Исследование функций и построение графиков

Вариант 1

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

На странице книги напечатанный текст (вместе с промежутками) должен занимать 216 см². Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, а правое и левое по 2 см. Каковы должны быть размеры страницы, для того чтобы ее площадь была наименьшей?

Вариант 2

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Пренебрегая сопротивлением воздуха, в первом приближении можно считать, что движение вертикально запущенной метеорологической ракеты происходит по закону , где - начальная скорость, . Определите, какую надо придать ракете начальную скорость , для того чтобы она поднялась на высоту 200 м.

Вариант 3

1.

Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

В точках A и B находятся источники света, силы соответственно F₁ и F₂. На отрезке AB равном a найти наименее освещенную точку M (освещенность точки обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от источника света: , ).

Вариант 4

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Полоса жести шириной а должна быть согнута в виде открытого желоба так, чтобы поперечное сечение желоба имело форму кругового сегмента. Каким должен быть центральный угол, опирающийся на этот сегмент, для того чтобы вместимость желоба была наибольшей?

Вариант 5

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Через точку А(3; 5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы площадь треугольника, образованного ею с осями координат, была наименьшей.

Вариант 6

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Сосуд,  состоящий из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой, должен вмещать 18 литров воды. Найти размеры сосуда, при которых на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

Вариант 7

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

Вариант 8

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

Вариант 9

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Найти радиус основания и высоту цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, который можно вписать в шар радиуса R.

Вариант 10

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который  можно вписать в шар радиуса R.

Вариант 11

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Каковы должны быть коэффициенты p и q трехчлена , чтобы этот трехчлен при имел минимум, равный 1?

Вариант 12

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Лампа висит над центром круглого стола радиусом r. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна квадрату расстояния от источника где ).

Вариант 13

1.

Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Через точку А(2; 1) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на осях координат, была наименьшей.

Вариант 14

1.

Провести полное исследование функций  методами дифференциального исчисления и построить графики:

а)

б)

в)

2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

3.

Решить задачу:

Проволокой длиной 20 м требуется огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора. Какой следует взять радиус круга, чтобы площадь клумбы была наибольшей?