Контрольная работа по "Математическая статистика"

, где  - интервальные (эмпирические) частоты, - интервальные теоретические частоты, - теоретические вероятности попадания переменной x в i-ый интервал группировки, , - левая граница i-го интервала, - правая граница i-го интервала.

При этом теоретические вероятности  рассчитываются в предположении нормальности распределения случайной величины x по формуле:

, где  и функция есть плотность стандартного нормального распределения, таблица значений которой приведена в приложении 2.

Вычисление наблюдаемого значения статистики Пирсона  организуем в форме расчетной таблицы.

 

 

 

 

 

 

Интервалы	ni	x1 = (xi - xср)/s	x2 = (xi+1 - xср)/s	Ф(x1)	Ф(x2)	pi = Ф(x2) - Ф(x1)	Ожидаемая частота, pi	Ki
0.6 - 0.9	9	-3.44	-2.48	-0.5	-0.49	0.00644	3.08	11.39
0.9 - 1.2	4	-2.48	-1.51	-0.49	-0.44	0.0577	27.58	20.16
1.2 - 1.5	130	-1.51	-0.55	-0.44	-0.21	0.22	106.79	5.05
1.5 - 1.8	175	-0.55	0.41	-0.21	0.16	0.38	179.3	0.1
1.8 - 2.1	125	0.41	1.37	0.16	0.42	0.25	121.13	0.12
2.1 - 2.4	30	1.37	2.34	0.42	0.49	0.0742	35.47	0.84
2.4 - 2.7	5	2.34	3.3	0.49	0.5	0.00926	4.43	0.0743
	478							37.74

 Следовательно, . Заданный уровень значимости , количество интервалов группировки , и потому p=1-a=0,95 и число степеней свободы k=m-3=4.

Теперь по таблице критических  точек распределения  отыщем значение .

Сравним значения  и . Имеем 37,74>9,5 , следовательно, > . Поэтому гипотезу о нормальном распределении признака x отвергаем. Таким образом, решение задачи 2 полностью разобрано.

Задача 3

Проведите сравнительный  анализ результатов педагогического  эксперимента в контрольных и экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона.

,  где  и .

 

 

 

Уровень значимости положите

3.10.

Значение варианты	2	3	4	5
Частота появления  в экспериментальной группе	10	30	35	25
Частота появления  в контрольной группе	12	18	10	6

 

Решение

Проведем сравнительный  анализ результатов педагогического  эксперимента в контрольных и экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона:

, где 2, 3, 4, 5 - вариационный ряд  (оценки, выставляемые по результатам  проведения контрольных работ), - частота появления i-ой варианты в экспериментальной группе, - частота появления i-ой варианты в контрольной группе, - объем выборки в экспериментальной группе, - объем выборки в контрольной группе, m=4 - количество различных значений варианты (количество интервалов группировки), k=m-1=3 - количество степеней свободы.

Найдем  и . =10+30+35+25=100, =12+18+10+6=46.

Теперь вычислим .

=

=10,13.

По таблице критических  точек распределения  , приведенной в приложении 3, для числа степеней свободы k=3 и уровня значимости a=0,05 находим значение =7,81.

Так как  > (10,13>7,81), то согласно правилу принятия решения, делаем вывод, что существуют достоверные различия между результатами проведения контрольных работ в экспериментальной и контрольной группах на уровне надежности g=1-a=1-0,05=0,95.

На этом решение задачи 3 закончено.

Задача 4

 

Исследуется зависимость  коэффициента усвоения знаний, выраженного  в процентах ( %) от уровня посещаемости занятий ( %) в группе из четырнадцати учащихся ( - порядковый номер учащегося). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется:

1) Найти оценки  параметров линейной регрессии  на . Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.

2) На уровне  значимости  проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.

3) С надежностью  найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

4.10.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	46	52	61	59	65	60	66	72	74	81	37	35	41	45
	36	38	39	42	43	45	46	48	50	53	25	29	33	35

 

 

 

Решение

Для расчета параметров регрессии  построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	y	x2	y2	x* y
46	36	2116	1296	1656
52	38	2704	1444	1976
61	39	3721	1521	2379
59	42	3481	1764	2478
65	43	4225	1849	2795
60	45	3600	2025	2700
66	46	4356	2116	3036
72	48	5184	2304	3456
74	50	5476	2500	3700
81	53	6561	2809	4293
37	25	1369	625	925
35	29	1225	841	1015
41	33	1681	1089	1353
45	35	2025	1225	1575
794	562	47724	23408	33337

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем  является выборочный линейный коэффициент  корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

Линейный коэффициент  корреляции принимает значения от –1 до +1.

В нашем примере связь  между признаком Y фактором X  весьма высокая и прямая.

Коэффициент регрессии b = 0.54 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.54.

Коэффициент a = 9.32 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Чаще всего, давая интерпретацию  коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.97² = 0.9384

т.е. в 93.84 % случаев изменения  х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 6.16 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
46	36	34.32	17.16	2.82	114.8	0.0467
52	38	37.58	4.59	0.18	22.22	0.011
61	39	42.47	1.31	12.06	18.37	0.089
59	42	41.39	3.45	0.38	5.22	0.0146
65	43	44.65	8.16	2.71	68.65	0.0383
60	45	41.93	23.59	9.43	10.8	0.0683
66	46	45.19	34.31	0.66	86.22	0.0176
72	48	48.45	61.73	0.2	233.65	0.00939
74	50	49.54	97.16	0.21	298.8	0.00925
81	53	53.34	165.31	0.12	589.8	0.00646
37	25	29.43	229.31	19.61	388.65	0.18
35	29	28.34	124.16	0.43	471.51	0.0227
41	33	31.6	51.02	1.95	246.94	0.0424
45	35	33.78	26.45	1.5	137.22	0.035
794	562	562	847.71	52.26	2692.86	0.59

Несмещенной оценкой дисперсии  возмущений является величина:

 

 

S²_y = 4.36 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

 

S_y = 2.09 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S_a - стандартное отклонение случайной величины a.

 

 

S_b - стандартное отклонение случайной величины b.

 

 

Доверительные интервалы  для зависимой переменной.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bx_p ± ε)

где

 

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно  большом числе наблюдений и X_p = 62

 

(9.32 + 0.54*62 ± 1.3)

(41.72;44.32)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно  большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные  доверительные интервалы для Y при  данном значении X.

(a + bx_i ± ε)

где

 

 

t_крит (n-m-1;α/2) = (12;0.025) = 2.179

xi	y = 9.32 + 0.54xi	εi	ymin = y - εi	ymax = y + εi
46	34.32	4.8	29.52	39.12
52	37.58	4.73	32.86	42.31
61	42.47	4.72	37.75	47.19
59	41.39	4.71	36.67	46.1
65	44.65	4.76	39.88	49.41
60	41.93	4.72	37.21	46.64
66	45.19	4.78	40.41	49.97
72	48.45	4.89	43.56	53.34
74	49.54	4.94	44.59	54.48
81	53.34	5.17	48.18	58.51
37	29.43	5.01	24.41	34.44
35	28.34	5.08	23.26	33.42
41	31.6	4.9	26.7	36.51