Исследование функций и построение графиков

Федеральное агентство  по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

Исследование функций  и построение графиков

Индивидуальные  задания

 

 

 

 

Пособие разработано ст. преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией  кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

 

Пермь 2007

План исследования функции

 

1. Найти область определения функции.

 

Определение. Областью определения функции называется совокупность всех значений независимой переменной , для которых функция определена.

 

2. Определить является функция четной, нечетной или общего вида.

 

Определение. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняется условие и , называется нечетной, если выполняется условие и .

График четной функции симметричен относительно оси  , график нечетной – относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то исследование можно провести только для и при построении графика воспользоваться его симметричностью.

 

 

3. Определить является ли функция периодической.

 

 Определение. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что для и . При этом число называется периодом функции.

Наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству , является основным периодом функции.

Если функция периодическая, то исследование проводится на любом  интервале, длина которого совпадает  с основным периодом функции.

 

4. Определить координаты точек пересечения графика с осями координат, определить интервалы знакопостоянства функции.
5. Найти наклонные (в т.ч. горизонтальные) асимптоты и вертикальные асимптоты графика функции.

 

Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции , если или , где - точка разрыва или граничная точка области определения функций.

 

Прямая  является горизонтальной асимптотой графика функции , если существует предел .

 

Прямая  является наклонной асимптотой графика функции , если существуют пределы и .

 

При нахождении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.

 

6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания (убывания) функции.

 

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной  .

 

Достаточные условия возрастания (убывания) функции. Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на .

 

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая d-окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , ( ).

 

Максимум  и минимум функции называется экстремумом функции. Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения функции и в которых первая производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

 

Достаточные условия экстремума

 

I Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой d - окрестности точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума, с минуса на плюс, то - точка минимума.

 

II Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная существует и отлична от нуля , то в точке функция имеет экстремум. Если - максимум, если - минимум.

 

 

7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции.

 

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен выше (ниже) любой ее касательной на этом интервале.

 

Теорема. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную , то график функции в этом интервале выпуклый. Если же - график вогнутый.

Точка графика  непрерывной функции  , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, является точкой перегиба.

 

Достаточное условие существования точек  перегиба. Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

 

 

Результаты  проведенного исследования функции  рекомендуется свести в таблицу, в первой строке которой указываются все значения , выделенные в результате исследования, как самой функции , так и ее производных и , а также интервалы, на которые данными точками разбивается область определения. Во второй строке указываются значения функции на каждом из выделенных интервалов. В третьей строке выделяются критические точки функции и указывается знак первой производной на каждом интервале. В четвертой строке – знак второй производной на каждом интервале. В последней строке по знакам определяется характер монотонности функции, по знакам выпуклость (вогнутость) графика функции, а также определяется характер выделенных точек (точки максимума, точки минимума, точки перегиба).

Построение  графика функции рекомендуется  начать с обозначения на координатной плоскости точек, выделенных в таблице и построения асимптот (если они есть). Для более точного построения можно вычислить значения функции в дополнительных точках.

 

 

 

 

Приведем  примеры полного исследования функции:

 

Пример 1:  

1. Область определения:

 

2.

 функция нечетная.

3. Функция не является периодической.

 

-нули функции.

 

 

5. Функция непрерывна на всей области определения, поэтому вертикальных асимптот нет.

Прямая  является наклонной асимптотой графика функции.

 

6. Найдем первую производную:

 

 при ,

не существуют при  , ,

  

 

 

Используя достаточные условия экстремума, получаем, что - точка минимума, -точка максимума.

 

7. Найдем вторую производную:

 

 не существует при 

 

 

В точках , , - перегиб графика.

 

Составим таблицу:

 

				-1	(-1;0)
	-	0	+		+
	+		+		-
	+		-		-
		перегиб		max

 

Продолжение таблицы

	0	(0;1)	1
	0	-	-	-	0	+
		-		+		+
		+		+		-
			min		перегиб

 

Строим график функции (рис.1).

Рис.1

 

 

Пример 2: 

1. Область определения:

 

2.

 функция четная. Дальнейшее исследование проведем для .

3. Функция  не является периодической.

 

4. при

 

 

 

 

5. Поскольку  и - точки разрыва

и , 

 

, ,

то  и - вертикальные асимптоты.

- горизонтальная асимптота.

 

6. Найдем первую  производную:

 при 

не существует при  .

  

 

 

- точка максимума.

 

7. Найдем вторую  производную:

 при 

 не существует при 

 

 

 

Т.к. при  функция не определена, то точек перегиба нет.

 

Составим  таблицу:

 

	0	(0;2)	2
	0	-	Не существует	+
		-		-
		-		+
	max		Вертикальная  асимптота

 

Строим график функции для  , затем на интервале строим линию, симметричную относительно оси (рис.2).

 

 

Рис.2

 

 

 

 

Пример 3: 

1. Область определения:

Функция определена для всех , для которых ,

т.е. .

 

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

 

3.   при 

- основной период, основной промежуток  .

 

4. при .

Промежутку  принадлежат точки .

 

 

 

5. В промежутке одна точка разрыва , в остальных точках функция непрерывна.

,  .

Прямая  - вертикальная асимптота.

Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

 

6. Найдем первую  производную:

 при  ,

 не существует при  .

 

 

 

Cледовательно, точек экстремума нет.

 

7. Найдем вторую производную:

, если  ,

т.е.

Из этого  множества промежутку принадлежит точка .

   не существует при  .

 

 

 

 

 

Составим  таблицу:

	0
	0	+		+		-	0
		+		+		+
		-		+		-
			перегиб		вертикальная асимптота