Математическое моделирование в ионосферных процессах

Член Jn в правой части описывает фрикционный (джоулев) нагрев (превращение в гепло работы сил трения):

(66)

в котором преобладающим является нагрев за счет нейтралионного трения. Член Рn представляет изменение тепла за счет неупругих столкновений (включая неупругие столкновения с тепловыми и сверхтепловыми электронами, фотонами и высыпающимися частицами, а также тепло химических реакций), Ln — охлаждение за счет излучения.

Уравнения теплового баланса  для ионов и электронов имеют  вид:

(67)

(68)

Теплопроводность ионного  и электронного газов существенна  на высотах h ≥ 200 км, где замагничены как электроны, так и ионы, и тепловые потоки направлены вдоль геомагнитного поля:

(69)

Для полностью ионизированной однокомпонентной плазмы

(70)

(71)

Для смеси газов 

(72)

(73)

где определены выражениями (57); и даны в эВ·.

Скорости упругого теплообмена  и джоулева нагрева ионов и электронов определяются аналогично (65) и (66). Неупругие столкновения не играют существенной роли в тепловом балансе ионов, но весьма важны в тепловом балансе электронов. Описывающий их член Ре в правой части уравнения (68) учитывает изменения тепловой энергии электронов при возбуждении и гашении ими различных возбужденных состояний нейтральных атомов и молекул. Члены и описывают нагрев тепловых электронов фотоэлектронами и вторичными электронами, образующимися при корпускулярной ионизации.

Система моделирующих уравнений (30) — (33), (50), (55), (59), (67), (68) содержит, вообще говоря, 5(I + N + 1) уравнений, где I — число сортов ионов, N — число сортов нейтральных частиц, причем частицы в различных возбужденных состояниях часто приходится рассматривать как отдельные сорта. На практике, однако, общее число уравнений существенно сокращается за счет особенностей теплообмена в ионосферной плазме (равенство кинетических температур нейтральных компонент, существование только двух, и то достаточно близких, ионных температур), а также в случае рассмотрения ограниченных высотных интервалов, выделенных по преобладающим в них физическим процессам.

К сформулированным уравнениям гидродинамики следует добавить уравнения электродинамики для полей Е и В. Геомагнитное поле В всегда можно считать внешним и заданным. Что касается электрического поля Е, то его распределение в пространстве зависит от ионосферной проводимости, а тем самым от концентраций заряженных и нейтральных частиц. Для нахождения Е используется квазистационарное уравнение непрерывности для плотности тока:

(74)

где плотность тока

(75)

связана с электрическим полем уравнениями движения для ионов и электронов. Ранее эта связь была выведена в форме закона Ома:

(76)

где — тензор ионосферной проводимости . Полагая

(77)

получим из (74), (76) и (77) уравнение  для потенциала электрического поля φ:

(78)

Отметим, что при рассмотрении единой ионосферно-магнито-сферной электрической цепи следует учитывать также магнито-сферные токи, связанные с градиентным и центробежным дрейфами:

(79)

 

1.2. Некоторые преобразования вида моделирующих уравнений для

 нейтральных  компонент

1.2.1. Среднемассовая и диффузионная скорости

 

В моделирующих уравнениях (30), (33) и (59) для нейтральных компонент фигурируют скорости направленного движения отдельных компонент сорта n, которые могут быть различными для различных сортов нейтральных частиц. Во многих случаях, однако, удобно пользоваться уравнениями, содержащими среднемассовую и диффузионные скорости. Введем понятия среднемассовой скорости

(80)

где

(81)

и скорости диффузии компоненты сорта n:

(82)

Диффузионные скорости не независимы, они связаны соотношением, вытекающим из (82) и (80):

(83)

и означающим, что суммарный  диффузионный поток массы равен  нулю.

Подставляя из (82) в (30), получим:

(84)

Умножая (84) на , суммируя по n и учитывая (83), получим уравнение непрерывности для полной плотности, или закон сохранения массы в дифференциальной форме:

(85)

Обращение в нуль правой части соответствует тому факту, что химические реакции не изменяют суммарную массу реагентов:

Из уравнений движения (33) или непосредственно из системы кинетических уравнений, вводя понятия среднемассовой и диффузионных скоростей на этапе перехода к уравнениям переноса для моментов, можно получить уравнения для среднемассовой и диффузионных скоростей нейтральных частиц:

(86)

Здесь

(87)

η — коэффициент вязкости смеси газов, определяемый формулой (39). Используя (86), (54) н (58), нетрудно получить и уравнение для среднемассовой скорости всего атмосферного газа в целом, которое будет отличаться от (86) лишь тем, что вместо последнего члена будет стоять пондермоторная сила . Выражение для скорости диффузии имеет вид

(88)

где и — соответственно обобщенные коэффициенты диффузии и термодиффузии для многокомпонентной смеси. Коэффициенты связаны с введенными ранее факторами термодиффузии соотношением

(89)

где — коэффициенты бинарной диффузии:

(90)

Выражения для  чрезвычайно громоздки в смеси из более чем трех компонент, поэтому вместо (88) удобнее использовать выражение, содержащее вместо коэффициенты бинарной диффузии :

(91)

Уравнение теплового баланса  для нейтрального газа в пренебрежении  вкладом диффузионных движений и  различием температур нейтральных компонент запишется в виде

(92)

где

(93)

(94)

x — коэффициент теплопроводности смеси нейтральных газов определяемый формулой (64).

1.2.2. Учет турбулентности

 

Обратим теперь внимание на существование случайных флуктуаций функции распределения f и её моментов n, V, Т. В силу нелинейности гидродинамических уравнений они не тождественны уравнениям для средних, сглаженных по случайным флуктуациям значений n, V и T, получаемых в измерениях. Действительно, представим каждую из гидродинамических переменных n, V, Т в виде

(95)

где

(96)

— сглаженное значение переменной; τ — интервал сглаживания, много больший характерного, периода случайных флуктуаций; n' — флуктация. Очевидно, что среднее от флуктуации равно нулю:

(97)

но среднее от произведения флуктуаций не равно нулю:

(98)

Подставляя (95) в уравнения гидродинамики и проводя затем операцию сглаживания над каждым из уравнений, легко убедиться, что в силу (98) и нелинейности уравнений для n, V и T они не тождественны уравнениям для сглаженных величин n, V и Т в которых появляются дополнительные члены, содержащие осредненные произведения флуктуаций. Очевидно, что если флуктуации малы, то этими членами можно пренебречь. В общем случае эти члены описывают дополнительные потоки частиц, импульса и тепла, возникающие вследствие турбулентности. Их учитывают путем формального введения параметров турбулентного переноса, определяемых эмпирическим путем. Таким параметром, в частности, является коэффициент турбулентной диффузии, фигурирующий в выражении для турбулентного потока частиц, вводимого по аналогии с потоком молекулярной диффузии:

(99)

Уравнение непрерывности  для компоненты сорта п с учетом турбулентной диффузии запишется в виде

(100)

Здесь под , V и подразумеваются их сглаженные значения.

Вертикальный турбулентный поток тепла  может быть записан в виде [17]

(101)

где — коэффициент турбулентной теплопроводности ≈ К.

Для объемной скорости турбулентного  нагрева в стационарном случае можно принять [5]:

(102)

где — коэффициент турбулентной вязкости: ≈ 3К; — горизонтальная составляющая среднемассовой скорости.

Для определения К измеряют скорость расплывания метеорных следов и искусственных облаков примесей, выбрасываемых в атмосферу, а также используют косвенные оценки на основе сопоставления рассчитанных и наблюдаемых вариаций нейтрального состава и теплового режима атмосферы [1, 4, 6, 7]. В качестве высотного профиля K(z) широко используется аналитическая аппроксимация из:

(103)

где z — высота в км; zm = 105 км; — максимальное значение К, достигаемое на высоте zm: = 1-107 ; = 2·; s1 = s2 = 0,05 ; s3 = 0,07 . Приведенные значения параметров являются лишь ориентировочными. По результатам измерений К возрастает от лета к зиме и с ростом солнечной активности в интервале значений от до на высотах мезосферы и нижней термосферы, в то время как по ряду косвенных оценок [1] К убывает от лета к зиме.

 

2. Кинетическое уравнение для сверхтепловых электронов

 

Как уже отмечалось в разд. 2, гидродинамическое описание не применимо для сверхтепловых электронов (с энергиями Е ≥ 10), функция распределения которых значительно отличается от максвелловской [11]. Знание этой функции распределения необходимо в первую очередь для расчета входящей в уравнение теплового баланса для электронного газа скорости нагрева тепловых электронов фотоэлектронами, а также для раечета скоростей вторичной ионизации и нагрева нейтрального газа. Это вынуждает решать наряду с гидродинамическими уравнениями для тепловой плазмы, сформулированными выше, кинетическое уравнение для сверхтепловых электронов [11 , 28]. Нижняя граница энергий сверхтепловых электронов составляет в зависимости от температуры 0,2—5 эВ, в качестве верхней границы энергий сверхтепловых электронов, отделяющей их от так называемых горячих частиц, ускоренных в магнитосфере, принимают 500 эВ.

Для сверхтепловых электронов кинетическое уравнение (1) можно существенно упростить, переходя к квазистационарному и дрейфовому приближениям. В квазистационариом приближении пренебрегают членом dF/dt в левой части уравнения (1) ввиду медленности изменений макроскопических параметров среды по сравнению с характерными временами процессов, в которых участвуют сверхтепловые электроны. В дрейфовом приближении учитывают замагниченность электронов ( ) на высотах выше примерно 80 км, и считая, что внешние поля слабо меняются на расстоянии, проходимом электроном за период ларморовского вращения, переходят от рассмотрения движения собственно электрона к рассмотрению движения его ведущего центра, т. е. центра ларморовской орбиты.

С учетом того, что обычно для сверхтепловых электронов

(104)

где —продольная относительно магнитного поля скорость электрона; — его дрейфовая скорость; и . — расстояния вдоль и поперек геомагнитного поля, кинетическое уравнение (1) можно записать в виде [11]

(105)

где — продольная составляющая ускорения, вызываемого внешними полями; = /2В — магнитный момент ларморовского кружка; — продольная составляющая силы, выталкивающей электрон в область слабого магнитного поля; и (d/dt) — функция распределения и интеграл столкновений, усредненные за период ларморовского вращения.

При рассмотрении кинетики электронов в плазме с магнитным  полем удобно перейти в пространстве скоростей от переменных Vj, Vh, Vl (компонент вектора скороети v) к переменным v, , φ, где v = — модуль вектора скорости; — угол между вектором магнитного поля В и v (питч-угол), φ — азимут в плоскости, перпендикулярной В, так что

(106)

где Ω — телесный угол.

Далее перейдем от v и F к энергии  электрона Е и потоку электронов φ:

(107)

Очевидно, что

(108)

представляет собой число  электронов с анергией в интервале E, Е + dE и направлением скорости v внутри телесного угла dΩ, пересекающих единичную площадку, перпендикулярную v, в единицу времени в точке с координатами r в момент времени t. Вводя, наконец, переменную = cos и учитывая,, что = v cos , = v sin , можно переписать (105) в пренебрежении членом с :

(109)

где — усредненный по азимуту поток электронов с энергией Е и питч-углом , отнесенный к единичным интервалам Е и Ω.

Интеграл столкновений в правой части (109) складывается из нескольких членов:

(110)

где Q — источник сверхтепловнх электронов, описывающий их возникновение в процессах фотоионизации и ударной ионизации высыпающимися из магнитосферы энергичными частицами; Se и Si — интегралы кулоновских столкновений сверхтепловых электронов с тепловыми электронами и ионами; Sn — интеграл упругих столкновений с нейтральными частицами, Гn и Гi— интегралы неупругих столкновений с нейтральными частицами и ионами (возбуждение и гашение возбужденных состояний, ионизация электронным ударом, рекомбинация).

Выражения для интегралов столкновений применительно к ионосферным  условиям проанализированы в [11, 25]. Воспользуемся результатами этого анализа и приведем сводку окончательных результатов:

(111)

где Ф'(Е + Еα, Ω')d(E + Eα)dΩ' — поток фотонов или высыпающихся частиц с энергией в интервале Е + Еα, Е + Еα + d(E + Еα) в телесный угол dΩ' = d'; Еα — энергия ионизации; (Е + Еα, ) — дифференциальное (на единицу телесного угла) сечение ионизации, такое, что