовать их на уроках, проводя индивидуальную работу с  детьми.

В подготовительный период и далее при изучении нумерации чисел у детей может постепенно формироваться понятие чисел, т.е. они должны усвоить разные способы получения (образования) чисел: в процессе счета, измерения, а также путем выполнения арифметических действий. Прежде всего важно отработать умение считать, поэтому упражнения в счете предметов включаются на каждом уроке подготовительного периода. Дети считают предметы окружающий обстановки; предметные картинки, выставленные на наборном полотне, предметы, изображенные на картинках в учебнике, а также палочки, кружки, треугольники и др. Этот материал удобно хранить в арифметических кассах или в самодельных пеналах, изготовленных из спичечных коробок.

Упражняясь в счете, учащиеся с  помощью учителя должны установить, что при счете нельзя пропускать предметы или сосчитывать один и  тот же предмет несколько раз. К такому выводу они подойдут сами, сопоставляя правильный и неправильный счет предметов.

Считая предметы в различном  порядке, учащиеся своими словами формулируют  вывод о том, что результат  счета не зависит от порядка счета. Например, один ученик считает предметы, расположенные в ряд, слева направо, а другой - справа налево. Учащиеся убеждаются, что считали по - разному, а получилось одно и то же число. Аналогично выполняются другие упражнения, например, счет сверху вниз и снизу вверх ступенек лестницы, этажей в доме и т.п.

Надо научить детей пользоваться при счете как количественными, так и порядковыми числительными, предлагая упражнения: «Считай так: один, два, три…» или «Считай так: первый, второй, третий…». Учащиеся постепенно должны усвоить, что если последний предмет оказался пятым при счете, то всего предметов пять, и, наоборот, если всего предметов пять, то последний предмет пятый, но вместе с тем «пятый» - это только один предмет.

С первых же уроков подготовительного  периода отрабатывается умение сравнивать численности множеств. С этой целью  предлагаются детям такие задания: «Скажите, на котором окне цветов больше; в каком ряду елочек на рисунке меньше; каких кружков больше, а каких меньше на наборном полотне и т.п.».

Упражнения на сравнения множеств даются так, чтобы дети выполняли  их не только с помощью счета, но и путем соотнесения элементов  « один к одному », т.е. через установление взаимно однозначного соответствия, например: а ) положите на парту 7 треугольников; на каждый треугольник положите по кружку; кто не считая, скажет, сколько кружков положили, как догадались; б ) положите в ряд несколько квадратов; как не считая, положить столько же палочек; в ) возьмите не считая, несколько больших и несколько маленьких кружков; разложите их друг под другом так, чтобы сразу было видно, каких кружков больше, каких меньше; г ) нарисуйте в тетради три треугольника, затем нарисуйте под каждым треугольником квадрат и справа еще один квадрат, каких фигур меньше, каких больше.

Как показывает практика, дети, поступающие  в школу, слабо подготовлены к  письму. Поэтому начиная с первого  дня занятий необходимо ежедневно  включать подготовительные упражнения к письму цифр, учить детей правильно  держать перо, выделять строку и  клетку, красиво располагать записи в тетради. С этой целью полезно предлагать рисование так называемых « бордюров », т.е. узоров из точек, палочек, знаков « плюс », « минус », геометрических фигур.

При изучении нумерации учащиеся должны усвоить, как называется каждое число  и как оно обозначается печатной и письменной цифрой. В органической связи с этим формируется понятие  начального отрезка натуральной  последовательности, а также понятие  натурального числа как члена  этой последовательности, т.е. учащиеся должны усвоить:

• во-первых, как образуется каждое число больше непосредственно предшествующего числа и единицы, а также из следующего за ним числа и единицы;
• во-вторых, на сколько каждое число непосредственно предшествующего ему и меньше непосредственно следующего за ним при счете числа;
• в - третьих, какое место занимает каждое число в ряду чисел от 1 до 10; после какого числа и перед каким числом называют его при счете.

Усвоение этих знаний продвигают ученика на новую ступень в осознании понятия числа; число выступает не обособлено, а во взаимосвязи с другими числами, у детей начинает формироваться представление о натуральном ряде чисел.