Контрольная работа по "Математическая статистика"

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

1) t-статистика. Критерий  Стьюдента. 

С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного  статистического наблюдения (конкретного  набора значений x и y).

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии  и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы  каждого из показателей. Выдвигается  гипотеза Н₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

Чтобы проверить, значимы  ли параметры, т.е. значимо ли они  отличаются от нуля для генеральной  совокупности используют статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля  параметра или  статистической характеристики в генеральной  совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве  нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности.

Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0.05.

В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение  t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения  Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике).

Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое  в случае линейной парной регрессии  равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение  t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и  считают, что с вероятностью (1-α) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо  отличается от нуля.

Если фактическое значение  t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при  уровне значимости α.

t_крит (n-m-1;α/2) = (12;0.025) = 2.179

 

 

Поскольку 13.51  >  2.179, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

 

 

Поскольку 3.97  >  2.179, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии.

Определим доверительные  интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут  следующими:

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(0.54 - 2.179 • 0.0402; 0.54 + 2.179 •  0.0402)

(0.46;0.63)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра  будут лежать в найденном интервале.

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

(9.32 - 2.179 • 2.35; 9.32 + 2.179 •  2.35)

(4.2;14.43)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра  будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистика. Критерий  Фишера.

Коэффициент детерминации R² используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение  дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной  оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение с k₁=(m) и k₂=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

 

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая  гипотеза о том, что уравнение  в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.

2. Далее определяют фактическое  значение F-критерия:

 

 

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение  определяется по таблицам распределения  Фишера для заданного уровня  значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы  для общей суммы квадратов  (большей дисперсии) равно 1 и  число степеней свободы остаточной  суммы квадратов (меньшей дисперсии)  при линейной регрессии равно  n-2.

F_табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то  говорят, что нет основания  отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая  гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения  в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=12, F_табл = 4.75

Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Задача 5

Предположим, что в педагогическом эксперименте участвовали три группы студентов по 10 человек в каждой. В группах применили различные методы обучения: в первой – традиционный , во второй – основанный на компьютерных технологиях , в третьей – метод, широко использующий задания для самостоятельной работы . Знания оценивались по десятибалльной системе.

Требуется обработать полученные данные об экзаменах и сделать  заключение о том, значимо ли влияние метода преподавания, приняв за уровень значимости .

Результаты экзаменов  заданы таблицей, – уровень фактора – оценка -го учащегося обучающегося по методике .

5.10.

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Уровень фактора		3	6	5	6	8	3	5	4	5	3
		6	8	5	10	9	9	8	7	9	10
		5	4	4	6	6	6	8	6	7	8

 

Решение

Поместим в таблице  экзаменационные оценки  ( ), их отклонения от общей средней ( ) и квадраты этих отклонений . Уровни фактора означают: - традиционный метод, - применение компьютерной технологии, - увеличение доли самостоятельной работы.

Номер испытан.1	Уровни фактора  (различные методы преподавания)
	Оценки			Оценки			Оценки
1	3	-2	4	6	-2	4	5	-1	1
2	6	1	1	8	0	0	4	-2	4
3	5	0	0	5	-3	9	4	-2	4
4	6	1	1	10	2	4	6	0	0
5	8	3	9	9	1	1	6	0	0
6	3	-2	4	9	1	1	6	0	0
7	5	0	0	8	0	0	8	2	4
8	4	-1	1	7	-1	1	6	0	0
9	5	0	0	9	1	1	7	1	1
10	3	-2	4	10	2	4	8	2	4
Груп. сред.2	4,8			8,1			6,0
S			24			25			18

¹ Номер испытания (порядковый номер студента группы).

² Групповая средняя (средний балл группы).

Общая средняя равна

.

; .

.

В нашем примере p=3 (p - количество факторов), q=10 (q - количество студентов), поэтому для степеней свободы получаются следующие значения:      pq-1=29, p-1=2, p(q-1)=27.

Находим выборочные дисперсии: ; ; .

Примем в качестве нулевой  гипотезу о том, что выявленное различие групповых средних (средних баллов) случайно, т.е. при уровне значимости a=0,05 средние баллы совпадают.

Для проверки этой гипотезы следует воспользоваться F-критерием  Фишера-Снедекора. Вычисляется .

По таблицам находится  критическая точка  . Здесь a - уровень значимости, - число степеней свободы для дисперсии (в числитель формулы вписывается большая из дисперсий), - число степеней свободы для меньшей дисперсии . В случае нулевая гипотеза принимается, в случае она отвергается.

В примере  .

Таким образом, нулевая гипотеза отвергается, и следует считать, что средние баллы групп различаются "значимо". В частности, повышение качества знаний под воздействием уровня фактора F нельзя считать случайным.

Задача 6

По промышленным предприятиям города имеются следующие данные за отчетный год:

№ предприятия	Объем продукции, млн.руб.	Среднегодовая стоимость  Основных средств, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Прибыль, млн.руб.
1	197,7	10,0	900	13,5
2	592,0	22,8	1500	136,2
3	465,5	18,4	1412	97,6
4	296,2	12,6	1200	44,4
5	584,1	22,0	1485	146,0
6	480,0	19,0	1420	110,4
7	578,5	21,6	1390	138,7
8	204,7	9,4	817	30,6
9	466,8	19,4	1375	111,8
10	292,2	13,6	1200	49,6
11	423,1	17,6	1365	105,8
12	192,6	8,8	850	30,7
13	360,5	14,0	1290	64,8
14	208,3	10,2	900	33,3