Философия математики, её возникновение и этапы эволюции

Философия и математика от начала эпохи возрождения до конца XVII века

За тысячу лет, которую  мы называем эпохой средневековья, в  математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и  логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики так же стояла на мертвой точке: она не вышла  за рамки пифагореизма в его платонистской  и неоплатонистской интерпретации. Только в XIV - XV веках в Европе началось возрождение творческого математического  мышления в арифметике, алгебре и  геометрии. Математика стала рассматриваться  не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытно зависящее в своей структуре  от некоторых внешних реальностей. Важными результатами естественнонаучного  направления в философии эпохи  Возрождения были методы экспериментально-математического  исследования природы.

В период средневековья  считалось, что центр Земли совпадает  с центром Вселенной. Солнце, луна и звезды укреплены на прозрачных сферических оболочках и вращаются  вокруг единого центра. Коперник на основании тщательных астрономических  наблюдений и их математической обработки  сделал вывод, что Земля вращается  вокруг Солнца. Эту идею высказывали  еще древние, но никто из предшественников Коперника не мог дать ей достаточно полного математического обоснования. Математическую форму изложения  учения Коперника отличал и Джордано Бруно, который вышел за пределы  солнечной системы, представив Вселенную  как безграничную область, заполненную  бесчисленными мирами. Кеплер, на основе широкого использования математики, открывал законы движения планет. Галилей  подтвердил и развил учение Коперника. "Важно подчеркнуть, что одним  из руководящих критериев, направлявших Галилея на пути к выработке именно этой мировоззренческой концепции  была математика", - писал Кедровский О.И.

Таким образом, возникало  новое научное мышление. Созданные  в первые десятилетия XVII века работами Кеплера и Галилея фрагменты  новой науки были изолированы, поскольку  земные небесные движения рассматривались  как качественно отличные друг от друга. Отсутствовала синтезирующая  концепция, которая соединила бы законы Кеплера и Галилея. Существенную роль в решении этой задачи сыграли  работы Р. Декарта. Мир представлялся  Декарту заполненным материей пространства. Природа материи состоит в  протяженности, все свойства материальных тел сводятся к преобразованию протяженности, а все движения - к механическому  перемещению. Таким образом, природа  мироздания определяется в конечном итоге математическими и механическими характеристиками. Влияние математики при решении важных философских проблем несомненно, но оно не выражается через выявление строгих количественных закономерностей.

Декарт создал метод  координат, перебросив мостик между  алгеброй и геометрией. Алгебраические задачи теперь можно решать геометрическими  методами и наоборот. Очень важно  также было систематизирование им математических обозначений и перевод математики на современный язык. Декарт рассматривал всю математику как теорию алгебраических уравнений. Он считал всю математику универсальной, позволяющей решать математические и нематематические проблемы - "нужно лишь следовать  по тому же пути". Поворотным пунктом  математики была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движения и тем самым  диалектика и благодаря этому  же стало немедленно необходимым  дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникало и  которое было и в целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем.

Однако уже самому Декарту приходится искать не алгебраические пути при решении некоторых задач. Требовалось изменить статус алгебры  как универсального математического  метода. В силу жесткой связи между  математическим методом и общей  методологией познания, такое изменение  затрагивало основы философской  системы.

И. Ньютон синтезирует  многочисленные исследования, проведенные  его предшественниками и им самим, и создает принципиально новую  систему знаний о природе. Читая  лекцию по теории света и цветов, он на основе измерительного математического  опыта и математического расчета, делал вывод, что науку о цветах "следует почитать математической, поскольку она излагается математическим рассуждением". Ньютон в своих "Началах" впервые создал математическое естествознание о смысле математического изучения механических, физических и астрономических  явлений, исходя из единого основания. Математика, согласно Ньютону, играет очень важную роль: ее понятия являются как бы прообразами и необходимыми компонентами фундаментальных понятий  теоретического исследования. В "Началах" натурфилософские представления времени  пространства, места и движения формализуются, в них выделяется математически  точный компонент.

При решении некоторых  физических задач Ньютону приходилось  сталкиваться с проблемой проведения касательных к кривым. Им был разработан универсальный метод построения касательных - метод флюксий, являвшийся, по сути, методом нахождения производных. Создание теории флюксий Ньютона  было осуществлено в органическом единстве математических знаний философских  идей. Философские понятия выполнили  синтезирующую роль по отношению  к фактам математического знания.

Успехи, достигаемые  на пути математизации естествознания, укрепляли веру в значимости математики. Появление работ Ньютона, как  образно выразился Д.А. Граве, открыло  эпоху перехода этой веры в полное внутреннее убеждение. Из сферы умозрительных  натурфилософских рассуждений по средствам  математики и опыта выводится  обширная область явлений, которые  теперь находят более скрытое  объяснение в пределах конкретной науки. Широкое распространение получает мнение, что посредством математики и механики, которые разъяснили столь  многое, можно объяснить всё. Когда  же обнаружилась неспособность "математизированной метафизики" выполнять возложенные  на неё функции, то это послужило  одним из оснований для дискредитации  всей системы механического материализма, повода для возрождения идеалистических  и теологических позиций в  науке. Подобного рода тенденция  находит проявление в работах  Г.В. Лейбница.

Одним из приверженцев новой науки становится Лейбниц. Он предсказывает неудовлетворение механической картиной мира и делает попытку изменить её. Великой заслугой немецкого мыслителя было то, что он, хотя и в теологической форме, но подходил к принципу неразрывной (и универсальной, абсолютной) связи материи и движения.

Но Лейбниц неправ, когда дополнение количества качеством  по сути дела приводит как дополнение материального идеальным.

Тенденция дематематизации  начал бытия, проводимая Лейбницем, поскольку она была продиктована стремлением найти более глубокое объяснение явлений действительности и установить более рациональное отношение между математикой  и философией, имела прогрессивное  значение.

Независимо от Ньютона  Лейбниц так же пришёл к открытию дифференциального, а затем и  интегрального исчисления. Многие основные черты нового метода математики выступили  как конкретное преломление, примиритель  к математическому познанию определяющих характеристик его философской  методологии.

Воззрение Н. Коперника, Дж. Бруно, И. Кеплера, Г. Галилея, Р. Декарта, И. Ньютона и Г.В. Лейбница представляют основное течение формирования новой  системы взглядов на мир. Наиболее ортодоксальными  противниками этой линии были сторонники религиозно-схоластического миропонимания. Между теми и другими формировались  и эволюционировали промежуточные  направления, в большей или меньшей  мере они равнялись на математику. Однако наиболее ярко последняя проявила себя именно в сочинениях рассмотренных  выше учёных.

Успехи, достигнутые  на пути широкого применения математических средств, на пути количественного анализа  послужили поводом для распространения  последнего за рамки допустимого. Использование  математики в ряде случаев сопровождается абсолютизацией дедуцирования по сравнению  с опытным исследованием, преувеличением роли количественного подхода и  умалением значимости качественного  анализа, неправомерной подменой мировоззренческих, философских принципов положениями  математического естествознания, чрезмерное увлечение математикой в системе  философского познания делает последний  односторонним. Абсолютизация роли математики оказала отрицательное  воздействие на прогресс науки, поскольку  послужила монологическим источником возникновения на новой основе идеалистических  воззрений.

Философский анализ у мыслителей новой эпохи не охватывает столь широкого спектра проблем, как период античности, особенно в  логико-монологическом аспекте, но поставленные проблемы решаются в значительно  более многообразных формах. Предлагаемые решения не столь строго аргументированы  как в период античности, но они  посвящены более оригинальным и  продуктивным идеям. Философские проблемы математики в период античности имеют  более чётко выраженный системный  характер, так как они подверглись  тщательной логической обработке. В  данном случае зависимости между  содержанием отдельных проблем, детерминируемость одних проблем  другими носят несколько фрагментарный  характер.

Преобразование  системы философии математики античности осуществлялась как представителями  конкретной исследовательской деятельности в математике, так и представителями  философской науки, впрочем, в рассматриваемую  эпоху подчас трудно определить в  какую категорию отнести того или иного ученого. В лице Галилея  мы имеем особенно яркий пример ученого, который занимался философскими проблемами математики не столь для  решения философских или натурфилософских проблем, сколько под воздействием конкретных исследований в математике и механике. Спиноза и Гоббс  занимались анализом философских проблем  математики, преимущественно исходя из потребностей разработки системы  философского знания. В деятельности таких энциклопедистов как Декарт и Лейбниц первый путь (от математики) и второй (от системы философского знания) тесно переплетаются. Философские проблемы математики занимают промежуточное положение между системой философии, в собственном смысле этого слова, и системой математики. Это прикладная область по отношению к философии и основа системы математики. Проблематика, разрабатываемая в пределах философии математики исходя из потребностей математических исследований, несколько отличается от той, которая особенно актуальна для развития философии, но и первая и вторая проблемы требуют согласования по содержанию, представления всех их относительно единой системы. В этот период отрицательное воздействие на прогресс математики и философии оказывают как пренебрежение философским анализом математического познания, так и отождествление философских проблем математики с основоположениями философской системы. Узость конкретно научного подхода у некоторых талантливых математиков была одной из причин того, что они не смогли сделать больше, чем создать очередную разновидность частных приёмов дифференциального и интегрального исчисления. С другой стороны, абсолютизация методологической роли некоторых аспектов математического познания (например, у Декарта) создаёт препятствие, как на пути усовершенствования математического метода, так и на пути развития философских знаний.

В заключении, обозревая  историческое развитие математики от эпохи Возрождения до конца XVII века, выделим наиболее важные формы влияния  философии на эту науку.

Когда под определяющим воздействием производственных потребностей "после тёмной ночи средневековья  вдруг вновь возрождались с неожиданной  силой науки, начинающие развиваться  с чудесной быстротой", на пути их прогресса стояли мировоззренческие  установки схоластики. Процесс поиска новых знаний третировался как ненужный, теоретические построения противопоставлялись  практическим приемам и были оторваны от опытных исследований. Борьба прогрессивных  мыслителей против схоластики способствовала раскрепощению творческой инициативы в математике, соединению вычислительных и измерительных приемов с  понятным аппаратом теоретической  математики, органическому сочетанию  математических знаний с естественнонаучными.

Первые попытки  создания новых математических методов  исследований (Кеплер, Кавальери) базировались на концепции неделимых, обязанной  своим происхождением атомистическому  учению, восходящему к Демокриту. Философская мысль античности, переданная через много промежуточных звеньев, оказалась продуктивной основой  математического творчества в новую  эпоху.

Реформа алгебры, проведенная  Декартом, осуществлялась как один из основных этапов построения его  философской методологии. Введение символических обозначений, методика сведения всякой проблемы к математической задаче, решение последнее как  составление уравнений и нахождение их корней обосновывается исходя из общих  представлений о процессе познания.

Создание теории флюксий Ньютона осуществляется в органическом единстве математических знаний и философских идей. Философские  понятия выполняют синтезирующую  роль по отношению к фактам математического  познания, соотношение между этими  понятиями переносятся на соответствующий  понятийный аппарат дифференциального  и интегрального исчисления, они  используются в процессе обоснования  последнего.

Неудовлетворённость сложившимися средствами решения математических задач и стремление создать новый  общий метод математики у Лейбница обусловлены методологическими  соображениями. Многие основные черты  нового метода математики (дифференциального  исчисления) выступают как конкретное преломление применительно к  математическому познанию определяющих характеристик его философской методологии. Обоснование анализа проводится преимущественно метафизическими рассуждениями.