Математическое моделирование в ионосферных процессах

(25)

Таким образом, мы свели систему кинетических уравнений (1) к системе уравнений переноса (11), (19) и (22) для макроскопических характеристик плазмы , и (или . Однако сами по себе эти уравнения еще не избавляют от необходимости нахождения функции распределения Fα(r, v, t), поскольку она входит в выражения для ,, и (система не замкнута). Продолжая процедуру аналогично тому, как были получены уравнения (11), (19), (22), можно получить уравнения для и , которые, в свою очередь, будут содержать моменты более высоких порядков, и т. д. Тем самым придем к бесконечной цепочке зацепляющихся уравнений.

Для того чтобы уравнениями (11), (19) и (22) можно было пользоваться для нахождения, , и , необходимо каким-то образом выразить ,, и через , и . С этой целью функцию распределения представляют (метод Грэда) в виде рядапо полиномам Эрмита в пространстве скоростей:

(26)

где — равновесная (максвелловская) функция распределения, а коэффициенты разложения связаны с моментами функции распределения:

(27)

Сохраняя члены с N от 0 до 3 и полагая среди коэффициентов , отличными от нуля только коэффициенты с одинаковыми индексами k и l, связанные с компонентами вектора потока тепла , получим после подстановки (26) в (11), (19), (22) и в уравнения переноса для и замкнутую систему уравнений для 13 моментов функции распределения (, Тα, три компоненты вектора Vα, пять независимых компонент симметричного тензора и три компоненты вектора ) — так называемое 13-моментное приближение метода Грэда. Мы не выписываем здесь эти громоздкие уравнения (их вывод и анализ можно найти в [2, 3, 8, 15]), поскольку в практике ионосферного моделирования их непосредственно обычно не используют, а делают еще один упрощающий шаг и переходят к так называемому гидродинамическому приближению.

 

1.1. Система уравнений, моделирующих ионосферную плазму в гидродинамическом приближении

 

В этом приближении отклонения от равновесного распределения считаются малыми (функции распределения слабо отличаются от максвелловских), величины скоростей и компонент тензора вязких напряжений и вектора потока тепла предполагаются величинами первого порядка малости, а их производные по координатам — малыми второго порядка. Эти предположения можно считать обоснованными, если выполняются следующие условия.

Время релаксации к равновесному распределению, интервалом между столкновениями т, должно быть мало по сравнению с  характерным временем Т изменения макроскопических величин, представляющих собой моменты функции распределения:

(28)

а длины свободного пробега  λ должны быть малы по сравнению с характерными пространственными масштабами L изменения макроскопических величин:

(29)

В качестве L для заряженных частиц на высотах h≤1000 км следует брать высоту однородрой атмосферы для преобладающей нейтральной компоненты , а выше, где столкновения с нейтральными частицами практически отсутствуют,— характерный масштаб неоднородности геомагнитного поля .

Оба эти условия хорошо выполняются в ионосфере на высотах  до ~ 400 км, несмотря на быстрый рост τ и λ с высотой из-за уменьшения плотности. Так, в Е- и F-областях τ < 1 с, а T > с; λ ~ /10° км, a L ~ 5/50 км. Однако в протоносфере (на высотах выше ~ 1000 км) условия (28), (29) выполняются лишь для тепловых заряженных частиц, в частности для электронов с энергиями Е ≤10, где — температура электронов в энергетических единицах [11]. Это означает, что функция распределения таких электронов близка к максвелловской и для них применимо описание в гидродинамическом приближении. Однако и в этом случае необходимо знание функции распределения сверхтепловых электронов для расчета, например, скорости нагрева тепловых электронов. Это приводит к комбинированию в моделях ионосферы уравнений гидродинамики для тепловых частиц с кинетическим уравнением для сверхтепловых электронов [9, 13, 28].

С учетом предположений, сделанных  в начале , запишем уравнения переноса (11), (19) и (22) для первых моментов функции распределения , и отдельно для нейтральных частиц, ионов и электронов, используя для обозначения сортов частиц индексы n, i и e соответственно [2, 3, 26].

Уравнения непрерывности  для нейтральных частиц и ионов

(30),(31)

Уравнение непрерывности  для электронов нет необходимости  решать, если решаются уравнения (3); для нахождения электронной концентрации можно использовать условие квазинейтральности:

(32)

Уравнения движения для нейтральных  частиц:

33)

Здесь

  (34)

 

                                    (35)

 

                (36)

 

В этих выражениях Ω — вектор угловой скорости вращения Земли; r — радиус-вектор, проведенный в данную точку из центра Земли; — коэффициент вязкости Нейтрального газа; — сийы трения, действующие на частицы сорта n, находящиеся в единичном объеме, со стороны нейтральных частиц других сортов и ионов; и — соответствующие частоты столкновений; и — приведенные массы сталкивающихся частиц: ; — фактор термодиффузии.

Поскольку скорости направленного  движения частиц определяют обычно относительно вращающейся Земли, в левую часть уравнения движения (33) вошли центробежное и кориолисово ускорения. Последний член в (33) описывает термосилу, возникающую вследствие пространственной неоднородности температуры и вызывающую термодиффузию [2]. Для Многокомпонентной смеси факторы термодйффузии сложным образом зависят от концентраций компонент и сравнительно простые выражения для них могут быть написаны лишь для конкретных случаев преобладания одних компонент и второстепенности других. Термодйффузия наиболее существенна Для лёгких нейтральных компонент Н и Не, для которых [20] получено β(Н) ≈ 0,38, β(Не) ≈ -0,27.

Коэффициент вязкости однокомпонентного нейтрального газа определяется выражением (в приближении «твердых шариков» диаметром dn) [29]:

(37)

Для молекул и d ~ 3,6· см, для атомов О и Н — 2· см, для Не — 2,6· см. Результаты теоретических и экспериментальных исследований вязкости атмосферных газов обобщены следующими аппроксимациями:

(38)

где выражено в г··; α() = 4,03; α() = 3,43; α(O) = 3,90; α(Не) = 3,84; α(Н) = 1,22.

Для смеси газов

(39)

Частоты столкновений , фигурирующие в определении силы трения (36), отличаются от использованных нами ранее частот , которые удовлетворяли определению силы трения. Очевидно, что

(40)

В соответствии с третьим  законом Ньютона

(41)

Для упругих столкновений нейтральных частиц сортов n и l, подчиняющихся максвеяловским распределениям с температурами и можно написать

(42)

где сечение  принято независящим от скорости. В приближении «твердых шариков»

(43)

Прй учёте зависимости ; от относительной скорости в (42) появляется множитель 4/3. Для столкновений нейтральных частиц с ионами

(44)

Сечение соударений, не сопровождающихся обменом зарядом, дается выражением

(45)

где — атомная поляризуемость нейтрального газа. Подстановка (45) в (44) дает

(46)

где выражена в ; — приведенная масса в атомных единицах массы; — в . Значения для разных газов представлены ниже:

Выражение (45) неприменимо для столкновений нейтральный частиц со своими собственными ионами при высоких температурах, когда процесс происходит с обменом зарядом. В этом случае:

(47)

где

(48)

Аналогично, с резонансной  перезарядкой (вследствие близости потенциалов ионизации), происходят столкновения атомов Н с ионами и атомов О с протонами, для которых

(49)

Упругие столкновения нейтральных частиц с электронами не оказывают заметного влияния на движение нейтрального газа из-за малости массы электрона, и поэтому соответствующая сила трения отсутствует в уравнении (33). Пренебрегается также изменениями импульса в химических реакциях.

Уравнение движения для ионов  запишется в виде

(50)

(51)

Здесь и — силы ион-нейтрального и ион-ионного трения, определяемые аналогично (36). Выражение для частоты ион-ионных столкновений:

(52)

Вязкими силами в уравнениях движения для заряженных частиц -пренебрегают ввиду их малости по сравнению с другими силами.

Термодиффузия заметно влияет лишь на примесные ионы. Для смеси  из атомов О, ионов О+ и электронов, каковой является ионосферная плазма вблизи главного максимума (F2-слоя), фактор термодиффузии ионов O+ β (O+) ≈ 0,74 — , где фактор термодиффузии электронов составляет примерно 0,59 на высоте 220 км и стремится к постоянному пределу порядка 0,76 на высотах выше 340 км. Для ионов Н+ и Не+ на высотах, где они являются примесными, β(Н+) и β(Не+) порядка единицы.

Для плазмы, в которой  n(O+), n(Н+) >> n(N+), n(Не+), выражения для можно аппроксимировать согласно следующим образом:

(53)

При использовании этих выражений  следует полагать = 0 в уравнении движения для электронов.

Ускорение ионов следует  учитывать при описании движений со скоростями, приближающимися к скорости звука, в частности при описании процессов опустошения и наполнения плазмой субавроральных и высокоширотных силовых трубок геомагнитного поля. В большинстве стандартных ситуаций на высотах Е- и F- областей ионосферы можно пренебречь инерцией и термодиффузией. Уравнение движения ионов в этом случае запишется в виде:

(54)

а уравнение движения электронов – 

(55)

Здесь и — силы электрон-нейтрального и электрон-ионного трения, определенные аналогично (36). Частоты упругих электрон-нейтральных столкновений , входящие в эти силы, определяются выражением

(56)

где — средние сечения упругих электрон-нейтральных столкновений (в ), Те — в К :

(57) 
В уравнении (55) опущены инерционные члены и сила тяжести, малые из-за малости массы электрона. Силы трения и следует учитывать при рассмотрении токов в нижней ионосфере. Ими можно пренебречь, если токи невелики, т. е. если невелики разности скоростей Ve — Vn и Ve — Vi (так называемое амбипо-полярное приближение), поскольку но

Для описания плазмы верхней ионосферы (F-области и протоносферы) обычно используется укороченное уравнение движения для электронов, в котором сохраняется только градиент давления и электромагнитная сила:

(58)

Из (58) можно определить только составляющую вектора скорости, электродов, перпендикулярную геомагнитному полю В. Для нахождения продольной скорости можно использовать соответствующие, вытекающее из определения плотности тока:

(58а)

где j|| — плотность продольного тока, если последняя задана и не очень велика.

Уравнения теплового баланса для температур различных компонент ионосферной плазмы могут быть получены из уравнений (22) для полной плотности энергии путем исключения из этих уравнений плотности кинетической энергии направленного движения с помощью уравнений непрерывности и движения. В гидродинамическом приближении уравнения для температур будут иметь следующий вид.

Уравнение теплового баланса  для нейтральных частиц:

(59)

Здесь учтено, что внутренняя энергия распределена не только по поступательным, но и по вращательным и колебательным степеням свободы (для молекул); in — число степеней свободы, равное трем для атомов и пяти для двухатомных молекул:

(60)

где и — удельные (на единицу маееы) теплоемкоети при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно.

Второй и третий члены в левой части (59) описывают скорость изменения тепла в единице объема за счет работы сил давления и вязкости. Вектор потока тепла записывается в виде

(61)

где — коэффициент молекулярной теплопроводности (в эрг·). Для одноатомных газов он связан с коэффициентом вязкости соотношением

(62)

Для молекулярных компонент  O2 и N2

(63)

для смеси атмосферных  газов

(64)

Член  в правой части (59) описывает скорость упругого теплообмена с газами других сортов, имеющими отличную от Тn температуру:

(65)

суммирование ведется по всем сортам частиц (индекс l соответствует нейтральным частицам, i — ионам, е - электронам). Из-за высокой плотности нейтрального газа теплообмен между различными сортами нейтральных частиц эффективно выравнивает их температуры, что позволяет считать нейтральный газ в целом находящимся при одинаковой общей температуре Тn. Упругий теплообмен с электронами несуществен для нейтрального газа ввиду малости массы электрона.