Деякі методи доведення нерівностей в курсі математики основної школи та на факультативних заняттях

  .

У чисельнику з перших двох доданків розпишемо суму кубів, а  з двох останніх винесемо за дужки , отримаємо

  .

Винесши спільний множник  за дужки,  в дужках матимемо квадрат різниці

  , якщо .

 Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 4. Довести нерівність , де .

Доведення. Оцінимо різницю між лівою і правою частинами нерівності, тобто визначимо знак різниці .

.

 Винесши спільний множник  за дужки і звівши подібні доданки, отримаємо

 . Винесши з других дужок спільний множник , отримаємо в дужках квадрат різниці

 .

 Якщо , то . Рівність досягається лише, якщо . Різниця невід’ємна, отже нерівність доведена.

Крім наведеного вище методу в школі вивчається метод від  супротивного. При доведенні нерівностей  даним методом потрібно вміти, використовуючи тотожні перетворення, показати хибність припущення. Проілюструємо застосування даного методу на практиці.

Приклад 5. Довести, що при всіх дійсних значеннях і .

Доведення. Припустимо, що це не так, тобто

 . Можемо записати

 .

Але сума невід’ємних доданків більша або рівна нулю. Отже, наше припущення було хибним.

. Нерівність доведена.

Приклад 6. Довести, що при всіх дійсних значеннях числа .

Доведення. Припустимо супротивне, тобто .

Виконаємо деякі тотожні  перетворення, а саме

 .

. Останню нерівність  можна записати . Ми одержали хибне твердження, оскільки сума додатних доданків не може бути від’ємною. Наше припущення було невірним.

 Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 7. Довести нерівність для довільних значень змінних.

Доведення. Припустимо, що нерівність, яку треба довести, неправильна. Тоді знайдуться числа такі, за яких справджується нерівність:

, звідси

;

;

.

Одержана нерівність неправильна, тобто наше припущення неправильне. Отже, при будь-яких значеннях змінних  виконується нерівність , що й треба було довести.

При доведенні нерівностей  також використовують метод математичної індукції.

Перш, ніж приступити до доведення  нерівностей методом математичної індукції, слід пригадати принцип  математичної індукції, який є основою даного методу. А саме, твердження буде справедливим для будь-якого натурального , якщо:

1. Воно справедливе для .
2. Із справедливості твердження для будь-якого довільного натурального числа випливає його справедливість і для числа на 1 більшого, тобто для числа .

Потрібно звернути увагу  учнів на те, що доводячи твердження для числа  , треба обов’язково використовувати ту залежність, яка за припущенням вірна для числа . Бо часто діти намагаються виконати потрібні перетворення без цієї залежності і лише марнують час.

Розглянемо на прикладах  застосування методу математичної індукції до доведення нерівностей.

 Приклад 8. Довести, що при довільному справедлива нерівність .

Доведення. При нерівність справедлива . Доведемо, що якщо виконується нерівність , то справедлива також нерівність . Маємо

(за властивістю показників степеня).

Ввівши заміну , отримаємо

.

Оскільки , то .

Згідно з принципом  математичної індукції нерівність справедлива при довільному натуральному .

Приклад 9. Довести нерівність .

Доведення. Переконаємось, що нерівність виконується при , , , - нерівність виконується.

Припустимо, що нерівність виконується  при , отримаємо

 .

Використовуючи припущення і властивість транзитивності, можна розписати

 ,

 , .

- істинна для .

Отже, для будь-якого натурального

. Нерівність доведена.

Розглянемо приклади, в  розв’язуванні яких застосовується метод зведення до очевидної нерівності.

Приклад 10. Довести нерівність , при .

Доведення. Врахуємо, що . Тоді маємо

,

,

.

Додавши нерівності, дістанемо

.

Розкривши дужки та згрупувавши  доданки, отримаємо

,

.

Винесемо спільні множники , , , в результаті отримаємо

.

Згідно з нерівністю Коші можемо записати, що

.

Тепер матимемо ,

звідки ,

тобто . Нерівність доведена.

Приклад 11. Довести нерівність , при .

Доведення. Помножимо обидві частини нерівності на :

 

, що справедливо.  Рівність досягається лише при . Нерівність доведена.

Розглянемо доведення  класичних нерівностей.

Приклад 12. Доведіть нерівність .

Доведення. Застосуємо до кожного з множників лівої частини нерівності нерівність Коші:

;

;

.

Перемножимо три останні  нерівності, і отримаємо

 , що й треба було довести. Рівність досягається при .

Приклад 13. Доведіть нерівність , .

Доведення. Розкриємо дужки у лівій частині нерівності, і отримаємо

 ,

а тепер згрупуємо і  винесемо спільний множник за дужки

 .

Отже, тепер нам треба  довести, що .

Застосуємо до кожного  з множників лівої частини  нерівності нерівність Коші:

;

.

Перемножимо дві останні  нерівності, і отримаємо:

, що й треба  було довести.

Приклад 14. Довести нерівність , де .

Доведення. Згідно з нерівністю Бернуллі .

Приймаючи в цій нерівності маємо

, . Додамо всі ці нерівності

, що й треба було довести.

Довести самостійно:

1. , якщо - за допомогою означення.
2. - метод математичної індукції.
3. , для будь-якого натурального - метод математичної індукції.
4. , якщо - зведення до очевидної нерівності.
5. , – зведення до очевидної нерівності.
6. - використання класичної нерівності.
7. - використання класичної нерівності.

2.2 Методика навчання  учнів доведення нерівностей  на факультативних заняттях

Головне завдання факультативів  із математики полягає в тому, щоб, ураховуючи інтереси й нахили учнів, розширити й поглибити вивчення програмового матеріалу, ознайомити школярів з деякими загальними математичними  ідеями, показати застосування математики в практичній діяльності, підвищити  питому вагу самостійної роботи учнів, індивідуальної роботи з ними.

Задачі на доведення алгебраїчних нерівностей корисні для розвитку творчих здібностей учнів.

Тематика задач не виходить за межі основного курсу, але рівень складності задач підвищений. Викладання факультативних занять базується як поглиблене вивчення питань, які потребують застосування високої логічної культури, творчого мислення учнів.

Приклад 1. Довести нерівність для обернених величин

.                                                                                               (1)

Доведення. Візьмемо очевидну нерівність , далі одержимо:

.                                                           (2)

Нерівність (1) не має смислу при .

Поділимо обидві частини  нерівності (2) на , одержимо , що й треба було довести. Рівність досягається лише при , тобто лише при . При , а при .

Приклад 2. Довести нерівність трьох квадратів

.

Доведення. Додамо три очевидні нерівності

.

У результаті одержимо нерівність , а потім поділивши на 2, отримаємо, , що й треба було довести. Рівність досягається лише при .

Приклад 3. Довести, що якщо і , то .

Доведення. Перший спосіб. Розглянемо нерівність , або . Оскільки , то з останньої нерівності випливає, що   .

Так само, виходячи з нерівності , отримаємо:   .

З та робимо висновок, що .

Другий спосіб. Перемноживши почленно дані нерівності, отримаємо:

.

Тоді маємо:

 ,

звідки 

.

Оскільки , то , тобто .

Приклад 4. Сума п’яти додатних чисел рівна 25. Довести, що їх добуток менше 3200.

Доведення. Позначимо числа через . Тоді скористаємося нерівністю Коші для . Отримаємо:

.

Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 5. Довести, що .

Доведення. Перший спосіб. Розкриємо дужки і погрупуємо:

.

Використовуючи нерівність , маємо:

.

Отже, .

Другий спосіб. Нерівність легко довести, використовуючи нерівність Коші-Буняковського:

.

Отже, . Нерівність доведена.

Довести самостійно:

1. - за допомогою означення.
2. - за допомогою означення.
3. - метод математичної індукції.
4. , - метод математичної індукції.
5. – використання класичної нерівності.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновки

Нерівності в математиці відіграють важливу роль. Вони використовуються в математичному аналізі, наближених обчисленнях, програмуванні та багатьох інших розділах математики.

У курсовій роботі було розглянуто деякі методи доведення нерівностей, які розглядаються в шкільному  курсі математики і широко застосовуються до доведення нерівностей.

Крім теоретичної основи методів доведення нерівностей, в курсовій роботі наводяться приклади, які можна запропонувати учням  як на уроках алгебри, так і на факультативних заняттях.

Методи доведення нерівностей  дуже різноманітні. Вони охоплюють  собою великий обсяг знань, якими повинен володіти учень. Дана тема дає змогу повторити, систематизувати та закріпити матеріал, що вже відомий учням.

Так як загального методу доведення  нерівностей не існує, то учні іноді  важко доводити нерівності. Але, знаючи достатню кількість методів доведення  нерівностей, учень може досить легко  довести ту чи іншу нерівність.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаної літератури

1. Алексеев В. М. Элементарная математика. Решение задач: Учеб. пособие. – К.: Высшая школа. Головное изд-во, 1989. – 393 с.
2. Арендар Т. Б. Ще раз про раціональні рівняння і нерівності [Текст] / Т. Б. Арендар // Математика в школах України. – 2007. – №10(квітень). – С. 25 - 27.
3. Бевз Г. П. Алгебра: Підручник для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл./ Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К.: Зодіак – ЕКО, 2009. – 288 с. і іл.
4. Бевз Г. Нерівності [Текст] / Г. Бевз // Математика в школі. – 2009. – №1-2. – С. 23-27.
5. Бєляєва Л. Є. Нерівності: (Підготовка до державної атестації, 9-й клас) [Текст] / Л. Є. Бєляєва // Математика. – 2003. – №14(квітень). – С. 21 - 23.
6. Вальорко В. Нерівності. Системи нерівностей: (Урок з алгебри у 9 класі) [Текст] / В. Вальорко // Математика. – 2006. – №38(жовтень). – С. 21 - 23.
7. Ващенко О. В. Нерівності в шкільному курсі математики. : Дипломна робота студентки фізико-мат.фак. / О. В. Ващенко. – Чернігів : ЧДПУ, 2004. – 73с. – Б.ц.
8. Волобуєва Л. Нерівності [Текст] / Л. Волобуєва // Математика в школах України. – 2010. – №32(листопад). – С. 22-24. – Закінчення. Початок див.: № 26, 2010 р.
9. Гайда О. А. Нерівності: (9-й клас) [Текст] / О. А. Гайда // Математика. – 2004. – №35(вересень). – С. 15 - 23. – Закінчення. Почат. №33,34/2004.
10. Заболотня Л. Доведення нерівностей у шкільному курсі математики: (Програма курсів за вибором. 9 - 11 класи) [Текст] / Л. Заболотня, В. Швець // Математика в школі. – 2004. – №6. – С. 35 - 37.
11. Заводович О. Уроки з теми: «Нерівності з двома змінними» [Текст] / О. Заводович // Математика в школі. – 2008. – №2. – С. 8-14.
12. Карпік В. В. Числові нерівності. Лінійні нерівності [Текст] : тестові завдання з алгебри. 9 клас / В. В. Карпік // Математика в школах України. – 2009. – №27(вересень). – С. 34-39.
13. Коваленко В. Г. Доведення нерівностей [Текст] / В. Г. Коваленко, М. Б. Гельфанд, Р. П. Ушаков. – К. : Вища школа, 1979. – 120с.
14. Копцюх М. Г. Доведення нерівностей [Текст] / М. Г. Копцюх. – К. : Рад. школа, 1982. – 160с.
15. Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра. Підручник для 9 кл./ За редакцією З. І. Слєпкань. Видання третє, перероблене та доповнене – Тернопіль: Підручники і посібники, 2007. – 256 с.
16. Литвин Н. Нерівності [Текст] : урок-залік у 9 класі / Н. Литвин // Математика. – 2011. – №22-23 (червень). – С. 45-46.
17. Лось В. М. Нерівність Коші-Буняковського та її застосування [Текст] / В. М. Лось // Вісник Чернігівського національного педагогічного університету / Черніг. нац. пед. ун-т ім. Т.Г. Шевченка. – Чернігів : ЧНПУ ім. Т.Г. Шевченка, 2011. – №Вип. 83. – С. 107-109. – (Серія: Педагогічні науки).
18. Лях Л. Є. Нерівності [Текст] : нестандартна форма перевірки знань / Л. Є. Лях // Математика в школах України. – 2009. – №25-26(вересень). – С. 72-78.
19. Марченко Л. Основні методи доведення нерівностей [Текст] / Л. Марченко // Математика в школах України. – 2010. – №26(вересень). – С. 21-25.
20. Наврузова Т. В. Застосування нерівностей Коші, Коші-Буняковського до розв'язування задач [Текст] / Т. В. Наврузова // Математика в школах України. – 2011. – №6(лютий). – С. 12.
21. Орач Б. Методи доведення нерівностей [Текст] / Б. Орач // Математика. – 2005. – №19(травень). – С. 11 - 15. – Закінчення. Почат. №18.
22. Панкратова О. Г. Нерівність [Текст] : [розробка нестандартного уроку] / О. Г. Панкратова // Математика в школах України. – 2009. – №28(жовтень). – С. 13-16.
23. Перехейда О. М. Доведення нерівностей. [Текст] / О. М. Перехейда, Р. П. Ушаков. – Х. : Вид.група "Основа", 2003. – 96с. – (Бібліотека журналу "Математика в школах України". ; Вип.7(7).).
24. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи. Затверджено міністерством освіти і науки України. – Київ: Ірпінь, 2005. – с. 64.
25. Програма для класів з поглибленим вивченням математики. 8-9 класи// Математика. 2008. №37. – С. 3-15.
26. Сазонова О. П. Доведення нерівностей з використанням скалярного добутку векторів [Текст] / О. П. Сазонова // Математика. – 2003. – №14(квітень). – С. 23 - 24.
27. Самойленко Л. В. Доведення нерівностей [Текст] : система вправ для проведення факультативних занять у 9-му класі / Л. В. Самойленко // Математика в школах України. – 2009. – №30(жовтень). – С. 28-29.
28. Шелест Н. Способи доведення нерівностей у шкільному курсі математики [Текст] : 10-11 класи / Н. Шелест // Математика. – 2009. – №15(квітень). – С. 17-18.