Дифференциалдық және интегралдық есептеулер

Ф КГМУ 4/3-04/02

ИП №6 УМС при КазГМА

от 14 июня 2007 г.

 

ҚАРАҒАНДЫ МЕМЛЕКЕТТІК МЕДИЦИНА УНИВЕРСИТЕТІ

Медициналық биофизика  және информатика кафедрасы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДӘРІС

 

  Тақырыбы: «Дифференциалдық және интегралдық есептеулер»

 

 

Пән	Mat 1114  «Математика»
Мамандығы	5В110200 «Қоғамдық денсаулық сақтау»
Курс	1
Ұзақтығы	1 сағат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қарағанды 2010ж.

Кафедра отырысында бекітілген

«____»__________2010ж.  Хаттама №____

Кафедра меңгерушісі______________ Б.К.Койчубеков

 

 

 

Тема: Дифференциалдық және интегралдық есептеулер

Мақсаты: Фундаментальді болып табылатын диференциалдау түсінігін енгізу; кейде бізді қандай да бір шаманың мәні емес, оның өзгерісі қызықтырады, осындай жағдайларда диференциалдық есептеулерді қолданамыз. Алғашқы образ және интегралды есептеу түсініктерін енгізу, себебі интегралды есептеулер ғана аудан мен көлемді есептеу әдістерін береді.

 

  Жоспар:

1. Диференциалды есептеу түсінігі.
2. Медицинада диференциалды есептеулерді қолдану.
3. Функция туындысы, оның геометриялық және физикалық мағнасы.
4. Диференциалдаудың негізгі формулалары. 
5. Күрделі функцияның туындысы. 
6. Функция диференциалы түсінігі.
7. Функция диференциалы мен туындысы арасындағы байланыс.
8. Диференциалдау кестесі.
9. Жоғарғы ретті туындылар мен диференциалдар.
10. Алғашқы бейне. Анықталмаған интеграл.
11. Анықталмаған интеграл қасиеттері. Интегралдаудың негізгі формулаларының кестесі.
12. Анықталмаған интеграл үшін интегралдау әдістері: тікелей интегралдау, айнымалы ауыстыру, бөліктеп интегралдау.
13. Анықталған интеграл түсінігі, негізгі қасиеттері. Ньютон-Лейбниц формуласы.
14. Анықталған интегралдың геометриялық мағынасы. Анықталған интегралдың физикалық мағынасы.
15. Анықталған интегралдау үшін интегралдау әдістері: айнымалы алмастыру, бөліктеп интегралдау.

 

§ 1. Диференциалдық есептеу түсінігі.

Диференциалдық есептеу төмендегі  екі сұрақты қарастырады:

1. кез келген түзудің  жанамасын іздеу;
2. кез келген қозғлыс заңдылығы үшін жылдамдықты есептеп шығару.

Осы екі есептеі шешу кезінде диференциалдық есептеудің негізі қаланды.Есептің қойылымы: берілген f(t) функциясының көмегімен қандай да бір басқа f(t) функциясын табу керек.

Есептің жалпы түрін 17 ғасырдың 70-80 жылдары Ньютон мен Лейбниц көрсеткен. Алайда оның алдында Ферма, Паскаль және тағы да басқа ғалымдар көптеген функциялардың туындысын есептеудің ережелерін көрсетіп кеткен

Ньютон мен Лейбниц  оны аяқтады; олар туынды мен диференциалдың жалпы түсінігі мен белгілеулерін  енгізген;олар диференциалды есептеу  аппараттарын дамытып, геометрия мен  механиканың көптеген есептерін  шешу үшін диференциалдау тәсілін қолданған. 

 

 § 2. Диференциалды есептеулерді медицинада қолдану.

Жоғарыда айтылғандай  диференциалдық есептеу екі есепке негізделген, олардың әрқайсысы  медицинада өз қолданысын табуда, мысалы, медициналық мағынада тұрғызылған  кез келген график немесе математикалық модель үшін жанама жүргізуге болады немесе медицинада қолданылатын жылдамдықты (дәрілердің еру жылдамдығы, дәрілік препараттарға реакциясының жылдамдығы) есептеуге болады.

 

§ 3.   Функция туындысы, оның геометриялық және физикалық мағынасы.

Поездің жылдадығын анықтау  үшін оның  t = t₁   және t = t₂ уақыт мезетінде жолдың нешінші километрінде болатынын анықтау керек.

Ол арақашықтықтар S = S₁, S = S₂    болсын.

Жолдың өсімшесі   ΔS = S₂ – S₁ ,

ал  уақыттың өсімшесі  Δt = t₂ – t₁ тең болады.

Дербес ΔS/ Δt қатынасы (t₁, t₂) уақыт аралығындағы поездің орташа жылдамдығын береді.Бірқалыпсыз қозғалыс кезінде орташа жылдамдық t = t₁ уақыт мезетіндегі қозғалыс жылдамдығын жеткіліксіз түрде сипаттайды. Бірақ Δt  азайған сайын бұл жылдамдық дәлірек сипатталады. Сондықтан да  t = t₁ уақыт мезетіндегі жылдамдық деп Δt→0 ұмтылғандағы ΔS/ Δt  қатынасының шегін айтамыз:

V = lim ΔS/ Δt

^Δt→0

1 слайд.

y= f(x) (a, b) аралығында анықталған х аргументінің үзіліссіз функциясы болсын және х осы аралыққа тиісті кез келген нүкте болсын. х аргументіне Δх өсімшесін берейік.  y= f(x) функциясы Δу өсімше алады:

Δу = f(x + Δx) – f(x).

 

lim Δу/ Δx = lim [f(x + Δx) – f(x)]/ Δx       -қатынасы

         ^{Δx→0               Δx→0}                  

f(x) функциясының туындысы деп аталып  f′(x) немесе y′ деп белгілейміз. 

2 слайд.

I – ші туындының  физикалық мағынасы: y=f(x) х уақыты бойынша өзгеретін функциясы үшін у′  туындысы х уақыт мезетіндегі у функциясының өзгеру жылдамдығы деп аталады.

I – ші туындының  геометриялық мағынасы: y=f(x) функциясы үшін оның әр бір х-тің мәні үшін y′ = f′(x) туындысы сәйкес нүктедегі функция графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең болады.

 

§ 4.   Диференциалдаудың негізгі формулалары.

3 слайд.

Барлық функциялар белгілі бір аралықта анықталған және диференциалданады деп есептейік.

 

§ 5.  Күрделі функцияның туындылары.

Теорема. Егер y=f(z)  және z=φ(x) – дифференциалданатын функциялар болса, онда y = f[φ(x)] күрделі функциясының туындысы бар болады және мынаған тең:

y′_x = y′_z • z′_x     немесе

(f [φ(x)])′ = f ′[φ(x)] • φ ′(x) .  

 

§ 6.  Функция диференциалы түсінігі.

Анықтама. y = f(x) функциясының диференциалы деп функция туындысы мен оның тәуелсіз айнымалысының өсімшесіне  көбейтіндісіне тең:

              dy = f ′ (x) • Δx   .                          ( * )

                     

Дербес жағдайда, f(x) = x, бұдан dx = 1• Δx, dx = Δx

яғни, тәуелсіз айнымалының диференциалы осы айнымалының өсімшесіне тең  болады. (*) формуласын төмендегідей жазуға болады:

dy = f ′ (x) • dx       =>        f ′ (x) = dy / dx

 

Функция диференциалының  геометриялық мағынасы.

4 слайд.

y = f(x) функциясы мен оған сәйкес қисықты қарастырайық. y = f(x) қисығынан кез келген М(х, у) нүктесін алайық. Осы нүкте арқылы қисыққа жанама жүргізіп оның Ох осімен жасайтын бұрышты α деп белгілейік. Тәуелсіз айнымалыға Δх өсімшесін берейік, онда функция Δу = qm₁ өсімшесіне ие болады. х+Δх, у+Δу мәндеріне y = f(x) қисығында М₁(х+Δх, у+Δу) нүктесі сәйкес келеді.

MQN үшбұрышын қарастырайық: QN = MQ•tgα

tgα = f(x) болғандықтан (туындының геометриялық мағынасы)

MQ = Δx   =>    QN = f ΄(x) • Δx

Дифференциалдың анықтамасы бойынша f ′(x) • Δx = dy     QN = dy

Суретте көрсетілгендей NM₁ = Δу – dy тең

M₁N/NQ қатынасы  Δх→0 кезде 0-ге ұмтылады.

Сонымен, функция диференциалы жанама ординатасы өсімшесімен бейнеленеді.

 

Функция диференциалының физикалық мағынасы.

S = f(t) – түзу сызықты қозғалып келе жатқан нүктенің бастапқы күйден ара қашықтығы (t – жол жүру уақыты).

ΔS өсімшесі бұл нүктенің Δt уқыт аралығыда жүріп өткен жолы, ал ds=f ′(x) • ∆t диференциалы бұл f ′(t) жылдамдығын сақтағандағы ∆t аралығында жүріп өткен жолы. ∆t-ның жеткілікті аз шамасында dS жолы ∆S жолынан ерекшеленбейді.

Егер t уақыт мезетінде жылдамдық нолге тең болмаса, онда dS нүктенің аз ғана ығысуының жуық шамасын береді.  

 

 

 

§ 7. Функция диференциалы мен туындысының арасындағы байланыс.

Теорема 1. Егер функцияның дифференциалы бар болса, онда бұл функцияның туындысы да бар болады.

Теорема 2. Егер функцияның туындысы бар болса, онда бұл функцияныңң дифференциалы да бар болады.

 

§ 8.   Дифференциалдар кестесі.

5 слайд.

Мысалы: y = (1+x²)³ функциясының диференциалын табайық.  Берілген функция – күрделі, сондықтан да:

                 dy = y′ dx                     dy = 3(1+x²)² • 2x dx = (6x +12x³ +6x⁵)dx 

 

§ 9.   Жоғарғы ретті туындылар мен диференциалдар.

Анықтама. y=f(x) функциясының II ретті туындысы  деп оның туындысынан алынған туындыны айтамыз: y′ = f ′(x).

 

III, IV, V және т.б. ретті туындылар тура осылай анықталады.

Екінші ретті  туындының физикалық мағынасы: егер x = f(t) – нүктенің түзу сызықты қозғалысының заңы болса, онда х″ = f″ (t) – осы қозғалыстың үдеуі.

 

Мысалы: Мыны функцияның екінші ретті туындысын табыңдар: y = sin2x

               y′ = 2•cos2x                  =>           y″ = -4•sin2x

 

Анықтама. f(x)  функциясының II ретті дифереециалы деп I  ретті диференциалдың диференциалын айтамыз:

d² f(x) = d[df(x)]

III, IV, V ... ретті диференциалдар тура осылай анықталады.

Теорема. Берілген функцияның II ретті диференциалы II ретті туынды мен тәуелсіз диференциалының квадратына көбейтіндісіне тең болады:

d² f(x) = f″(x) dx² , где dx² = (dx)²

И н т е г р а л ь  н о е  е с е п т е у

§ 10.  Алғашқы образ.

Математикалық операциялар өзара қарама-қайшы әрекеттер жұбын құрайды, мысалы қосу мен азайту, көбейту мен бөлу, және т.с.с. Дифференциалдауберілген функция үшін туындысы мен дифференциалын табуға мүмкіндік береді. Дифференциалдауға кері амал - интегралдау – туындысы бойынша функцияның өзін табу.

Дифференциалдық есептеу берілген функцияның диференциалын немесе оның туындысын табуға негізделген. Интегралдық есептеу кері есепті шешеді: берілген F(x) функцииясының дифференциалы, сәйкесінше туындысы арқылы осы функцияны анықтау керек.

6 слайд.

  немесе сәйкесінше    ,

мұндағы f(x) – айқын функция, F(x) функциясын табу керек.

Ізделінді F(x) функциясы f(x) функциясына қатысты алғашқы образы деп аталады.

 

Анықтама: Берілген аралықтағы f(x) функциясының алғашқы образы деп туындысы f(x) тең немесе дифференциалы f(x)dx тең F(x) функциясын айтамыз.

7 слайд.

Теорема. Қандай да бір аралықта анықталған бір функцияның әртүрлі алғашқы образдары бір бірінен тұрақты қосылғышпен ерекшеленеді.

 

Салдар. F(x) алғашқы образына қандай да бір аралықта анықталған барлық үкін болатын С тұрақтысын қосу арқылы f(x)функциясы үшін барлық алғашқы образдарын алуға болады.

 

Бұдан F(x) + С форуласы, ұндағы где - ∞ < C < ∞, ал F(x) – f(x) функциясының алғашқы образы,  f(x) функциясының барлық алғашқы образдарының жиынын білдіреді.

Анықталмаған интеграл түсінігін енгізейік.

 

§ 11.  Анықталмаған интеграл қасиетттері. Интегралдаудың негізгі формулаларының кестесі.

8 слайд.

Анықтама: Берілген үзіліссіз f(x) функциясы үшін барлық алғашқы образдарының жиынтығы f(x) функциясының немесе f(x)dx дифференциалдық өрнегінің анықталмаған интегралы деп аталады және былай белгіленеді:

.

f(x) функциясы интеграл астындағы функция деп, ал f(x)dx интеграл астындағы өрнек деп аталады.

 

 өрнегін интеграл деп атаймыз, интеграл латынның integralis – тұтас деген сөзінен шыққан.

F(x) – f(x) функциясының алғашқы образы болсын.Осы функцияның басқа алғашқы образы келесі түрде болады

F(x)+ C,                мұндағы С – тұрақты сан.

Анықталмаған интеграл анықтамасына сәйкес:

ұндағы және С тұрақтысы кез  келген мәнді қабылдай алады, сондықтан да ол кез келген тұрақты деп аталады.

9 слайд.

Анықталмаған интеграл қасиеттері

 формуласына сүйеніп анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттерін енгізейік.

10 слайд.

1. Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл асты өрнегіне, ал туындысы интеграл асты функциясына тең болады.

    или  

 

2. Үзіліссіз дифференциалданатын функция дифференциалынан алынған анықталмаған интегралы осы функцияның өзіне тең.

Ескерту. Қатар орналасқан d және ∫ белгілері бір бірін жояды. Бұл жағдайда дифференциалдау мен интегралдау бір бірінен кері амалдар.