Методика обучения студентов решению задач по теме «Векторная алгебра» с использованием ИКТ

Найти:

 

• синус угла между векторами; Алгоритм решения задач данного типа:

				~	~
(a) Выразить из формулы |~a Ч b| = |~a| ∗ |b| ∗ sin(a, b)
		~				c
sin(a, b) =	~a  b			;
	|~a	Ч~b|
c	|	|∗| |

2. Посчитать определитель и выделить коэффициенты α1, α2, α3 при i,j,k

					i	j	k
			~	a1		a2	a3
	|~a Ч b| =
					b1	b2	b3
;	√
~
		2	2			2	;
(c) Вычислить |~a Ч b| =		α1	+ α2		+ α3

(d) Найти

√ p

| | 2 2 2  |~| 2 2 2

~a =   a1  + a2  + a3 , b =   b1  + b2  + b3 ;

 

29

 

| Ч~|

(e) Вычислить sin(a,cb) =  ~a  b~ .

|~a|∗|b|

 

• площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах; Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Посчитать определитель и выделить коэффициенты α1, α2, α3 при i,j,k

					i	j	k
			~	a1		a2	a3
	|~a Ч b| =
					b1	b2	b3
;	√
~
		2	2			2	.
(b) Вычислить |~a Ч b| =		α1	+ α2		+ α3

• при каком значении неизвестного окажутся коллинеарными данные вектора.

 

Алгоритм решения задач данного типа:

~				Ч (β1a + β2b), используя формулу
(a) Вычислить ~a Ч b = (α1a + α2b)
векторного умножения ~a	xЧ;	~		=  ~a	~	sin(a, b) и обозначив
		b			b
неизвестную величину за|			|	|	| ∗ | | ∗	c

2. Приравнять полученное выражение к 0 и решить относительно x.

 

 

Смешанное произведение векторов.

~

1. Дано: векторы ~a, b,~c со своими координатами

(a1; a2; a3), (b1; b2; b3), (c1; c2; c3);

 

Найти:

 

• смешанное произведение векторов; Алгоритм решения задач данного типа:

 

 

abc =

 

abc =

 

(a) Вычислить значение определителя

 

a1 a2 b1 b2

c1   c2

 

.

 

 

 

• компланарные векторы; Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Вычислить значение определителя

a1 a2 b1 b2

c1   c2

; 

 

 

a3

b3

 

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a3

 

b3

 

c3

 

 

2. Если определитель равен 0, то векторы компланарны, иначе - нет.

 

• ориентацию тройки векторов; Алгоритм решения задач данного типа:

1. Вычислить значение определителя

 

a1   a2   a3

abc =  b1   b2   b3

 

c1   c2   c3

 

;

 

2. Если определитель больше 0, то тройка правая, если меньше - левая.

 

• при каком значении неизвестного данные векторы будут компланарными; Алгоритм решения задач данного типа:
• (a) Вычислить значение определителя, заменяя неизвестные на α

a1   a2   a3

abc =  b1   b2   b3

c1   c2   c3

 

;

 

2. Приравнять полученное выражение к 0 и решить относительно

 

α.

 

• объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах. Алгоритм решения задач данного типа:

1. Вычислить значение определителя

a1   a2   a3

abc =  b1   b2   b3

c1   c2   c3

 

;

 

(b) Найти абсолютное значение полученного выражения.

• | |~|

 

2. Дано: длины векторов ~a , b и углы между ними; Найти:

 

• смешанное произведение векторов. Алгоритм решения задач данного типа:

 

Несмотря на большое количество типов и подтипов задач по данной теме, практически все алгоритмы решения задач можно представить в следующем виде:

 

1. Анализ условия задачи. Определение принадлежности к основному типу задач.

 

2. Определение «Что дано? Что необходимо найти?». Определение принадлежности задачи к подтипу.

3. Применение формулы, свойственной данному подтипу задач.

 

п.2. Применение построенного алгоритма на занятиях.

 

Для того, чтобы учащиеся могли решать задачи с использованием построенного выше алгоритма, необходимо на уроках развивать определенные знания и умения.

 

Прежде всего требуется научить учеников внимательно читать и анализировать условия задачи. Учащийся должен четко понимать, что в задаче дано и что необходимо найти. Это нужно для того, чтобы верно определить принадлежность данной задачи к определенному типу и подтипу задач.

 

У учащихся должна быть сформирована ясная взаимосвязь между типами (подтипами) задач и формулами, при помощи которых они решаются. Это необходимо по причине того, что каждый подтип задач подразумевает применение одной определенной формулы для получения ответа.

 

Также учащийся должен владеть формулами, то есть знать:

 

какую именно формулу нужно применять, почему именно её необходимо применить в данном случае, и самое главное, как это сделать.

 

Обобщая все необходимые требования к учащимся, можно указать некоторые правила, которые нужно выполнять на уроках для того, чтобы научить решению задач при помощи построенного алгоритма.

 

• Внимательно, несколько раз, читать условия задачи. Разбирать вместе с учениками, что дано, что необходимо найти.

 

• Вести специальную таблицу помощник, в которой будет содержаться таблица с подтипами задач и основными формулами.

 

• Каждую задачу решать по данному алгоритму.

 

Выполняя эти правила на каждом уроке учащиеся быстрее научатся

 

решать задачи при помощи построенного алгоритма.

 

п.3. использование иКТ при обучении решению задач по теме. Описание программы.

 

При обучении решению задач по теме «Векторная алгебра» будет использоваться программа «Решение задач по векторной алгебре». Чтобы при помощи этой программы можно было вести обучение решению задач с использованием построенного нами алгоритма, данная программа должна удовлетворять следующим критериям:

 

возможность выбора конкретного типа и подтипа задач; отображение полного хода решения со всеми выкладками и

 

используемыми формулами; интуитивно понятный интерфейс.

 

Данная программа создана при помощи интегрированной среды Turbo Del-phi. Это сделано по причине того, что данная среда является бесплатной и изучается практически во всех педагогических вузах на специальности «Математика и информатика».

 

Программа содержит две формы: на первой производится выбор пользователем типа и подтипа задачи, а на второй идет диалог с пользователем, то есть само решение задачи. На первой форме располагаются пять кнопок, каждая из которых представляет отдельный тип задач по векторной алгебре.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1: Первая форма программы

 

 

 

Это отвечает критерию, который мы выдвинули для данной программы. Пользователь (учитель, ученик) должен хорошо представлять, к какому из типов относится его задача и уметь в них ориентироваться.

 

На первой форме установлен компонент TPageControl - набор страниц; это сделано для того, чтобы не создавать «лишних» форм, не загромождать программу. В самом наборе содержится 6 элементов TTabSheet (страниц): пять с различными типами задач и одна титульная (выборная), которую мы видим при открытии программы. У каждой страницы свойство Visi-ble, отвечающее за видимость компонента выключено, поэтому перемещаться между страницами можно только при помощи кнопок на форме. Когда выбран тип задач необходимо выбрать один из подтипов задач, все

 

35

 

возможные варианты которых выводятся в компонент TMemo. Пользователю необходимо ознакомиться с задачами, найти похожую на интересующую его задачу и выбрать её в выпадающем списке TComboBox. После этого необходимо нажать на кнопку Диалог с пользователем, чтобы непосредственно перейти к вводу данных и решению задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2: Выбор типа задачи

 

 

 

Если не выбрать из списка задачу, а сразу нажать на диалог с пользователем, то программа выдаст сообщение с информацией, что задача не выбрана. Это сделано для защиты от неумелых пользователей.

 

Далее открывается вторая форма, на которой и будут производиться все вычисления. Так как типов рассматриваемых задач пять, а в каждом типе несколько подтипов, то у нас снова возникает необходимость в большом