Деякі методи доведення нерівностей в курсі математики основної школи та на факультативних заняттях

4. Якщо до обох частин числової нерівності додати або відняти від обох частин одне й те саме число, то нерівність не зміниться.

Доведення. Нехай . Це означає, що . Але . Тому , а це означає, що . Аналогічно доводиться, що . Доведено.

Наслідок: Будь-який доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний.

5. Нехай . Якщо , то . Якщо ж , то .
6. Якщо і , то , тобто при почленному додаванні двох нерівностей однакового смислу дістанемо нерівність того самого смислу.

Доведення. З нерівності випливає нерівність , а з нерівності - нерівність . На підставі транзитивності нерівностей, дістанемо . Доведено.

6.* Властивість 6 можна узагальнити для нерівностей, а саме:

Якщо , то .

7. Якщо і , то .

Доведення. Оскільки , то , отже , тобто . Доведено.

8. Якщо – додатні числа і , то , тобто при по членному множенні двох нерівностей однакового смислу з додатними членами, дістанемо нерівність того самого смислу.

Доведення. Оскільки , то , а з нерівності випливає нерівність . На підставі транзитивності нерівностей, маємо . Доведено.

8.* Властивість 8 можна узагальнити для нерівностей, а саме:

Якщо , то .

9. Якщо , то при будь-якому натуральному , , тобто нерівність з додатними членами не порушиться, якщо обидві її частини піднести до степеня з одним і тим самим натуральним показником.

Доведення. Доведемо за допомогою методу математичної індукції. При , твердження вірне за умовою. Припустимо, що воно справедливе при . Доведемо, що нерівність справедлива при , нерівність  помножимо почленно на нерівність , дістанемо , тобто твердження справедливе при . Отже, . Доведено.

10. Якщо числа та одного знака і , то .

Доведення. Нехай і – числа однакового знака, тому . Оскільки також і , то . Отже, , а це означає, що або . Доведено.

11. Якщо – додатні числа і , то .

Доведення. З нерівності випливає, що . Перемноживши почленно нерівності і , дістанемо нерівность . Доведено.

12. Якщо , то при будь-якому натуральному справджуватиметься нерівність .

Доведення. Припустимо, що справджується нерівність . Тоді за властивістю 9, справджується нерівність , що суперечить умові. Отже,  якщо . Доведено. [22]

1.2.2 Нерівності, що містять змінну

Поряд з числовими нерівностями, які вивчаються в шкільному курсі  математики, значне місце займають нерівності, що містять змінну. До таких, наприклад, належать і т. д., де і можуть набувати різних значень.

Дві нерівності на певній множині  називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються. [12]

Рівносильними є також ті нерівності, у кожної з яких множина розв’язків порожня. [12]

При вивченні нерівностей, що містять змінну (або декілька змінних), користуються наступними теоремами.

Теорема1. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) те саме число або вираз, що визначений для всіх допустимих значень невідомого, то дістанемо нерівність, рівносильну заданій.

Наслідок: Будь-який доданок, визначений для всіх значень невідомої величини, можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, помінявши знак цього доданка на протилежний.

Теорема 2. Якщо обидві частини нерівності помножити на додатне число або вираз, що набуває тільки додатного значення і визначений для всіх значень невідомої величини, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити на від’ємне число або вираз, який визначений для всіх значень невідомої величини і набуває тільки від’ємних значень, а знак нерівності змінити на протилежний, то дістанемо нерівність, еквівалентну даній.

1.3 Основні методи  доведення нерівностей

Нехай дано нерівність від  однієї змінної (хоча аналогічні міркування можна провести і для більшої кількості змінних). Позначимо нерівність символом – певна умова, яка накладається на змінну .

Довести нерівність , якщо виконується умова , означає показати, що для кожного значення , яке перетворює в істинне висловлення, нерівність теж перетворюється в істинне висловлення. Умова однозначно визначає певну множину значень змінної, яка є її множиною істинності. Коли нерівність при виконанні умови доведена, то це означає, що нерівність на множині тотожно істинна.

Існує багато методів доведення  нерівностей. У даній роботі розглянемо такі методи доведення нерівностей.

1. Доведення нерівностей з допомогою означення.
2. Доведення від супротивного.
3. Метод математичної індукції.
4. Метод зведення до очевидної нерівності
5. Метод використання класичної нерівності.

 

 

 

1.3.1 Доведення  нерівностей з допомогою означення

Цей метод ґрунтується  на застосуванні першої властивості, у  якій стверджується, що , значить . Аналогічно,  , значить , де і - деякі вирази.

Якщо для нерівності () вдається показати, що () – тотожно істинна нерівність на певній множині, то на цій множині буде тотожно істинною і задана нерівність. Для з’ясування знака виразу треба буде, очевидно, виконати на заданій множині деякі тотожні перетворення.

Приклад 1. Довести, що для всіх дійсних значень виконується нерівність .

Доведення. . Оскільки і , то . Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 2. Довести нерівність .

Доведення. Розглянемо різницю між лівою і правою частинами нерівності і визначимо знак різниці:

, оскільки сума квадратів дійсних чисел додатна чи рівна нулю. Отже, . Нерівність доведена.

1.3.2 Доведення від супротивного

Суть цього методу полягає  в наступному. Нехай необхідно  довести нерівність , де – деякі вирази. Роблять припущення, що істинною є нерівність супротивного смислу, тобто існує принаймні одне значення змінної , що виконується нерівність . Виконуючи певні перетворення над останньою нерівністю, на певному етапі одержимо нерівність, хибність якої є очевидною, а значить хибною буде і нерівність . Отже, наше припущення було невірне. Нерівність є істинною.

Приклад 3. Довести, що для всіх дійсних виконується нерівність .

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай існує дійсне, для якого . Тоді

() .

Ввівши позначення , останню нерівність подамо так: . Дістанемо . Для всіх дійсних , є хибним. Виконавши заміну , дістанемо . Очевидно, що остання нерівність є хибною, отже наше припущення, що хибне і твердження, яке пропонувалось довести, істинне. Отже, . Нерівність доведена.

1.3.3 Метод математичної індукції

Метод математичної індукції ґрунтується на використанні принципу математичної індукції, що формулюється так: Деяке твердження істинне для будь-якого натурального , якщо:

1. Воно істинне для .
2. З того, що істинне для (де - довільне натуральне число), випливає, що воно істинне для натурального числа .

Кожне доведення методом  математичної індукції передбачає обов’язкових два етапи. На першому показуємо, що твердження істинне, на другому припускаємо, що істинне, потім доводимо, що з істинності слідує істинність .

Нерідко використовують узагальнений принцип математичної індукції. Якщо твердження , де , істинне для і з того, що воно істинне для числа , причому , випливає, що воно істинне для натурального числа , то твердження істинне для будь-якого значення , .

Описаний метод широко використовується для доведення  нерівностей.

Приклад 4. Довести нерівність .

Доведення. Спочатку зазначимо, що нерівність вірна при ,

,  .

Припускаємо, що нерівність вірна для , . Доведемо, що вона вірна для , тобто

. Піднесемо ліву  частину нерівності до квадрату, а в правій частині розкриємо  дужки. Тоді, отримаємо

. Тоді

.

Отже, для  . Нерівність доведена.

1.3.4 Метод зведення до очевидної нерівності

Часто можна довести нерівність, зводячи її за допомогою тотожних перетворень до очевидної, або відомої нерівності.

Існують два методи доведення  нерівностей у такий спосіб.

1. Метод наслідків має вигляд .

- деяка нерівність, або система нерівностей, - відома, (або очевидна нерівність), - нерівність, яку треба довести. Цей метод називається синтетичним.

Правило-орієнтир пошуку доведення  синтетичним методом за допомогою  аналізу Евкліда можна задати так.

1. Припустити, що висновок (вимога) задачі на доведення правильний.
2. Вивести з цього припущення всі можливі наслідки.
3. Переконатися, що отриманий висновок-наслідок є або очевидною, або

встановленою раніше істиною.

4. Взявши отриманий істинний висновок за вихідний, проаналізувати твердження у зворотному напрямі та перейти до висновку про правильність твердження, яке доводять. [22]
2. Метод рівносильних перетворень має вигляд .

- нерівність, яку  треба довести,  - деякі нерівності, або системи, - очевидна (або відома) нерівність. Цей метод називають аналітичним. [22]

Міркування виконуються  від того, що потрібно довести. При  цьому з припущення правильності того, що слід довести (основа), виводять наслідки, які приводять до очевидної правильної нерівності (наслідку). Проте цей аналіз не можна вважати доведеним, хоча ми дістали очевидну правильну нерівність, оскільки правильність наслідку ще не гарантує правильності основи. Справді, з хибної основи правильними міркуваннями можна дійти правильного наслідку. Наприклад, , де - хибне твердження. Якщо піднести обидві частини цієї неправильної рівності до квадрата, дістанемо правильну рівність . Перехід від істинності наслідку до істинності основи можливий тільки тоді, коли основа і наслідок – правильні взаємно обернені судження.

Поширеним видом очевидної  нерівності є нерівність . Рівність досягається лише при .

Приклад 5. Довести нерівність для .

Доведення. Візьмемо очевидну нерівність

.

, .

Що й треба було довести. Рівність досягається лише при .

1.3.5 Метод використання  класичної нерівності

У курсі середньої школи учні повинні ознайомитися з такими класичними нерівностями, як: нерівність Коші, нерівність Коші-Буняковського, нерівність Чебишова та вміти застосовувати їх до доведення нерівностей. Але найчастіше для доведення нерівностей використовують нерівність Коші та нерівність про суму взаємно обернених чисел. З рештою класичних нерівностей учні можуть ознайомлюватись на факультативних заняттях.

Нерівність Коші 

, де .

Нерівність Коші-Буняковського

.

Нерівність Чебишова

.

Нерівність Бернуллі

, де .

Нерівність суми взаємно  обернених величин

, при .

Приклад 6. Доведіть нерівність .

Доведення. Розглянемо різницю лівої і правої частини нерівності, тоді отримаємо:

.

Ліву частину нерівності зведемо до спільного знаменника,

.

Помічаємо, що в чисельнику лівої частини нерівності – квадрат  різниці, отже,

,

що очевидно. Рівність досягається  лише, коли .

 

 

Розділ 2. Методика навчання учнів основної школи доведення  нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях

1. Методика навчання учнів доведення нерівностей в курсі математики основної школи

Метод доведення нерівностей  за означенням: складають різницю  між лівою і правою частинами  нерівності і доводять, що вона додатна, від’ємна або недодатна.

Приклад 1. Довести нерівність .

Доведення. Оцінимо різницю між лівою і правою частинами нерівності:

.

Оскільки сума квадратів  завжди число невід’ємне, то різниця  між лівою та правою частинами  невід’ємна. А отже, нерівність істинна. Слід зауважити, що рівність досягається, якщо .

Приклад 2. Довести, що .

Доведення. . Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 3. Довести, що якщо , то .

Доведення. Розглянемо різницю Зведемо дроби до спільного знаменника, отримаємо