Философия математики, её возникновение и этапы эволюции

Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления её мировоззренческой  и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем  математики. Такого рода исследования в анализируемый период выступают  как одно из важнейших направлений  философского познания.

Философия и математика в эпоху просвещения

"География"  эпохи Просвещения весьма обширна.  Философское познание и математическая  деятельность активно развиваются  в странах Западной Европы, в  России, на Американском континенте.

Логическая противоречивость оснований анализа, несогласованность  между его идейным содержанием  и вычислительным аппаратом делали его уязвимым для критики. Этим не замедлили воспользоваться те представители  идеалистической философии, которые  хотели дискредитировать математику, развитие которой осуществлялось преимущественно  на материалистической основе. Наиболее видным философом такого типа является Дж. Беркли (1685-1753 гг.).

В своей основной работе - "трактат о началах  человеческого знания, в котором  исследуются главные причины  заблуждений и трудности наук, а так же основания скептицизма, атеизма и безверия" - Дж. Беркли объявляет причиной всех указанных  в заглавии зол материализм и  основную задачу работы видит в опровержении фундаментального понятия материалистического  мировоззрения - понятие материи. Чтобы  разорвать связь математики с  материализмом, Беркли стремится максимально  привязать её чувственно воспринимаемым образом, дать ей субъективистскую трактовку, а всё что не поддаётся такой  трансформации, удалить, ссылаясь на практическую бесполезность и умозрительность. Поэтому Беркли отрицал бесконечное  в форме бесконечной делимости  конечного, и в форме бесконечно малых и больших величин. Английский философ представляет математику как  науку об идеях, получаемых от ощущений. Её объекты - это знаки, обозначающие комплексы идей. Беркли пытается изменить не только "внутреннюю жизнь" математики, но и применимость её в других науках. Беркли выдвигает свою концепцию  математики как логическое следствие  субъективно-идеалистической философии, и тот факт, что эта концепция  оказалась регрессивной, свидетельствует  о порочности той философской  основы, на которой она воздвигнута. Беркли в угоду своей философской  доктрине деформирует процесс научного познания в той степени, что прогресс его становится не возможен. Его  учение об идеях явилось переходной ступенью к возникновению агностицизма в форме юмизма. Последующее развитие математики не оправдало надежды  Беркли.

В том, что английская математика сумела сохранить материалистическую платформу развития своей науки, несмотря на столь активные нападки  субъективного идеализма, существенную роль сыграло наличие сильных  материалистических традиций в английской философии.

Среди английских философов - материалистов конца XVII -первой половины XVIII веков, особого внимания заслуживают  воззрения Джонам Толанда (1670-1722), который  уделял много внимания анализу таких  понятий как материя, движение, пространство, время, анализировал связь математического  познания с физическим и философским.

Толанд настаивает на необходимости разграничения "между  пространственным движением и движущей силой, или активностью, либо пространственное движение есть только перемена в положении  тела". В данном случае английский материалист выходит за границы  механического понимания движения, свойственного философии XVII - XVIII веков и приближается к диалектическому взгляду, согласно которому "движение, в применении к материи - это изменение вообще".

Историческая заслуга  Толанда состоит в выдвижении и обосновании положения о  том, что "движение есть существенное свойство материи… Столь же неотделимая  от ее природы, столь не отделимы от нее непроницаемость и протяжение". Толанд заложил основы для нового понимания природы математического  познания. В его сочинениях можно  встретить немало интересных высказываний, относящихся к логико-гносеологическому  анализу математики. Толанд указывал, что содержание математических понятий  берется из реально существующего  мира. Нельзя не согласиться с замечанием Толанда, что различие между математическим и реальным объектами постоянно  надо иметь ввиду при пользовании  метода математической дедукции.

Видным представителем философской мысли континентальной  Европы, деятельность которого тесно  связана с математическим познанием, в рассматриваемый период был  Христиан Вольф (1679-1754).

Идеалом научной  системы у Вольфа выступает математика: во-первых, в силу "несравненно  хорошего порядка, коим содержащееся в  ней учение предназначается и  утверждается", во-вторых, потому что  ее знания "как в истинном познании естества, так и в человеческой жизни весьма много приносят пользы. Под методом математики он понимает "порядок, который математики употребляют", когда изложения своих знаний начинают с определений, аксиом, затем  переходят к теоремам, проблемам, примечаниям т.д. Вольф все подвергает рассудочной обработке, классифицирует, определяет, дедуцирует. Просветительская деятельность Вольфа, её стремление к  ясному, точному, доступному изложению  знаний имели в определённой мере положительное значение. Способ изложения  математики в его системе абсолютизирован  до предела и это оказало регрессивное влияние, как на развитие философии, так и на развитие математики.

Необоснованное  стремление представить математический способ построения системы науки  как универсальное средство постижения истины, в конечном итоге, привело  к подрыву авторитета математики, к дискриминации процесса математизации  научного познания.

В пределах самой  математики точная и педантически скучная  схема изложения в лучшем случае могла служить для представления  начальных сведений по элементарной математике, но она сковывала самостоятельную  исследовательскую деятельность и  в наиболее интенсивно развивавшейся  области - области математического  анализа - её не придерживались.

Следует отметить так  же деятельность Петербургской академии наук. Иностранные учёные оказали  ей существенную поддержку, но стремительный  прогресс смог иметь место, прежде всего  потому, что для этого были созданы  необходимые условия, русская наука  выдвинула своих талантливых  исследователей. Наиболее видными из них является М.В. Ломоносов (1711 - 1765).

М.В. Ломоносов был  хорошо знаком с математикой того времени. Из высказываний видно, что  он очень высоко оценивал математику как средство познания логически  строгих и всеобщих истин. Математический метод рассматривался учёным не только как способ упорядоченья знаний, ему  отводилась роль важного эвристического средства по отношению к другим наукам, его исследования во многих областях науки основывались на количественном анализе.

Если сравнить воззрение  М.В. Ломоносова на природу математики с третированием этой науки у  Беркли или с догматическим наложением математической схемы на чуждое ей содержание у Х. Вольфа, то нужно  признать, что великий русский  учёный придерживался значительно  более продуктивной методологической основы математической деятельности и в этом отношении может быть отнесён к наиболее прогрессивным мыслителям мирового масштаба первой половины XVIII века.

Философия Франции  в XVIII веке представлена многочисленной плеядой выдающихся мыслителей. Одним  из которых является Ж.А. Кондорсе, который  рассматривает основные исторические этапы математического познания в связи с общим развитием  материальной и духовной культуры человечества.

Кондорсе в схематической  форме отличил наиболее существенные этапы эволюции математической мысли. Основную ценность составляют не столько  приводимые факты, сколько попытки  объяснить их. Кондорсе считает, что  математика возникла лишь на определённом этапе развития человеческой культуры и развивалась поступательно. Это  положение разделяет с ним  и Гельвеций: "Представления о  числах … так поразительно ограничены у некоторых народов, что они  не умеют считать дальше трех, и  выражают число больше трёх, словом много". Возникновение исходных геометрических и арифметических знаний Кондорсе связывает  с необходимостью удовлетворения производственных потребностей. Идея определяющего воздействия  производственной деятельности на процесс  научного познания в общем виде формируется  у Кондорсе довольно чётко. Интересна  его попытка выявить в процессе прогрессирующего развития знаний тенденции  и закономерности как качественного, так и количественного характера. Мерилом прогресса некоторой  науки у него выступает "сумма  заключающихся в ней истин". Важная роль в ускорении прогресса  математики отводится Кондорсе усилению взаимодействия её отдельных дисциплин. Обобщая пройденный научным познанием  путь, Кондорсе приходит к выводу, что  ни одна наука не может спуститься ниже той ступени, на которую она  возведена.

Существенно иного  мнения, чем Кондорсе придерживался  Руссо и особенно Дидро. Последний  считал: "По той склонности умов к  морали, к литературе, к истории  природы, к опытной физике, которая  замечается в настоящее время, я  почти с уверенностью скажу, что  не пройдёт и ста лет, как в  Европе нельзя будет насчитать и  трёх великих геометров".

Французские мыслители  подчеркивали связь даже наиболее абстрактных  математических построений с чувственно воспринимаемой действительностью. Общий  характер понятия пространства и  тесная связь его с существованием неоднократно приводили в истории  философии к представлении о  нём как о какой-то сущности. Подобного  рода трактовки, по мнению Гельвеция, являются злоупотреблением словами. Так слово "величина" даёт ясные, реальные идеи лишь в тот момент, когда его  применяют к определённому предмету. И Гельвеций и Дидро подчёркивали, что научное мышление имеет объективное  предметное содержание. Их позиция  в данном случае противоположна позициям субъективного идеализма.

Одновременно с  интенсивным развитием материалистических философских школ происходила и  эволюция идеалистических философий, некоторые представители которой  много внимания уделяли математике. Одним из них является Давид Юм. Он интересен тем, что дает последовательное развертывание принципов своей  философии применительно к математическому  познанию. Юм остриё критики направил против материализма в познании.

Сравнивая взгляды  Юма на природу математического  познания с воззрениями французских  материалистов, нетрудно установить принципиальные различия между ними по многим фундаментальным  вопросам. Материализм и субъективный идеализм как бы предлагали разные платформы для математической деятельности, являющиеся следствиями и их общих  философских принципов.

Среди замечательной  плеяды математиков рассматриваемого периода можно выделить трех ученых: Л. Эйлера, Ж. Д' Аламбера и Ж.Л. Лагранжа.

Л. Эйлер сделал первые степенные открытия почти  во всех областях современной ему  математики, заложил фундамент устного  ряда новых направлений исследований. Являясь, прежде всего представителем русской науки, он оказал исключительно сильное влияние на всех наиболее видных математиков XVIII столетия.

Одной из определяющих черт творчества ученого является глубокая и органическая связь его математических изысканий с потребностями естественных наук и техники. Разрабатывая математические теории, Эйлер был убежден, что  он тем самым выявляет объективно существующие закономерности материального  мира, а не субъективные связи между  восприятиями. Математика была для  него критерием оценки данных ощущений. Эйлер, отвергая идеалистические утверждения, обращается к здравому смыслу. Материалистическая основа научной деятельности была им глубоко продумана, о чем свидетельствует  критическое отношение ученого  к узкому материалистическому эмпиризму. Эйлер подчеркивает выдающуюся роль в научном познании гипотез и  абстрактных понятийных построений. Разработка формального аппарата математической теории сочетается у него с содержательным анализом ее фундаментальных понятий. Усовершенствуя математические понятия, Эйлер обращает внимание на сам механизм формирования понятий. Он примыкает  к Ньютоновскому пониманию предела  как такого значения, которое переменная все-таки достигает. Математические исследования ученого способствовали научному прогрессу, торжеству научного знания над невежеством  и религиозным фанатизмом. Однако сам Эйлер, в отличие от французских  мыслителей не только не выступал активно  против религии, но даже пытался защитить ее.

Ж. Д' Аламбер (1717-1783) известен как выдающийся математик, сделавший ряд важных открытий. Его  творчество представляет одну из наиболее ярких иллюстраций органической взаимосвязи философских и математических знаний. Разработка проекта новой  системы математического образования  и проблема обоснования математического  анализа получили особенно яркую  своеобразную трактовку в деятельности Даламбера.

Жозеф-Луи Лагранж (1736-1813) принадлежит к числу наиболее великих математиков XVIII столетия, уступая  лишь Эйлеру по многогранности математического  творчества и разнообразию решенных задач. Аналогом его математических и механических конструкций могут  служить развитые в ту эпоху философские, философско-исторические и иные идеологические системы. Конечно, работам Лагранжа по аналитической механике, теории функций, алгебре, теории чисел свойственна  более высокая степень абстрактности  и общности, чем его предшественникам. Движение познания к более высоким  уровням абстрагирования, прогрессирующая  формализация вполне закономерны. Можно  согласиться, что у этого ученого  и его последователей имеет место  некоторое увлечение вновь разработанными формальными построениями, в определенной мере даже абсолютизация их значимости при решении отдельных задач, но это не снимает того, что Лагранж  является ярко выраженным представителем механистического материализма XVIII века. Лагранж не ограничивается только составлением предельно общих дифференциальных уравнений механики, но постоянно  стремится довести решение задач  этой науки до результатов, сравнимых  с материалом наблюдений и экспериментов. Механика у Лагранжа стала общей  наукой о движении материальных систем.

Подведем итоги  проведенного анализа развития философии  и математики в эпоху Просвещения.

Главным направлением математической деятельности в первые десятилетия XVIII было овладение приемами дифференциального и интегрального  исчисления и широкое использование  их для решения геометрических, механических, астрономических и оптических задач. Со стороны математиков наблюдается  падение интереса к философии. Объясняется  это, по-видимому, тем, что математика перешла на эволюционный этап развития, предшествующая метафизика исчерпала  в значительной степени свои возможности  по отношению к математике. По своему характеру математика является несколько более удаленной от философского знания, связь с философией становится опосредованной через фундаментальные принципы и понятия анализа, которые как бы насыщенны необходимыми философскими идеями. Математика и другие конкретные науки как бы "отлеживали себе самостоятельные области".