Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Марта 2013 в 14:01, курсовая работа
Матрицы возникающих систем могут иметь различные структуры и свойства. Уже сейчас имеется потребность в решении систем линейных алгебраических уравнений с матрицами полного заполнения порядка нескольких тысяч. При решении ряда прикладных задач методом конечных элементов в ряде случаев появляются системы, обладающие симметричными положительно определёнными ленточными матрицами порядка несколько десятков тысяч с половиной ширины ленты до тысячи. И, наконец, при использовании в ряде задач метода конечных разностей необходимо решить системы разностных уравнений с разрежёнными матрицами порядка миллион. Одним из самых распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса.
ВВЕДЕНИЕ
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
2.1 ОПИСАНИЕ МЕТОДА
2.2 АЛГОРИТМ
3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ И БЛОК-СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
5. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
Заключение
Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.
Достоинства метода:
a) менее трудоёмкий, по сравнению с другими методами;
b) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;
c) позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений - ранг матрицы системы.
Существенным же недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.
Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:
a) нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная, после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса - Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица);
b) определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера - Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);
c) численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).
Существуют и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недостатков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей.