Математическое моделирование в ионосферных процессах

 

Содержание

Введение 3

1 Уравнения  переноса для моментов функции  распределения 7

   1.1 Система уравнений, моделирующих ионосферную плазму в гидродинамическом приближении 14

   1.2 Некоторые преобразования вида моделирующих уравнений для нейтральных компонент 26

1.2.1 Среднемассовая и диффузионная скорости 26

1.2.2 Учет турбулентности 28

2 Кинетическое уравнение для сверхтепловых электронов 31

   2.1 Системы координат, используемые в ионосферном моделировании 36

Заключение 41

Список используемых источников 44

 

Введение

 

Под термином «моделирование ионосферы» будем понимать процесс, результатом которого является обобщенное количественное описание пространственно-временных вариаций ионосферных параметров. Таким процессом может быть усреднение данных наблюдений по тем или иным интервалам пространства и времени, их систематизация в виде таблиц и графиков и аппроксимация аналитическими формулами. Полученные наборы таблиц, графиков и аппроксимирующих формул представляют собой модели называемые «эмпирическими» или «статистическими». В качестве примера можно назвать модели, описанные в [27]. Эти модели являются, в сущности, «наборами состояний» ионосферы и не дают представление о происходящих в ней процессах. Количество информации на выходе этих моделей определяется наличием регулярных средств наблюдений в различных географических регионах и в различных гелио-геофизических условиях. Пробелы в данных наблюдений заполняются путем интерполяции и экстраполяции, что существенно сглаживает модельные вариации по сравнению с реальными.

Эмпирические модели весьма ограниченны по числу описываемых  параметров. Наибольшее количество информации накоплено по данным о критических частотах ионосферных слоев, менее полно и достоверно представлены вариации высот максимумов и формы высотного профиля электронной концентрации, особенна для высоких и субавроральных широт, для области D и для возмущенных условий. Лишь фрагментарно представлены вариации ионного состава, электронной и ионной температур, частот столкновений и прочих параметров ионосферной плазмы.

В последние 15 лет широкое  развитие получило моделирование ионосферы, основанное на численном решении уравнений для ионосферной плазмы, записанных в том или ином приближении. Именно в этом смысле мы будем понимать термин «математическое моделирование», а под «математической моделью ионосферы» будем понимать совокупность уравнений динамики ионосферы как физической системы вместе с соответствующими краевыми условиями и алгоритмом решения. Такое определение аналогично данному А. С. Мониным применительно к метеорологическим моделям атмосферы в книге «Прогноз погоды как задача физики» [16]. В литературе модели такого рода называют также «теоретическими», «детерминированными» и т. п.

В зависимости от степени  самосогласованности эти модели в той или иной мере используют данные наблюдений либо собственно ионосферных параметров (например, в качестве начальных и граничных условий), либо параметров термосферы, либо электрических полей, что привело к появлению понятий «полуэмпирические», «гибридные» и «адаптивные» модели. Все эти термины подразумевают наличие коррекции модели по данным наблюдений. Различия между «теоретическими» и «полуэмпирическими» моделями весьма условны, поскольку неясно на каком уровне самосогласованности следует проводить границу между этими типами моделей. По видимому, имеет смысл пользоваться терминами «гибридные» и «полуэмпирические» модели в случаях, когда в качестве входных параметров используются массивы данных наблюдений о наиболее важных с практической точки зрения параметрах ионосферы, таких, как критические частоты ионосферных слоев и высоты максимумов [9, 12, 22].

В наиболее полной самосогласованной  постановке математическая модель ионосферы  должна учитывать фотохимию, динамику и энергетику как заряженных, так и нейтральных компонент ионосферной плазмы, принимать во внимание физическую взаимосвязь различных областей околоземного космического пространства как по вертикали, так и по горизонтали (нижняя атмосфера-ионосферные слои - протоносфера; полярная – субавроральная –среднеширотная - приэкваториальная области ионосферы), содержать в себе самосогласованный расчет электрических полей. Такая полностью самосогласованная модель ионосферы еще не создана и является перспективной задачей ионосферного моделирования. Однако многие аспекты этой проблемы уже решены [10, 18, 19] и существующие математические модели ионосферы широко используются как инструмент исследований, позволяющий «взвесить» роль всевозможных факторов и физических механизмов в различных гелио-геофизических явлениях и ситуациях.

Это «взвешивание» осуществляется путем «включения» и «выключения» тех или иных процессов, учитываемых  в модели, варьирования ее управляющих параметров в расчетах и сопоставления результатов расчетов с наблюдениями. Тем самым осуществляется интерпретация данных наблюдений и одновременно проверяется на адекватность реальной среде теория ионосферной плазмы, лежащая в основе математической модели, проверяются на допустимость сделанные упрощающие предположения.

Такая проверка тем достовернее, чем большее количество одновременно наблюдаемых и рассчитываемых параметров ионосферы сопоставляются. Поэтому метод математического моделирования особенно плодотворен, когда достаточно полная и самосогласованная математическая модель привлекается для интерпретации результатов комплексных наблюдений типа проводимых с помощью установок некогерентного рассеяния (еще лучше с одновременными спутниковыми измерениями над установкой некогерентного рассеяния). По результатам проверки модели путем сопоставления ее с наблюдениями возможно осуществить коррекцию модели и тем самым повысить степень ее адекватности реальной среде. Наконец, математическая модель ионосферы может быть использована как практический инструмент прогноза состояния ионосферы, как долгосрочного, так и краткосрочного, либо служить основой для разработки методики прогнозирования.

В настоящей главе формулируется  система моделирующих ионосферу  уравнений для заряженных и нейтральных  компонент околоземной плазмы, обсуждаются системы координат, используемые в ионосферном моделировании, способы учета трехмерности задачи, начальные и граничные условия. Поскольку моделирующие уравнения представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частцых производных с коэффициентами, зависящими от координат и времени, их решения ищутся методами конечных разностей на ЭВМ. Используемые при этом численные методы рассмотрены весьма кратко, так как их подробному изложению посвящены специальные монографии [14, 23, 24]. Явный вид скоростей образования и потерь частиц, нагрева, неупругого теплообмена и охлаждения, входящих в моделирующие уравнения.

Обьектом исследования являются ионосфера и иоосферные процессы.

Предметом исследования является математическое моделирование иоосферных процессов.

Цель исследования – исследовать возможности применения математического моделирования к изучению ионосферных процессов.

Задачи исследования:

1. Изучить и проанализировать литературу по проблеме исследования.
2. Обобщить результаты исследования моделей ионосферы.

 

1. Уравнения переноса  для моментов функции распределения

Ионосферная плазма достаточно разрежена, чтобы считать столкновения частиц бинарными, а внешние поля изменяются медленно по сравнению со временем взаимодействия частиц при  столкновении. Это позволяет описывать  ионосферную плазму системой кинетических уравнений Больцмана для многокомпонентной смеси:

(1)

Здесь Fa - функция распределения -й компоненты, определенная соотношениями (1.283), (1.284); — ускорение под действием внешних сил; g - гравитационное ускорение; та, — масса и заряд частицы сорта ; Е и В — электрическое и магнитные поля.

Операторы в левой части  уравнения Больцмана могут быть записаны также в форме

                                  (2)

 

где j — индекс, нумерующий оси системы координат; — проекции векторов r, v и на оси системы координат; V — оператор Гамильтона; по повторяющимся в сомножителях координатным индексам подразумевается суммирование.

Правая часть уравнения (1) представляет собой интеграл столкновений, т. е. изменение числа частиц в элементе объема фазового пространства координат и скоростей в единицу времени за счет столкновений. Он складывается из интегралов упругих столкновений и и интегралов , неупругих столкновений (ионизация, возбуждение, химические реакции), в которых частицы сорта рождаются и исчезают соответственно. При парных взаимодействиях, положив там вместо соответствующее сечение неупругого рассеяния .

Непосредственное интегрирование нелинейных интегродиф-ференциальных уравнений (1) представляет собой чрезвычайно сложную задачу, прямое решение которой неоправданно не только вследствие вычислительной трудоемкости, но и из-за отсутствия надежных сведений о сечениях неупругих взаимодействий, В ионосферном моделировании кинетические уравнения приходится обычно решать лишь при описании сверхтепловых электронов. В большинстве же случаев в качестве уравнений, моделирующих тепловую ионосферную плазму, используют уравнения переноса для моментов функции распределения, определяющих средние макроскопические характеристики плазмы.

Моментом n-го порядка называется величина

(3)

где число нижних индексов, нумерующих оси системы координат, равно n, а индексы α, β, ..., нумерующие сорта частиц, опущены; интегрирование ведется по всему пространству скоростей.

Моменты нулевого и первого  порядков имеют простой физический смысл:

(4),(5)

где n и nVj — концентрация и поток частиц в направлении оси j соответственно; V — направленная макроскопическая скорость.

Через моменты второго  порядка, являющиеся компонентами тензора  второго ранга,

(6)

выражаются давление р, температура Т, компоненты тензора вязких напряжений П. В частности,

(7),(8)

где w = v - V; — символ Кронекера ( = 1 при j = к и = 0 при j ≠ к). При максвелловском распределении по скоростям (7) дает уравнение состояния идеального газа: р = nкkТ. С моментами третьего порядка

(9)

связан тензор потока тепла

(10)

Уравнения, описывающие изменения  в пространстве и во времени макроскопических характеристик ионосферной плазмы, определяемых через моменты функции распределения, выводятся из (1) путем умножения его на различные комбинации различного числа сомножителей ... и последующего интегрирования по скоростям. Получающуюся при этом систему уравнений называют уравнениями переноса для моментов функции распределения. Интегрируя по скоростям уравнение (1) и учитывая, что t, , — независимые переменные, F(v) →0 при v → ±∞, а упругие столкновения не меняют полного числа частиц данного сорта в единице объема, получим известное уравнение непрерывности, или закон сохранения числа частиц в дифференциальной форме:

(11)

где член div представляет собой изменение числа частиц в единицу времени в дифференциально малом единичном объеме за счет разности между приходом частиц в этот объем и уходом из него; Qα и Lα — скорости образования и исчезновения частиц сорта α в процессах неупругого взаимодействия:

(12)

Для процессов парного  взаимодействия частиц сорта α с частицами сорта γ типа

(13)

в частицы сорта α и γ гибнут, а вместо них образуютой частицы сортов β и δ, скорость Lα исчезновения частиц сорта α записывают в виде

(14)

где — коэффициент скоростй процесса (13):

(15)

где u — относительная скорость частиц; — сечение процесса (13); — нормированная на единицу функция распределения частиц по относйтельным скоростям. Коэффйциенты обычно находят из лабораторных измерений; они зависят от температур реагентов, их относительных скоростей и распределений по возбужденным состояниям.

Если процесс (13) может идти не по одному каналу, а по нескольким, с образованием, например, разных пар продуктов: то вводят коэффициенты ветвления и , характеризующие вероятность каждого канала, такие, что

(16)

По аналогии с упругими соударениями величину можно принять за частоту неупругих столкновений , а обратную ей величину 1/ - за время между столкновениями , называемое в этом случае временем жизни компаненты α относительно реакции (13). Скорость изменения концентрации частиц сорта α за счет реакции (13) запишется в виде

(17)

откуда при n ≈ const

(18)

Возвращаясь к процедуре  перехода от кинетического уравнения  к уравнениям переноса для моментов, умножим (1) на импульс частицы v и проинтегрируем по скоростям. Используя (11), получим уравнение движения, или закон сохранения импульса:

(19)

где —∆ — вязкая сила (сила внутреннего трения): (∆ᵧ ≡

(20)

 

Rα — среднее изменение импульса частиц α-го сорта в единице объема за единицу времени в результате столкновений с частицами других сортов:

(21)

Умножая далее (1) на кинетическую энергию частицы и интегрируя по скоростям, получим после некоторых преобразований закон сохранения энергии:

22)

Здесь Е — полная энергия частиц в единице объема, складывающаяся из кинетической энергии направленного движения и внутренней энергии (хаотического, теплового движения):

(23)

 вектор потока тепла, образуемый из компонент тензора потока тепла :

(24)

Рα — выделение тепла в единице объема в единицу времени вследствие столкновений: