Экспертные методы принятия решений

Станки Критерии   K1 K2 K3 Al 5 1 50 A2 10 1,5 40 A3 2 1,5 90 A4 1 1 100 A5 6 . 3 100 A6 16 3,5 50

      На  предварительном этапе отобрана группа оборудования, состоящая из 6 станков Y = {A_l, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆}. На основании исходных данных строим матрицу вариантов (табл. 7.2).

      На  основании данных, приведенных в табл.7.2, сформируем “идеальный объект” по указанным критериям со значениями,  равными максимальным значениям показателей, полезность по которым возрастает, и минимальным, полезность по которым убывает. Таким образом, получаем “идеальный объект” А⁺, вектор значений которых составлен следующим образом:

А⁺ Ì {

, , }.

      Или, переходя к конкретным значениям критериев, получим:

  А⁺ Ì {1;  3,5;  40},

                             минимальная стоимость;

                            максимальная надежность;

                            минимальное время  выполнения операции.

Кроме идеального объект сформулируем также модель “наихудшего объекта”:

     А^- Ì {16;  1; 100}

                             максимальная стоимость;

                            минимальная надежность;

                            максимальное время  выполнения операции.

      Для сопоставления значений критериев  необходимо перейти к 
нормированным единицам, так как критерии разнородные, преобразовав их значения по формуле

α_j = (K⁺ - K_j)/(K⁺ - K^-)

где K_j - текущее значение критерия сравниваемого объекта.

      Тогда,  переходя  к относительным  значениям критериев,  получим следующую  матрицу  

Матрица вариантов в относительных единицах

Станки Критерии   K1 K2 K3 Al 0,27 1 0,17 A2 0,6 0,8 0 A3 0,07 0,8 0,83 A4 0 1 1 A5 0,33 0,2 1 A6 1 0 0,17

      Значения  критерия в относительных единицах d_j интерпретируются как расстояние j-гo объекта по критерию К_j, от идеального объекта. Идеальный объект имеет расстояние d_j = 0, а наихудший - d_j = 1.

      Если  критерии имеют разную степень важности, то необходимо задать относительную важность критериев в виде весов (W₁,W₂, ..., W_n). Пусть в нашем случае W₁ = 6, W₂ = 6, W₃ = 2 (сумма весов не обязательно должна быть равна 1). Задание такого вектора весов критериев показывает, что наиболее предпочтительны станки с меньшим временем  выполнения операций  и большей  надежностью.

      Для выявления не наилучших объектов найдем свертки (расстояния до идеального объекта), используя следующую обобщенную метрику:

L^p =

где p - степень концентрации,  позволяющая переходить к различным  метрикам.  Например:

      1. Для  р =  1   L¹ =

имеем взвешенную метрику. И чем больше значение метрики L, тем  ближе объект находится к идеальному

      2. При р = 2 получаем функцию L — Евклидова расстояния

      3. Для р = ∞  имеем минимаксные стратегии выбора:

L =

      Таким образом, присваивая р - разные значения, получаем различные принципы предпочтения.

      Вычислим  для наших объектов {A_l, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆} разные метрики, соответствующие различным стратегиям выбора, и значения запишем в таблицу 7.4.

      Таблица1.4

Матрица расстояний различных стратегий

Степень концентрации (р)	Значения  меры расстояния
	L(A1)	L(A2)	L(A3)	L(A4)	L(A5)	L(A6)
p=1	5,9	5,6	7,1	6	8,8	7,6
p=2	4,7	3,3	5,7	6	6,3	6,2
p=3	4,4	2,8	5.6	6	5,5	6,1
p=5	4,4	2,5	5,6	6	5,1	6,1
p=8	4,4	2,4	5,6	6	4,9	6,1

 

Чем больше значение L, тем ближе объект A_i к идеальному A⁺.

      Вычисляя  интегральный критерий для различных значений степени концентрации (используя разные метрики), получим следующие ранжировки предпочтений по L:

      Для р=1  А₅>А₆>А₃>А₄>А₁>А₂;

      Для р=2  A₅>A₆>A₄>A₃>A_l>A₂;

      Для р=3  А₆>А₄>А₃>А₅>А₁>А₂;

      Для p=5   A₆>A₄>A₃>A₅>A_l>A_2;

      Для p = 8  A₆>A₄>A₃>A₅>A_l>A₂.

      Не  наилучшие решения – это те, которые всегда не доминируют, т.е. это альтернативы решения А1 и А2 (наименее предпочтительные).  Исключаем их из рассмотрения, получая сокращенное исходное множество альтернатив в виде {A₃, A₄, A₅, A₆}. Для них опять строится идеальный А⁺= {1; 3,5; 50}и наихудший А^- = {16;  1; 100} объекты, и процедура повторяется до тих пор, пока не выявится один доминирующий объект или не станут ясны предпочтения ЛПР.

 

где

 

параметр    характеризует  включение   i-й   составляющей  в Е;  - коэффициент, указывающий на нечеткость параметров формулируемой модели.

      Рассмотрим  некоторые методы решения задач.

      Пример 2. Решение задачи лексикографическим методом.

 Рассмотрим  решение предыдущего примера 1 лексикографическим методом с использованием степени важности критериев. Решение продолжаем, начиная с этапа формирования степени важности критериям. Пусть важность критериев задана следующими весами:

W₁ = W(K₁) = 0,6;

W₂ = W(K₂) = 0,4;

W₃ = W(K₃) = 0,2.

      Напомним  физический смысл критериев:

      K₁ — среднее время выполнения операции  (с);

      K₂ — надежность наработки на отказ (тыс. ч);

      K₃ — стоимость станка  (тыс. руб.).

      Решение проводится последовательным ранжированием  объектов по критериям, начиная с самого важного. Ранжируя объекты по наиболее важному критерию K₁ (для которого W₁ = 0,6), исходя из того, что предпочтительнее альтернативы, которые имеют минимальное время выполнения операций, получим:

Y₄ >Y₃ >Y₁ >Y₅ >Y₂ >Y₆.

      Два последних варианта Y₂,Y₆ характеризуют не наилучшие с точки зрения данного критерия (время операций) решения, и поэтому ими  можно пренебречь. Тем самым набор альтернатив сужается до

Y₄,Y₃,Y₁,Y₅

      Полученный  набор ранжируется по критерию К₂, имеющему вторую по значению степень важности (W₂ = 0,4). Проведем ранжировку и получаем следующую последовательность предпочтений:

Y₅ >Y₃ >Y_l ~Y₄.

      Ранжируя  этот же набор по критерию К₃ (стоимости) получим

Y_l >Y₃ >Y₄ ~Y₅.

      По  критерию К₂ имеем наилучшее решение Y₅, а по критерию К₃ 
наилучшим будет вариант Y_l. Таким образом,  необходим выбор между объектами Y_l или Y_5. Так как стоимость объекта Y₅ выше (хуже), чем у Y_l, а лучшие значения имеет критерий К₂ (важность критерия К₂ выше, чем К₃), то наилучшим при данных значениях исходных данных считаем объект Y₅.

      Пример 3. Решение задачи методом медианы.

      1. Дана таблица ранжировок для 3 ситуаций и 3 решений, где множество ситуаций S составляет S = {S₁, S₂, S₃}, а множество решений  Y есть Y = {Y₁,Y₂,Y₃}. Значения предпочтений приведены в табл.  1.5.

      Таблица 1.5

Матрица предпочтений

Решения Ситуации S1 S2 S3 Y1 1 2 2 Y2 2 3 2 Y3 2 1 1

2. По каждой  ситуации S₁ строится матрица парных сравнений (табл. 1.6). 
 
 
 
 

Таблица 1.6

Матрицы парных сравнений