Философия математики, её возникновение и этапы эволюции

Пифагореизм как  направление духовной жизни существовал  на протяжении всей истории Древней  Греции, начиная с VI века до н.э. и  прошёл в своём развитии ряд этапов. Основоположником школы был Пифагор  Самосский (около 580 - 500 до н. э).

В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую ("пифагорейский  образ жизни ") и теоретическую (определённая совокупность учений). В  религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалось обрядовая сторона, затем имелось в виду создать  определённое душевное состояние и  лишь, потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались  разные варианты. По сравнению с  другими религиозными течениями  у пифагорейцев было специфическое  представления о природе и  судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в тело в наказание  за прегрешения. Высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить  в другое тело, которое якобы совершается  после смерти. Путем для достижения этой цели является выполнение определенного  морального кодекса, "пифагорейский  образ жизни". В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место  отводилось занятиям музыкой и полученными  исследованиями.

Теоретическая сторона  пифагореизма тесно связана с  практической. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство высвобождения души из круга рождений, а их результаты стремились использовать для рационального обоснования  предполагаемой доктрины. Вероятно, в  деятельности Пифагора и его ближайших  учеников научные положения были перемешены с мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта "мудрость" излагалась в качестве изречений оракула, которым  придавался скрытый смысл божественного  откровения.

Пифагор рассматривал число, количественную определённость, как сущность вещей. Основной тезис  пифагореизма состоит в том, что "всё есть число".

Согласно Аристотелю, Пифагор пришёл к понятию числа  как универсальной основы всех вещей  через изучение музыки. Он случайно обнаружил, что любое различие в  звучании определяется числовым соотношением. Велико было восхищение, вызванное  этим открытием. Однако вскоре философия  превратилась у пифагорейцев в мистику  чисел и геометрических фигур. Убежденье  в истинности того или иного убеждения  о мире достигалось сведением  его к числовой гармонии. Пифагорейцы  искали различные аналоги, числовые и геометрические соответствия в  окружающем мире, надеясь найти в  них разгадку самой природы вещей. Мысли о случайности таких  совпадений ещё не возникало.

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской  и милетской школы, то можно выявить  ряд существенных различий. Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами  как первосущность мира, то есть радикально изменилась само понимание  природы математических объектов, кроме  того, математика превращена пифагорейцами  в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И, наконец, пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее абстрактными типами элементов и  сознательно игнорируют положение  математики для решения производственных задач. Пифагор, скорее всего, пользовался  достижениями милетской школы, так  как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельности, отличающиеся от догреческой  эпохи; однако математическая деятельность этих школ носила различный характер.

Что касается природы  самой математической закономерности, истоков её обусловленной истинности, то ранние пифагорейцы, скорее всего  не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже  некоторую теорию на этот счёт.

Сочинение Платона (427-347 гг. до н. э) - уникальное явление  в отношении выделения философских  концепций. Это высоко художественное, выхватывающее описание самого процесса становления, концепций, с сомнениями и не уверенностью, подчас с безрезультатными попытками решения поставленного  вопроса, с возвратом к исходному  пункту, многочисленными повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона  какой-либо аспект и систематически изложить его довольно сложно, так  как приходится реконструировать мысли  Платона из отдельных высказываний, которые настолько динамичны, что  в процессе эволюции мысли порой  превращаются в свою противоположность.

Математические  истины для Платона врожденны, они  представляют собой впечатление  об истине самой по себе, которые  душа получила пребывая в более совершённом  мире, в мире идей. Математическое познание есть по этому просто воспоминание, оно требует ни опыта, ни наблюдения природы, а лишь ведения разума.

Математик, согласно Платону, изучает особые идеальные  сущности, в отличие от сущностей, данных в опыте, эмпирических. "Когда  геометры - говорит Платон, - пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертёж, а  на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают для четырёхугольника самого по себе и его диагонали, а  не для той диагонали, которую  они начертили". Геометрические фигуры сами по себе (в отличие от чертежей) можно видеть только "мысленным  взором".

В этих рассуждениях Платоном впервые был поставлен  вопрос о специфике объектов изучаемых  математикой, который является одним  из основных и в современной философии  математики.

Наряду с пифагорейской  философией существовала, хотя и в  недостаточно выраженной форме, другая, более реалистическая философия  математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Демокрит не допускал бесконечной делимости отрезка: по его мнению, отрезок состоит из большого числа далее неделимых частей. Данная позиция отчасти диктовалась общей установкой атомизма, но главное было в том, что допущение бесконечной делимости приводило к многочисленным парадоксам. Однако и допущение, что отрезки состоят из неделимых частей, приводило к противоречиям. В частности отсюда следовало, что неизмеримых величин не существует.

Математически атомизм  появился скорее как частная эвристическая  идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако, он неявно содержал в себе определённую антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в антологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные  по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы  были правы, возражая против превращения  математики в физику, настаивал на частоте математического метода, а так же и на идеализации бесконечной  делимости геометрических величин. Система евклидовой математики не могла  быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм, тем не менее, содержал в зародыше будущую, более  эмпирическую философию математики, которая неизбежно должна была выйти  на сцену в связи с ростом влияния  естественных наук.

Первый наиболее сильный удар по философии пифагореизма был нанесен открытием несоизмеримых  отрезков. Это подрывало не только гармонию между геометрией и арифметикой, которая была для пифагорейцев сама собой разумеющейся, но и их идеологию  в целом. В связи с кризисом пифагорейской философии математики необходимо так же упомянуть об апориях  Зенона - нескольких рассуждениях, которые  будучи (по крайней мере, по видимости) строгими, вместе с тем ставят под  сомнения некоторые очевидные факторы, в частности время и движения. Главная ошибка в этих рассуждениях в неправильном использовании понятий.

Широкая критика  пифагореизма была дана Аристотелем  в "метафизике". Хотя Аристотель - непосредственный ученик Платона, его  мировосприятие отличается от платоновского  радикальным образом.

Аристотеля можно  назвать (384 - 322 гг. до н. э)"величайшим философом древности". Основные вопросы  философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней  Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны  математического познания были подвергнуты  им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой  деятельности многих поколений математиков. Хотя вопросы методологии математического  познания не были изложены Аристотелем  в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему.

В основе философии  математики Аристотеля лежит понимание  математических знаний как отражение  объективного мира. Эта установка  сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с Платоновым идеализмом, ведь "если в явлениях чувственного мира не находится  все математическое, то каким образом  возможно, что к ним прилагаются  его свойства?" - писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в  большей степени соответствовали  потребностям математического познания, чем взгляды Платона. В свою очередь  математика была для Аристотеля одним  из источников формирования ряда разделов его философской системы.

Аристотель, скорее исследователь природы, чем умозрительный  философ. Он ценит факты и логику больше, чем любые умозрительные  представления. Наука для Аристотеля - не конструирование гармонии, но отыскание  причин явлений. Из философии Аристотель удаляет всякую примесь поэзии; его  стиль лаконичен, сух и подчинен только мысли. Основной грех пифагорейцев состоит, по Аристотелю, в том, что  они мыслят о природе, не считаясь с фактами, и искусственно приводят факты в соответствии с числами, придумывая для этого фиктивные  сущности. Математика по Аристотелю - это  не знания об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знания, отвлеченные  от вещей.

Если подвести итог тем результатам, которые предположительно были получены пифагорейцами в V веке н.э., то они выглядят довольно внушительно: создано учение о четном и нечетном, построена теория делимости и  пропорциональности чисел, закладываются  основы планиметрии, геометрические исследования распространяются на пространственные объекты; поставлена проблема иррациональности; вцелом математические зависимости  рассматриваются как относительно самостоятельный объект исследования, а не как рецепты для выполнения тех или иных прикладных вычислений; математика превращается в теоретическую  науку со своим предметом, специфическими приемами исследования и обоснования. Но при этом следует иметь в  виду, что большинство исторических источников проникнуто "тенденцией приписывать пифагорейцам многие открытия, сделанные просто в их время". Не исключено, что многое из того, что  считается пифагорейским получено их идеальными противниками. Параллельно  с пифагорейцами протекала деятельность и целого ряда других школ: эфейсской, наиболее видный представитель которой  Гераклит (около 530-470 гг. до н. э); математическая деятельность милетской школы; Элейской школы в лице Парменида и Зенона (около 450 гг. до н. э); школа греческих  материалистов-атомистов, возглавлявшаяся  Демокритом (около 460-370 гг. до н. э).

Оценивая математическую деятельность пифагорейцев, следует  иметь ввиду так же то, что наиболее значительные результаты были получены не столько путём последовательного  проведения религиозно-идеалистических  установок их мировоззрения, сколько  преодолением их. Ведь если следовать  за учителем, рассматривать его изучение как источник знаний о числах, тогда  не имело никакого смысла вести самостоятельную  исследовательскую работу; авторитарность и преклонение перед пророчествами  главы секты пересекают поиск  истины при помощи собственного мышления, откровения становятся выше разума.

Таким образом, уже  в исходном пункте своего развития теоретическая математика находится  под активным воздействием острой борьбы двух основных типов мировоззрения - материалистического по своей основе мировоззрения милетской школы  и религиозно-идеалистического мировоззрения  Пифагора и его ближайших последователей. В разных мировоззренческих системах существенно иными оказываются: понимание природы математического  знания, выбор объектов исследований, отношение к прикладным задачам, то есть личные важнейшие стороны  математической деятельности. В пределах пифагорейской школы происходит дальнейшее развитие математики, но внутренние законы математического познания здесь  вступают в противоречия с рядом  методологических установок (необходимость  научного общения - с обетом молчания, объективный поиск истины - с авторитарностью, преклонением перед изречениями  главы секты). Эволюция пифагореизма убеждает в том, что как бы искусно  не увязывались математические знания с религиозно-мистическими воззрениями, они чужды последним; прогресс математики приводит к разрыву с ними. Если же в силу конкретных исторических условий методологические положения  идеалистического характера последовательно  выдерживаются, то математическая деятельность получает одностороннюю ориентацию, что в конечном итоге отрицательно сказывается на его прогресс. Имеет место не только активное и глубокое влияние мировоззрения на развитие математического познания, но и обратное воздействие; о его силе можно судить по тем последствиям, которые оказало открытие иррациональности на всю мировоззренческую систему пифагорейцев.

Однако упадок пифагореизма в греческой философии не привёл к полному исчезновению пифагорейских  тенденций. Не признавая пифагореизма как учения о математических началах  мира, можно признавать его как  определённый метод аргументации. В  этом плане он оказал громадное влияние  на последующее развитие философской  и научной мысли вплоть до XIX века. Пифагореизм в современной науке  сохраняется как антологизация  различного вида числовых совпадений. Подавляющее большинство учёных скептически относится к числовым сопоставлениям, однако именно числовое совпадение помогло Максвеллу открыть  электромагнитную природу света. Как  можно отделить здесь зёрна от плевел и возможно ли сделать это  вообще. Древнее философское учение оказывается, таким образом, тесно  связанным с тонкими проблемами методологии современной науки.