Чмсловые последовательности основной общеобразовательной школе с применением компьютерных технологий

Формула (1.11) называется формулой Бине.

Числа Фибоначчи появляются также в вопросах связанных с  геометрией. 

Разделим отрезок АВ единичной длины на две части  так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.

           С2                А      С1               В

Обозначим для этого  искомую большей части отрезка через X. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1-X, и условие нашей задачи даёт пропорцию: , откуда

.

Положительным корнем этого  уравнения является , следовательно отношения пропорции равны:

Такое деление точкой С₁ называется делением в среднем и крайнем отношении. Его также часто называют золотым делением или золотым сечением.

Если взять отрицательный  корень данного уравнения, то делящая точка С₂ окажется вне отрезка АВ (такое деление в геометрии называется внешним делением. Легко показать, что это золотое сечение:

Природа даёт нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом – против. Числа спиралей одного и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.

 

 

 

 

 

 

Выводы по Главе I

Числовые последовательности являясь одним из важных классов  числовых функций, начиная с глубокой древности выступали самостоятельным объектом изучения.

Среди числовых последовательностей, в рамках нашего исследования, важное место занимают арифметическая и геометрическая прогрессии, числа Фибоначчи, поскольку они являются предметом изучения в школьном курсе математики.

Поэтому в данной главе  мы рассмотрели характеристические свойства арифметических и геометрических прогрессий, формулы n-го члена и формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий

Последовательность чисел  Фибоначчи также рассматривается  в школьном курсе математики, она имеет множество интересных свойств. Это свойства, связанные с тождествами выражающими зависимости между членами данной последовательности. Такие свойства удобно доказывать методом математической индукции.

Другим важным вопросом в изучении чисел Фибоначчи является вывод формулы n- го члена этой последовательности. Мы изучили этот вопрос на основе книги [4], выполнив при этом все необходимые преобразования.

Числа Фибоначчи связаны  также с геометрией и имеют  практические применения. Этот аспект раскрывается нами в вопросе связанным с золотым сечением.

Таким образом, в данной главе мы рассмотрели основные формулы, связанные с прогрессиями; изучили на наш взгляд, наиболее важные для будущего учителя математики вопросы связанные с последовательностью чисел Фибоначчи.

Далее, основываясь на изложенной математической теории, перейдём к изучению числовых последовательностей в курсе математики основной школы.

Глава II. Изучение  числовых последовательностей в курсе математики основной школы

2.1. Специфика  изучения числовых последовательностей в курсе математики основной школы

Анализ учебно - методической литературы позволил сделать вывод  о том, что изучение числовых последовательностей  в школьном курсе математики имеет специфические особенности.

Прежде всего, как отмечает А.Г. Мордкович «в большинстве действующих учебников тема: «Прогрессии» в 9 классе – тупиковая, не имеющая связей с остальным материалом основной школы, а «тупиковых тем в разумно и логично выстроенной программе быть не должно»[19, 52].

Решение этой проблемы автор видит  во включении данной темы в функциональную линию. При этом А.Г. Мордкович подчеркивает: «важно до сознания учащихся довести, что три математические модели:

1. y=f(х), где х – натуральное число;
2. y=f(n), где n – натуральное число;
3. f(1), f(2), f(3), …,f(n),… или y₁,y₂,y₃,…y_n,…различны по форме, но одинаковы по содержанию» [19, 53]. С этой целью в учебнике [18] включены задания вида:

№366. Определить, является ли заданная функция числовой последовательностью.

А) y=2x-1, x ;

Б) y=2x-1, x ;

В) y=2x-1, x ;

Г) y=2x-1, xÎN.

Изучение прогрессий как линейных функций позволяет решение задач  на нахождение членов арифметической и геометрической прогрессий свести к нахождению значений линейной функции по заданному значению аргумента.

Аналогично задачи на нахождение суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий есть задачи на нахождение значений функции.

Также Ю.М. Колягин выделяет некоторые  методические особенности темы «Числовые  последовательности». Он отмечает, что, формулируя определения арифметической и геометрической прогрессий, следует обратить внимание учащихся на то, что прогрессии являются примерами последовательностей, заданных рекуррентным способом. Автор обращает внимание на следующие аспекты:

1. показать учащимся, что натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d=1 и первым членом а₁=1;
2. подчеркнуть, что постоянная последовательность (т.е. последовательность, каждый член которой равен некоторому числу а) является арифметической прогрессией с разностью d=0, и геометрической прогрессией со знаменателем q=1;
3. проанализировать с детьми характер поведения членов прогрессии в зависимости от значений разности (или знаменателя);
4. возможность вывода формул n – го члена и суммы n первых членов арифметической (геометрической) прогрессий несколькими способами.

Остановимся подробнее  на третьем и четвёртом аспектах. Поскольку характер монотонности арифметической прогрессии определяется непосредственно знаком её разности d (если d>0, то последовательность возрастает, если d<0, то последовательность убывает), то внимание школьников следует сосредоточить на поведении геометрической прогрессии. Колягин предлагает схему раскрытия этого вопроса, которая заключается в рассмотрении пяти возможных случаев значений знаменателя q обуславливающих монотонность прогрессии:

1. q>1;
2. 0<q<1;
3. q<-1;

4. –1<q<0;

5. q=1 и q= -1.

При этом каждый случай иллюстрируется соответствующими примерами.

Заметим, что введение числовых последовательностей  как функций натурального аргумента позволит проще решить вопрос монотонности числовых последовательностей (в частности прогрессий).

Переходя к четвёртому аспекту, отметим, что в современных  школьных учебниках используют два  способа вывода формул n–го члена  и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

Первый реализован в  учебниках Алимова [2], Дорофеева [16], где доказательство строится на основе верных числовых равенств. Второй - в учебнике Мордковича [18], где при выводе формул используется метод математической индукции, но не акцентируется внимание на его названии.

Анализируя задачный материал школьных учебников по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии», можно выделить ещё одну её особенность: основное содержание математических задач направлено на умение работать с формулами. Поэтому возникает проблема активизации учебной деятельности учащихся при изучении данной темы.

Анализ методических наработок учителей показал, что  представленный в периодической  печати (приложение к газете «1 сентября» - Математика» и журнал «Математика в школе») опыт учителей математики направлен на решение проблемы активизации учебной деятельности, в следующих аспектах:

• применение игровых форм (Свеклина А., Гордеева В. и др.);
• использование исторического материала (Белотченко Е., Свеклина А. и др.);
• осуществление связей с другими науками, в частности с экономикой (Инютина Е.В., Смирнов А.С.);

Так например, преподаватель средней  Аламасовской школы, Нижегородской области, А.Свеклина, предлагает «урок – турнир» по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии». А учитель В.Гордева (с. Салькеевка, Башкортостан) разработала «Урок – улей» по теме геометрическая прогрессия, где ученики выступают в роли «пчёл тружеников», а учитель – «сторожевой пчелы».

Анализ этих уроков позволяет  сделать вывод о схожести поставленных целей, среди них

• обобщить и систематизировать материал по данной теме;

• отрабатывать умения и навыки применения формул n –го члена, прогрессий суммы n первых членов и свойств арифметической и геометрической;
• развивать познавательную активность учащихся, навыки работы с дополнительной литературой и историческим материалом;

А.Свеклина, проводя урок в нетрадиционной форме опирается  на исторический материал заранее самостоятельно подготовленный учащимися. А преподаватель В.Гордеева предлагает игровую форму урока.

Обязательной частью этих уроков является проверка знаний основных понятий и формул по данной теме. И не меньшее внимание уделяется  проверке умений применять практически эти знания.

В конце уроков подводятся итоги и выставляются оценки. Так как «урок–турнир» - это соревнование нескольких команд, то работу каждого ученика оценивает капитан команды, выставляет оценку и комментирует её. Поскольку «урок – улей» – это в большей степени самостоятельная работа учащихся, то в результате поверки и анализа проделанной ими работы, они сами делают вывод и ставят себе оценку, в зависимости от уровня сложности выбранного ими задания на «3», «4», «5».

На наш взгляд, использование  исторического материала и проведение уроков математики в игровой форме являются важными условиями активизации познавательной деятельности школьников, и развития интереса к предмету. В связи с этим, мы посчитали целесообразным применить их на практике. Например, на уроке «Сумма n первых членов арифметической прогрессии» на этапе изучения нового материала мы включили историю о Фридрихе Гауссе, который ещё обучаясь в начальной школе (17 век) смог установить закон для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии. Такой пример заставил ребят почувствовать, что они смогут справиться и понять новую тему.

На уроке закрепления  была введена историческая справка, обобщающая сведения о прогрессиях.

А на уроке закрепления  темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» провели урок-игру «Ключи от форта Баярд» (см. Приложение №2), направленный на обобщение и систематизацию знаний, умений, и навыков учащихся при решении задач на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Рассматривая особенности  изучения темы: «Арифметическая и  геометрическая прогрессии» мы убедились в том, что во многом они зависят от учебника. Так как на практике мы работали по учебнику Г.В. Дорофеева, то с учётом особенностей этого учебника, проведём логико – дидактический анализ темы: «Арифметические и геометрические прогрессии».

 

2.2.Логико-дидактический  анализ темы: «Арифметические и  геометрические прогрессии»

Образовательные цели темы:

• сформировать понятие числовой последовательности, арифметической и геометрической прогрессии;
• познакомить учащихся с различными способами заданий числовых последовательностей;
• вывести формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий, вырабатывать умения и навыки в их применении;
• познакомить учащихся с историей возникновения, развития понятия числовой последовательности;
• типизировать математические задачи, показать практические приложения, изучаемые в данной теме.

Развивающие цели:

• развитие познавательного интереса с использованием исторических сведений и занимательного материала;
• развитие гибкости мышления с помощью прямых и обратных задач, решения задач и упражнений различными способами;
• развитие рациональности мышления при отборе способов решения упражнений.

Воспитательные  цели:

• формирование представлений о математике, как части общечеловеческой культуры.

Непосредственными мотивами изучения этой темы могут быть следующие:

• использование понятия числовой последовательности в дальнейшем при определении степени с действительным показателем, при введении определенного интеграла и др.
• использование связи изучаемого материала с окружающим миром.

Материал в теме раскрывается на индуктивной основе.