Деякі методи доведення нерівностей в курсі математики основної школи та на факультативних заняттях

Чернігівський національний педагогічний університет ім. Т. Г. Шевченка

 

 

                                                     Кафедра педагогіки, психології  та

                                                              методик навчання фізики й  математики

 

 

 

Деякі методи доведення нерівностей в  курсі математики основної школи та на факультативних заняттях

 

 

 

Курсова робота

з методики навчання математики

студентки 43 групи

фізико-математичного факультету

Коптель Дар’ї  Миколаївни

Науковий керівник –

к. п. н., доцент

Соколенко Лілія Олександрівна

 

 

Чернігів 2012

Зміст

Вступ……………………………………………………………………..………..3

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження………………………………...…….5

1. Стан проблеми дослідження в науковій, навчально-методичній літературі…………………………………………………………………...…..5
1. Аналіз програм шкільного курсу математики та факультативних курсів…………………………………………………………………..……5
2. Аналіз шкільних підручників та навчально-методичних посібників…..6
2. Теоретичні відомості про нерівності……………………………………...…7
1. Числові нерівності……………………………………………………..…...7
2. Нерівності, що містять змінну………………………………………..….10
3. Основні методи доведення нерівностей……………………………..…….11
1. Доведення нерівностей з допомогою означення………………..……....12
2. Доведення від супротивного……………………………………..……....12
3. Метод математичної індукції…………………………………………….13
4. Метод зведення до очевидної нерівності………………………………..14
5. Метод використання класичної нерівності…………………………...…15

Розділ 2. Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях………………………………………………………………………..…17

2.1 Методика навчання учнів доведення нерівностей в курсі математики основної школи…………………………………………………………………..17

2.2 Методика навчання учнів доведення нерівностей на факультативних заняттях……………………………………………………………………..……24

Висновки…………………………………………………………………………27

Список використаної літератури…………………………………………….….28

 

 

 

 

Вступ

Серед наук, які мають  вирішальний вплив на розвиток технічного прогресу, безперечно, важливе місце  належить математиці. Ця наука має  чисельний арсенал засобів, які  дають можливість розв’язувати різноманітні задачі. Одним з них є нерівності.

Історія виникнення нерівностей  бере свій початок із сивої давнини. По мірі переходу людей на більш  високий рівень інтелектуального розвитку, з’являється необхідність порівнювати  множини, наприклад, поелементно співставляючи  їх чисельність. З’явилась вона переважно  в процесі спілкування людей  і виконанні ними операцій обміну. Не рівна кількість предметів  у множинах вимагала виробляти поняття «більше», «менше», «рівно». Цими поняттями користувалися уже стародавні греки. Сучасні знаки нерівностей з’явилися лише в XVII – XVIII ст.

Теорія нерівностей відіграє велику роль у математиці. Останнім часом з’явились окремі галузі сучасної математики, в яких нерівностям відводиться  центральне місце. Це лінійне і нелінійне  програмування, теорія ігор, дослідження  операцій тощо.

У шкільному курсі математики нерівності застосовують при вивченні похідної, інтеграла, елементів теорії рядів. За допомогою нерівностей знаходять найбільше та найменше значення функцій, розв’язують задачі на доведення нерівностей.

Задачі на доведення нерівностей  дають можливість закріпити велике коло теоретичних питань, що вивчаються у шкільному курсі математики, по-новому висвітлити відомі факти. У  даній роботі будуть розглянуті деякі  методи доведення нерівностей, які  часто використовуються при доведенні  нерівностей і, нажаль, недостатньо  вивчаються в школі. Розглянуті методи – це лише незначна частина великого різномаїття методів доведення  нерівностей.

Об’єкт дослідження курсової роботи – курс алгебри основної школи.

Предметом дослідження є  нерівності та методи їх доведення.

Метою даної курсової роботи є – на основі опрацьованої наукової та навчально-методичної літератури систематизувати теоретичні відомості про нерівності та методи їх доведення, створити систему задач на доведення нерівностей, призначену для опрацювання на уроках алгебри основної школи та на факультативних заняттях, розробити методику навчання учнів доводити нерівності з даної системи.

Завдання курсової роботи:

1. Дослідити стан проблеми в науковій, навчально-методичній літературі;
2. З’ясувати теоретичні основи дослідження (загальні відомості про нерівності, суть методів доведення нерівностей);
3. Підібрати систему задач на доведення поглибленого курсу нерівностей для алгебри основної школи;
4. Розробити методику навчання учнів їх доведення.

Курсова робота складається  з двох розділів. Перший розділ курсової роботи присвячений загальним відомостям про нерівності та деяким методам їх доведення, з якими необхідно познайомити учнів. У другому розділі наведено методику навчання учнів доведенню нерівностей різними методами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Розділ 1. Теоретичні основи дослідження

1.   Стан проблеми дослідження в курсовій, навчально-методичній літературі
1. Аналіз програм шкільного курсу математики та факультативних курсів

За чинною програмою з математики [23] тему «Нерівності» вивчають у 9 класі. Орієнтовано на її вивчення відводиться 16 годин.

К-ть год

Зміст навчального матеріалу

16

Тема 1. Нерівності   Числові нерівності. Основні властивості числових  нерівностей.   Почленне додавання  і множення нерівностей.   Застосування властивостей  числових нерівностей для оцінювання  значення виразу.   Нерівності зі змінними. Лінійні нерівності з однією  змінною. Розв’язок нерівності.   Числові проміжки. Об’єднання  та переріз числових проміжків.   Розв’язування лінійних  нерівностей з однією змінною.  Рівносильні нерівності.   Системи лінійних  нерівностей з однієї змінною,  їх розв’язування.

 

Учні повинні:

• наводити приклади нерівностей; нерівностей зі змінними; лінійних нерівностей з однією змінною, подвійних нерівностей;
• формулювати означення розв’язку лінійної нерівності з однією змінною; рівносильних нерівностей; властивості числових нерівностей;
• розв’язувати лінійні нерівності з однією змінною; системи двох лінійних нерівностей з однією змінною. [23]

Навчання учнів доведенню  нерівностей програмою з математики для загальноосвітніх навчальних закладів не передбачено.

У класах з поглибленим  вивченням тему «Нерівності» починають вивчати у 8 класі. Окремою темою курсу алгебри 9 класу є тема «Доведення нерівностей». Орієнтовано на її вивчення відводиться 15 годин. [24]

К-ть год	Зміст навчального матеріалу
15	Тема 2. Доведення  нерівностей   Основні методи доведення нерівностей.   Нерівність Коші для  двох чисел та її застосування. Нерівність між середніми величинами  двох додатних чисел (середнє  гармонічне, середнє арифметичне,  середнє геометричне, середнє  квадратичне).   [Нерівність Коші-Буняковського].   Метод використання  відомих нерівностей.

 

Учні повинні:

• описувати методи доведення нерівностей: використання означення нерівності, доведення від супротивного, використання відомої нерівності;
• доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел;
• розв’язувати вправи, у яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.
2. Аналіз шкільних підручників та навчально-методичних посібників

Розглянемо вивчення нерівностей  в курсі середньої школи за підручниками алгебри Бевз Г. П. [3] та Кравчук В. [14] для 9 класів .

Параграф 1 підручника [14] присвячений вивченню нерівностей. У цьому параграфі розглядаються числові нерівності, доведення нерівностей, властивості числових нерівностей, додавання і множення числових нерівностей.

У підручнику [3] для теми доведення нерівностей виділений цілий параграф. Наведено метод доведення нерівностей на основі означення поняття більше і менше. Також розглядається залежність між середнім арифметичним і геометричним двох чисел, її застосування до доведення нерівностей. Але в обох підручниках дуже мало вправ, в яких необхідно довести нерівності.

У статті [4] розглядається означення нерівності, види нерівностей та методи їх розв’язування. Окремою частиною теми є доведення нерівностей. Розглядаються найпростіші і найважливіші нерівності, такі як нерівності між середнім геометричним, середнім арифметичним і середнім  квадратичним. Також доступно розписано про класичні нерівності.

У статті [18] розглядається урок з теми «Доведення нерівностей», на якому діти повинні знати основні методи доведення нерівностей та вміти доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел, а також розв’язувати вправи, в яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.

1.2 Теоретичні відомості про нерівності

1.2.1 Числові нерівності

Якщо числа a і b рівні між собою, то . Якщо числа і не рівні між собою, то різниця буде або додатною, або від’ємною.

Якщо різниця додатна, то говорять, що число більше від числа . Записується це так: (1). Якщо різниця від’ємна, то говорять, що число менше від числа . Записується  (2).

Наприклад, ; .

Записи (1) та (2) називаються числовими нерівностями, а знаки і , які входять у них, - знаками нерівності. [14]

Поряд з числовими нерівностями в математиці часто доводиться зустрічатися з такими нерівностями, окремі частини  яких, виражені буквами, можуть набувати різних числових значень. Наприклад, , .

Допустимими значеннями букв, які входять у нерівність, називаються  такі значення цих букв, при яких обидві частини нерівності мають  смисл. Існують нерівності, які задовольняють  одні допустимі значення, а інші не задовольняють. Наприклад, . Ця нерівність визначена для всіх невід’ємних значень . Проте не кожне із зазначених чисел задовольняє цю нерівність. При , . Оскільки , то задовольняє нерівність . А число її не задовольняє, .

Нерівність, яку задовольняють  усі допустимі значення букв, що входять до неї, називається тотожною нерівністю. Прикладом такої нерівності може бути . [4]

Дві нерівності, які мають  однакові знаки (обидві знак або обидві знак ), називаються нерівностями однакового смислу. Наприклад, і однакового смислу.

Якщо одна з нерівностей  має знак , а друга знак , то такі нерівності називаються нерівностями протилежного смислу. [12]

Основні властивості нерівностей:

1. Якщо , то це означає, що .
2. Якщо , то і навпаки, якщо a, то b.

Доведення. Нехай . За означенням це означає, що додатне число. Якщо ми перед ним поставимо знак мінус, то буде від’ємним, тобто  , , а це означає, що . Доведено.

3. Якщо і , то .

Доведення. Нехай і . Це означає, що числа і додатні. Сума двох додатних чисел є число додатне, або . А це означає, що . Доведено.