Исследование функций и построение графиков

Вариант 15

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Требуется установить палатку данного  объема V, имеющего форму прямого кругового конуса. Найти отношение высоты конуса к радиусу его основания, при котором на палатку уйдет наименьшее колличество материала.

Вариант 16

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Энергия, затрачиваемая на движение теплохола, пропорциональна кубу его скорости, развиваемой двигателем в стоячей воде. Найти наиболее экономичную скорость движения теплоходаесли требуется пройти определенное расстояние l против течения, скорость которого составляет 6 км/ч.

Вариант 17

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Требуется изготовить из жести ведро  данного объема цилиндрической формы без крышки. Найти высоту цилиндра и радиус его основания, при котором на ведро уйдет наименьшее колличество материала.

Вариант 18

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Дождевая капля, начальная масса  которой равна  , падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен k). Найти, через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей. При решении задачи сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 19

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в эллипс с осями 2a и 2b.

Вариант 20

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала сопротивление на изгиб? (Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины ее поперечного сечения на квадрат ее высоты: , ).

Вариант 21

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен 300 см. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее колличество света?

Вариант 22

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Через какую точку эллипса следует провести касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой касательной и осями координат, была наименьшей?

Вариант 23

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг своей высоты, был наибольшиv?

Вариант 24

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?

Вариант 25

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Из круга вырезан сектор с  центральным углом  . Из сектора свернута коническая поверхность. При каком значении угла объем полученного конуса будет наибольшим?

Вариант 26

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см, причем, стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Вариант 27

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Кровельщик желает сделать открытый желоб наибольшей вместимости, у которого дно и бока были бы по 10 см и бока были бы одинаково наклонены ко дну. Какова должна быть ширина желоба наверху?

Вариант 28

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Требуется построить котел, состоящий  из цилиндра, завершенного полусферами, со стенками постоянной толщины так, чтобы при данном объеме V он имел наименьшую наружную поверхность.

Вариант 29

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

На параболе найти точку, ближайшую к точке (3;0).