Контрольная работа по "Математическая статистика"

Оглавление

Задача 1 3

Задача 2 7

Задача 3 13

Задача 4 15

Задача 5 24

Задача 6 27

 

 

 

Задача 1

 

Из генеральной совокупности , распределенной по нормальному закону, извлечена выборка. Требуется:

       1. Составить  вариационный, статистический и  выборочный ряды распределения; найти размах выборки;

По полученному распределению  выборки:

2. Построить полигон относительных  частот;

3. Построить график эмпирической  функции распределения;

4. Вычислить выборочную  среднюю, выборочную дисперсию,  выборочное исправленное среднее  квадратическое отклонение, моду и медиану;

5. С надежностью  найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

1.10.

13	11	12	9	12	12	10	12
15	11	13	14	13	11	11	12
13	11	12	11	10	14	12	10
9	10	12	15	9	13	11	13
12	12	14	11	10	14	12	12

 

Решение

Составим  вариационный  ряд. Напомним,  что  вариационным  рядом называется  последовательность  наблюдаемых  значений  признака , расположенных в неубывающем порядке , ,…, , где … . Следовательно, в нашей задаче вариационный ряд запишется так (по столбцам):

 

 

9	11	12	12	13
9	11	12	12	13
9	11	12	12	14
10	11	12	12	14
10	11	12	13	14
10	11	12	13	14
10	11	12	13	15
10	11	12	13	15

 

Составим  статистический  ряд  распределения  данной  нам  выборки

	9	10	11	12	13	14	15
	3	5	8	12	6	4	2

- варианты, - частоты.

Найдем объем выборки 

.

Относительная частота  вычисляется  по формуле  .

        Запишем  выборочный ряд распределения

	9	10	11	12	13	14	15

  .

Размах выборки  , т.е.  в нашем случае  .

Построим полигон относительных  частот

Вычислим выборочную среднюю

=11,825.

Построим график эмпирической функции распределения где       ( число вариант, меньших, чем  значение аргумента  ).

Вычислим выборочную дисперсию , где в нашем случае = ( )=142,175

.

Найдем выборочное среднее  квадратическое отклонение

Вычислим "исправленную" дисперсию  , которая выражается формулой

(в нашем случае     )

и "исправленное" среднее  квадратическое отклонение .

Модой  называется варианта с наибольшей частотой, т.е. в нашей задаче . Медиана - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант, т.е. в нашей задаче .

Найдем с надежностью g=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Так как по условию задачи генеральная совокупность x распределена по нормальному закону и объем выборки равен n=40, то искомый доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид

,

где  - среднее квадратическое отклонение, а величина t определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

Следовательно, в нашем  случае последнее равенство принимает  вид  . Из этого равенства по таблице значений интегральной функции Лапласа находим значение t=1,96. Величина  была найдена ранее: и .

Вычислим  .

Учитывая, что  , доверительный интервал для оценки математического ожидания запишется  или, окончательно, .

Доверительный интервал для  среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины находится по формуле , где s - "исправленное" среднее квадратическое отклонение, а d находится по формуле , где величина q определяется по специальной таблице значений функции .

Найдем  для нашей конкретной задачи:

q=q(0,95;40)=0,24;   d=sq=1,511×0,24=0,36264. Следовательно, или окончательно .

На этом решение задачи 1 закончено.

Задача 2

 

Для выборки, извлеченной  из генеральной совокупности и представленной интервальным рядом (в первой строке указаны интервалы значений исследуемого количественного признака генеральной совокупности; во второй – частоты , т.е. количество элементов выборки, значения признака которых принадлежат указанному интервалу). Требуется:

1) Построить полигон относительных  накопленных частот (кумулятивную  кривую);

2) Построить гистограмму  частот и гистограмму относительных  частот;

3) Найти выборочную среднюю,  выборочную дисперсию, моду и  медиану;

4) Проверить на уровне  значимости  гипотезу о нормальном распределении признака генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона;

5) В случае согласованности  с нормальным распределением  найти с надежностью доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака генеральной совокупности.

2.10.

	0,6-0,9	0,9-1,2	1,2-1,5	1,5-1,8	1,8-2,1	2,1-2,4	2,4-2,7
	9	45	130	175	125	30	5

 

Замечание: При отыскании  выборочной средней и выборочной дисперсии в задачах 2.5. и 2.6. для  упрощения счета рекомендуется  переходить к условным вариантам.

Решение

.

В нашем случае n=519.Тогда  на основе данной таблицы построим интервальный статистический и интервальный выборочный ряды распределения, сведенные в одну таблицу.

i	1	2	3	4	5	6	7
	0,6-0,9	0,9-1,2	1,2-1,5	1,5-1,8	1,8-2,1	2,1-2,4	2,4-2,7
	0,75	1,05	1,35	1,65	1,95	2,25	2,55
	9	45	130	175	125	30	5
	0,017341	0,086705	0,250482	0,337187	0,240848	0,057803	0,009634
	0,017341	0,104046	0,354528	0,691715	0,932563	0,990366	1

 

Построим полигон относительных  накопленных частот (кумулятивную кривую);

Построим гистограмму частот.

В нашем случае исследуемый  признак X может принимать значения на отрезке [0,6;2,7]. Интервальная группировка выполнена таким образом, что длина каждого интервала равна h=2. Площадь прямоугольника, построенного на i-ом интервале, должна равняться . Это значит, что высота i-го прямоугольника будет .

На остальных интервалах прямоугольники строятся аналогично.

Если  высоту i-го прямоугольника определим как , то получим гистограмму относительных частот, которую можно рассматривать как аналог  дифференциальной функции распределения в теории вероятностей.

Для того, чтобы найти  выборочную среднюю, воспользуемся  формулой

  , где k - количество интервалов, n - объем выборки.

.

Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой . В случае интервальной группировки находится по формуле

 

Теперь можно окончательно вычислить выборочную дисперсию

.

Найдем выборочное среднее  квадратическое отклонение

.

Отыщем выборочный коэффициент  вариации

.

Найденное значение выборочного  коэффициента вариации дает наглядное  представление о степени относительного рассеяния исследуемого признака.

Отыщем значения "исправленной"  дисперсии и "исправленного"  среднего квадратического отклонения  ,  .

Для отыскания моды в случае интервальной группировки используем формулу , где - левая граница интервала, имеющего наибольшую интервальную частоту, h - шаг (длина интервала группировки), , R - размах выборки, k - количество интервалов, - наибольшая интервальная частота, - интервальная частота интервала, расположенного слева от интервала с наибольшей интервальной частотой, - интервальная частота интервала, расположенного справа от интервала с наибольшей интервальной частотой.

В нашем случае .

Значение медианы  для случая интервальной группировки отыщем по формуле , где - левая граница интервала, содержащего медиану, n - объем выборки, h - шаг, - интервальная частота интервала, содержащего медиану, - интервальные частоты всех интервалов, расположенных слева от интервала, содержащего медиану.

Найдем значение медианы  для нашей конкретной задачи .

Далее начнем суммировать  интервальные частоты слева направо  до тех пор пока сумма интервальных частот не превзойдет .Номер последней прибавленной частоты будет совпадать с номером интервала, содержащего медиану распределения. Следовательно, =1,5, .

Проверим на уровне значимости a=0,05 гипотезу о нормальном распределении признака  x генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона.

Для нашей задачи все условия  применимости метода Пирсона выполняются: , для любого интервала .

Проверка  гипотезы нормальности по критерию Пирсона основана на сравнении  эмпирического и гипотетического  распределений, точнее, на сравнении эмпирических и гипотетических интервальных частот. Мера близости между ними оценивается статистикой Пирсона: