Дифференциалдық және интегралдық есептеулер

 

3. Нолден өзге тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің алдына шығаруға болады.

, где А 0

 

4.  Функциялар қосындысының анықталмаған интегралы әр бір функцияның анықталмаған интегралдарының қосындысынеа тең.

 

 

 

Интегралдаудың негізгі  формулаларының кестесі.

11 слайд.

12 слайд.

13 слайд.

 

§ 12.  Анықталмаған интеграл үшін интегралдау тәсілдері

14 слайд.

Тікелей интегралдау

  болсын, онда 4 қасиетінің негізінде:

15 слайд.

Айнымалы ауыстыру әдісі

f(x) функция [a,b] аралығынды үзіліссіз болсын және x=φ(t) ( , ) аралығында үзіліссіз дифференциалданатын болсын.  екенін ескере отырып, айнымалыны ауыстыру арқылы анықталмаған интегралды есптеу формуласын аламыз.

 

 

Бөліктеп интегралдау

u және v – х бойынша үзіліссіз дифференциалданатын функциялар болсын. Дифференциалдау формуласының негізінде:

16 слайд.

Бұл өрнектен:

,        т.к.  получаем  

Бұл бөліктеп интегралдаудың формуласы.

 

§ 13.   Анықталған интеграл түсінігі, негізгі қасиетттері. Ньютон-Лейбниц формуласы.

 

f(x) –[a,b] аралығындағы үзіліссіз функция болсын, мұндағы а<b немесе а>b, және F(x) – алғашқы образ, яғни F′(x)=f(x).

17 слайд.

Анықтама. Анықталған интеграл деп алғашқы образдың сәйкес өсімшесін айтамыз:

 

Сонымен қатар, кез келген f(x) функциясы үшін бар болады, (а – кез келген)

a және b сандары интегралдау шекаралары, сәйкесінше төменгі және жоғарғы, [a, b] – интегралдау аралығы, ал f(x) – интеграл асты функциясы деп аталады.

Анықталған интегралдың қасиеттері

18 слайд.

I

Анықталған интегралдың  мәні белгілеуден тәуелсіз

 

 

II

Интегралдау шекаралары бірдей анықталған интеграл нолге тең болады.

 

 

III

Интегралдау шекараларының  орнын ауыстырғанда интеграл таңбасы  қарама қарсыға өзгереді.

 

 

 

IV

Егер  аралығы бірнеше кесінділерге бөлінсе, онда аралығы бойынша алынған интеграл оның бөлінген кесінділері бойынша алынған интегралдардың қосындысына тең.

  _{b              c                       b}

  ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx

  ^{a                       a                      c}

V

Тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің алдына шығаруға болады.

 

 VI

Қосындының анықталған интегралы  қосылғыштардың анықталған интегралдарының  қосындысына тең болады

 

 

VII

Егер интеграл астындағы функция  үзіліссіз және теріс емес, ал оның жоғарғы шекарасы төменгісінен үлкен  немесе оған тең болса, оонда анықталған интеграл да теріс емес болады.

 

19 слайд.

Теорема.  Ньютон-Лейбниц.

Анықталған интеграл интеграл асты функциясының алғашқы образының  жоғарғы және төменгі шекараларындағы  мәндерінің айырымына тең болады:

20 слайд.

Теорема. Үзіліссіз функцияның анықталған интегралы интеграл асты функция үшін алғашқы образын таңдаудане тәуелсіз болады.

 

Дәлелдеу: - аралығында үзіліссіз интеграл асты функциясының алғашқы образы болсын. Анықталмаған интеграл теоремасы негізінде F1 алаыз.

Салдар.  , мұндағы ретінде функциясының алғашқы образдарының бірі алынады.

Ескерту. Бұл формула анықталған және анықталмаған интеграл арасындағы байланысты орнатады.Анықталған және анықталмаған интеграл арасындағы айырмашылық – анықталған интеграл сан, ал анықталмаған интеграл функция.

 

 

 

 

 

§ 4.   Анықталған интегралдың геометриялық және физикалық мағынасы.

21 слайд.

Геометриялық мағынасы: Үзіліссіз функцияның анықталған интегралы сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданын береді.

 

Анықталған интегралдың  физикалық мағынасы.

22 слайд.

Есептің қойылымы: нүктенің түзусызықты қозғалысының V=V(t) жылдамдығын біле отырып уақыт аралығында жүріп өткен жолын табу керек.

X 

M   

0    x(0)  x(T)

S

Нүктенің траекториясы Ох осі болады деп есептеп және х=х(t) қозғалыс теңдеуі болса, онда (туындының физикалық мағынасы) болады, бұдан dx=V(t)dt

Осы теңдеуді 0 және Т  аралығында интегралдайық

 

§ 15.   Анықталған интеграл үшін интегралдау тәәсілдеррі

Айнымалыны  ауыстыру

 берілсін, оған анықталмаған  интегралдағы айнымалыларды ауыстыру әдісін қолдануға болады.

23 слайд.

Бөліктеп интегралдау

24 слайд.

Анықталған интеграл үшін бөліктеп интегралдаудың формуласы

 

 

 

 

 

 

 

Көрнекі материалдар (слайдтар):

Слайд 1	Туындының анықтамасы.
Слайд 2	Бірінші туындының геометриялық мағынасы
Слайд 3	Дифференциалдаудың негізгі  формулалары
Слайд 4	Функция дифференциалының геометриялық мағынасы
Слайд 5	Дифференциалдар кестесі
Слайд 6	Алғашқы образ түсінігі
Слайд 7	Алғашқы образды табу мысалдары
Слайд 8	Анықталмаған интеграл анықтамасы
Слайд 9	Анықталмаған интегралдың  геометриялық мағынасы
Слайд 10	Анықталмаған интеграл қасиеттері
Слайд 11	Интегралдаудың негізгі  формулаларының кестесі
Слайд 12	Дифференциалды түрлендіру
Слайд 13	Анықталмаған интегралды интегралдау формулаларын және дифференциалдарды түрлендіру көмегімен есептеу
Слайд 14	Тікелей интегралдау
Слайд 15	Анықталмаған интегралды айнымалыларды ауыстыру көмегімен  есептеу
Слайд 16	Анықталмаған интегралды бөліктеп интегралдау әдісімен есептеу
Слайд 17	Анықталған интеграл түсінігі
Слайд 18	Анықталған интегралдың  қасиеттері
Слайд 19	Ньютон-Лейбниц теоремасы
Слайд 20	Анықталған және анықталмаған интеграл арасындағы байланыс
Слайд 21	Анықталған интегралдың  геометриялық мағынасы
Слайд 22	Анықталған интегралдың  физикалық мағынасы
Слайд 23	Анықталған интегралды айнымалыларды ауыстыру тәсілімен  есептеу
Слайд 24	Бөліктеп интегралдау

 

 

Слайд 1. 

Туындының анықтамасы

y= f(x)   х аргументі бойынша үзіліссіз функция болсын.  Х аргументіне Δх өсімше берейік. y= f(x) функциясы сәйкесінше Δу өсімше алады:

Δу = f(x + Δx) – f(x).

 

lim Δу/ Δx = lim [f(x + Δx) – f(x)]/ Δx       - шегі

         ^{Δx→0               Δx→0}                 

f(x) функциясының туындысы  деп аталады және f′(x) немесе y′ арқылы белгіленеді.

 

Слайд 2.

Бірінші туындының  геометриялық мағынасы.

Мысалы:  y = x² қисығының М(1,1) нүктесіндегі жанаманың теңдеуін жазу керек.

                                                             

х=1: у′(х) = 2х =>   у′(1) = 2  => y-1 = 2(x-1)

y = 2x – 1     - жанаманың теңдеуі 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слайд 3.

Дифференциалдаудың  негізгі формулалары.

 

с′= 0,   мұндағы с = const	(tg x) ′ = 1/sin 2 x
(u + v - w) ′ = u′ + v′ – w′	(ctg x) ′ = -1/ cos 2 x
(сu) ′ = c∙u′	(log a x) ′ = 1/(x∙lna)
(u∙v) ′ = u′∙v + u∙v′	(ln x) ′ = 1/x
(u/v) ′ = (u′∙v – u∙v′)/v2	(a x ) ′ = ax ∙ lna
(x n ) ′ = n∙x n-1 , x′ = 1	(e x ) ′ = e x
(sin x) ′ = cos x	(cos x) ′ = -sin x

 

 

Слайд 4.

Функция дифференциалының геометриялық мағынасы.

 

Слайд 5.

Дифференциалдар кестесі.

 

dC = 0	d e x = ex dx
d(u+v-w) = du+dv-dw	d log a x = dx / (x∙lna)
d(u+c) = du	d ln x = dx / x
d(Cu) = Cdu	d sin x = cos x dx
d(uv) = udv + vdu	d cos x = -sin x dx
d(u/v) = (vdu - udv)/ v2	d tg x = dx / sin 2 x
d x n = n∙x n-1dx	d ctg x = -dx / cos 2 x
d a x = ax ∙ lna dx  (a>0)

 

 

Слайд 6.

Алғашқы образ түсінігі

 

немесе сәйкесінше

мұндағы f(x) – нақты функция, табу керек F(x) функциясын.

Ізделінді F(x) функциясы бұл жағдайда  f(x) функциясы бойынша алғашқы образы деп аталады.

 

 

Слайд 7.

Алғашқы образын табудың  мысалдары

 

Мысалы: 3х² функциясы үшін алғашқы образдарының бірі х³, немесе (х³)^/ = 3х² функциясы болады.

Функцияның алғашқы  образы жалғыз емес, себебі,  (х³+1)^/ = 3х², (х³-5)^/ = 3х² және т.с.с сондықтан  х³+1,  х³-5  функциялары және т.с.с байланыс түрлері 3х² функциясы үшін алғашқы образдары болады. Бұдан функцияның шексіз көп алғашқы образдарының болатыны шығады.

 

Слайд 8.

Анықталмаған интегралды анықтау

 

Анықтама: Берілген үзіліссіз f(x) функциясы үшін барлық алғашқы образдарының жиынтығы f(x) функциясының немесе f(x)dx дифференциалдық өрнегінің анықталмаған интегралы деп аталады және былай белгіленеді:

.

 

Слайд 9.

Анықталмаған интегралдың  геометриялық талдауы

Геометриялық  тұрғыда анықталмаған интегралы өзара параллель қисықтар жиыны болып табылады.

 

 

Слайд 10. 

Анықталмаған интегралдың  қасиеттері.

I.   

 

II.

 

III. , где А 0

 

IV.

 

 

Слайд 11. Интегралдаудың негізгі формулаларының кестесі

I.	VIII.
II.	IX.
III.	X.
IV.	XI.
V.	XII.
VI.	XIII.
VII.

 

Слайд 12.

Дифференциалдың түрлендіулері

 

1) , мұндағы b – тұрақты шама

2) , мұндағы a = const ≠ 0

3) , где а ≠ 0

4)

5)

6)