Многократные измерения

Содержание

 

Задание на курсовую работу………………………………………………3

Введение…………………………………………………………………….4

1. Законы распределения результатов измерения……………………6
2. Требование к оценкам измеряемой величины…………………….16
3. Понятие о грубых погрешностях………………………………….18
4. Обработка результатов измерений………………………………..20
5. Идентификация формы распределения результата………………21
6. Систематические погрешности и методы их устранения………..25
7. Алгоритм обработки результата…………………………………..28
8. Решение……………………………………………………………..29

8.1 Вычисление статистических характеристик……………….29

8.2 Определение наличия грубых погрешностей……………...29

8.3 Расчет оценки среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения……………………………………………30

8.4 Определение принадлежности результатов измерений нормальному распределению…………………………………………30

8.5 Построение гистограммы…………………………………....36

8.6 Определение доверительных границ……………………….36

8.7 Запись результата измерения………………………………..36

8.8 Исключение систематической погрешности……………….36

9. Заключение………………………………………………………….40
10. Список используемой литературы…………………………………41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание на курсовую работу

По результатам n=63 измерений некоторой величины был получен ряд числовых значений:

№ изм.	Результат измерения	№ изм.	Результат измерения	№ изм.	Результат измерения
1.	50	22.	50	43.	24
2.	30	23.	40	44.	26
3.	40	24.	60	45.	55
4.	70	25.	60	46.	57
5.	40	26.	30	47.	42
6.	30	27.	40	48.	43
7.	40	28.	40	49.	44
8.	50	29.	45	50.	45
9.	25	30.	50	51.	46
10.	50	31.	60	52.	47
11.	20	32.	30	53.	21
12.	40	33.	60	54.	22
13.	50	34.	60	55.	23
14.	50	35.	45	56.	70
15.	30	36.	60	57.	30
16.	30	37.	45	58.	30
17.	50	38.	60	59.	60
18.	40	39.	20	60.	60
19.	30	40.	20	61.	70
20.	30	41.	30	62.	70
21.	40	42.	50	63.	70

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произвести обработку многократных измерений, построить гистограмму статистического ряда, идентифицировать закон распределения результатов измерения и дать характеристику, привести алгоритм обработки полученных данных и оценить их погрешность.

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Измерение - сложный процесс, включающий в себя взаимодействие целого ряда его структурных элементов.

К измерениям относятся: измерительная задача, объект измерения, принцип, метод и средство измерения, и его модель, условия измерения, субъект измерения, результат и погрешность измерения.

Первым начальным элементом каждого измерения является его задача (цель). Задача любого измерения заключается в определении значения выбранной (измеряемой) физической величины с требуемой точностью в заданных условиях. Постановку задачи измерения осуществляет субъект измерения - человек. При постановке задачи конкретизируется объект измерения, в нем выделяется измеряемая физической величины и определяется (задается) требуемая погрешность измерения.

Прямые - это измерения, при которых измеряемую величину непосредственно сравнивают с мерой этой величины или её значение отсчитывают по показаниям прибора.

В зависимости от числа измерений, проводимых во время эксперимента, различают однократные и многократные измерения

Однократные измерения – измерения, выполненные один раз. Кмногократным относятся измерения одного и того же размера физической величины, следующие друг за другом. При четырех или более измерениях, входящих в ряд, измерения можно считать многократными. Их проводят с целью уменьшения случайной составляющей погрешности.

Наблюдение - экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получается одно значение из группы значений величины, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения. Различают измерения с однократными и многократными наблюдениями. При измерении с однократным наблюдением термином “наблюдение” пользоваться не следует.

Погрешность измерения – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

По способу выражения различают погрешности абсолютные и относительные. Абсолютной называется погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины, а относительной – погрешность, выраженную в долях или процентах от истинного значения измеряемой величины.

Систематическая погрешность – это составляющая погрешности измерения, которая при повторных измерениях одной и той же величины, выполняемых при неизменных условиях, остается постоянной или закономерно меняется.

Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Анормальные наблюдения – это наблюдения, отклонение которых от среднего арифметического  данных наблюдений существенно превышает оправданные объективными условиями измерения значения систематических и случайных погрешностей.

Доверительный интервал – интервал со случайными границами, который с заданной вероятностью, называемой доверительной, накрывает истинное значение измеряемой величины. Границы доверительного интервала называют доверительными границами.

Критерий согласия – критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

 

 

 

 

 

1. Законы распределения результатов измерения.

 

Закон распределения - математическое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями варианты и соответствующими им вероятностями.

Кривая распределения - это предел, к которому стремится полигон частот при неограниченном увеличении объема статистической совокупности и уменьшении интервалов (увеличение точности измерения, переход от дискретной величины к непрерывной). Она дает характеристику некоторой генеральной совокупности, т.е. получаемые в эксперименте выборки, лишь в той или иной степени приближаются к своему теоретическому пределу. Кривая распределения позволяет наглядно представить форму распределения, т.е. определенную закономерность специфической концентрации вариант в цельной статистической совокупности.

Форма распределения является некоторой обобщенной характеристикой выборки: ведь исследуемая статистическая закономерность проявляется не только в обозначении среднего уровня измеренного процесса, но и в регуляции отклонений от этого уровня, т.е. в обозначении формы статистического распределения.

Все бесконечное разнообразие эмпирических кривых распределения (вне связи с теоретико-вероятностными построениями) принято делить на две большие группы: одновершинные и многовершинные.

Последние называются также составными распределениями, т.е. являются следствием совместного графического представления различных (качественно разнородных) статистических совокупностей, в образовании которых преобладают какие-то различные закономерности.

Одновершинные распределения в свою очередь делятся на следующие группы:

а) симметричные, т.е. такие, в которых идет равновероятное уменьшение величины признака по обе стороны от некоторого и максимально частого значения (примером таких, сравнительно редко встречающихся в практике распределений,является расположение людей по величине роста):

• треугольные (рис. 1а);
• трапецеидальные (рис. 1б);
• равномерные (рис. 1в);
• антимодальные I (рис. 1г);
• антимодальные II (рис. 1д);

 

                                         Рисунок 1

б) умеренно-асимметричные или скошенные, в которых убывание числовых значений переменной в одну из сторон выражено заметно сильнее. Таковы, например, распределения подавляющего большинства измерений эффективности человеческой деятельности;

в)распределения крайне асимметричные, характерные, например, для распределения населения развитых стран по величине материальной обеспеченности;

           г) У-образные, в которых наибольшая частота свойственна обоим крайним значениям признака, например распределение облачности в районе Гринвичского меридиана.

 

 

А)

 

Б)

Рисунок 2

 

 

Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений прежде всего предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны.

 

Множество законов распределения случайных величин, используемых в метрологии, целесообразно классифицировать следующим образом:

 

• трапецеидальные (плосковершинные) распределения.

К ним относятся: равномерное, собственно трапецеидальное

                  и треугольное (Симпсона);

• уплощенные (приблизительно плосковершинные) распределения;
• экспоненциальные распределения;
• семейство распределений Стьюдента;
• двухмодальные распределения.

 

 

 

 

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса:

 

 

 

 

Где Ϭ – параметр рассеивания распределения, равный СКО;

Хц – центр распределения, равный математическому ожиданию.

Вид нормального рисунка показан на рисунке 3

Рисунок 3

При введении новой переменной t = (х – Хц)/Ϭ получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:

 

 

Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

 

 

называют функцией Лапласа. Для неё справедливы следующие равенства:

 

 

Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция F(t)связана с функцией Лапласа формулой:

Значения функции Лапласа для различных значений (t) приведены в таблице:

- Таблица 1 – Значения функции 

 

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,00000	0,50	0,19146	1,00	0,34134	1,50	0,43319	2,00	0,47725	3,00	0,49865
0,01	0,00399	0,51	0,19497	1,01	0,34375	1,51	0,43448	2,02	0,47831	3,05	0,49886
0,02	0,00798	0,52	0,19847	1,02	0,34614	1,52	0,43574	2,04	0,47932	3,10	0,49903
0,03	0,01197	0,53	0,20194	1,03	0,34849	1,53	0,43699	2,06	0,48030	3,15	0,49918
0,04	0,01595	0,54	0,20540	1,04	0,35083	1,54	0,43822	2,08	0,48124	3,20	0,49931
0,05	0,01994	0,55	0,20884	1,05	0,35314	1,55	0,43943	2,10	0,48214	3,25	0,49942
0,06	0,02392	0,56	0,21226	1,06	0,35543	1,56	0,44062	2,12	0,48300	3,30	0,49952
0,07	0,02790	0,57	0,21566	1,07	0,35769	1,57	0,44179	2,14	0,48382	3,35	0,49960
0,08	0,03188	0,58	0,21904	1,08	0,35993	1,58	0,44295	2,16	0,48461	3,40	0,49966
0,09	0,03586	0,59	0,22240	1,09	0,36214	1,59	0,44408	2,18	0,48537	3,45	0,49972
0,10	0,03983	0,60	0,22575	1,10	0,36433	1,60	0,44520	2,20	0,48610	3,50	0,49977
0,11	0,04380	0,61	0,22907	1,11	0,36650	1,61	0,44630	2,22	0,48679	3,55	0,49981
0,12	0,04776	0,62	0,23237	1,12	0,36864	1,62	0,44738	2,24	0,48745	3,60	0,49984
0,13	0,05172	0,63	0,23565	1,13	0,37076	1,63	0,44845	2,26	0,48809	3,65	0,49987
0,14	0,05567	0,64	0,23891	1,14	0,37286	1,64	0,44950	2,28	0,48870	3,70	0,49989
0,15	0,05962	0,65	0,24215	1,15	0,37493	1,65	0,45053	2,30	0,48928	3,75	0,49991
0,16	0,06356	0,66	0,24537	1,16	0,37698	1,66	0,45154	2,32	0,48983	3,80	0,49993
0,17	0,06749	0,67	0,24857	1,17	0,37900	1,67	0,45254	2,34	0,49036	3,85	0,49994
0,18	0,07142	0,68	0,25175	1,18	0,38100	1,68	0,45352	2,36	0,49086	3,90	0,49995
0,19	0,07535	0,69	0,25490	1,19	0,38298	1,69	0,45449	2,38	0,49134	3,95	0,49996
0,20	0,07926	0,70	0,25804	1,20	0,38493	1,70	0,45543	2,40	0,49180	4,00	0,49997
0,21	0,08317	0,71	0,26115	1,21	0,38686	1,71	0,45637	2,42	0,49224	4,05	0,49997
0,22	0,08706	0,72	0,26424	1,22	0,38877	1,72	0,45728	2,44	0,49266	4,10	0,49998
0,23	0,09095	0,73	0,26730	1,23	0,39065	1,73	0,45818	2,46	0,49305	4,15	0,49998
0,24	0,09483	0,74	0,27035	1,24	0,39251	1,74	0,45907	2,48	0,49343	4,20	0,49999
0,25	0,09871	0,75	0,27337	1,25	0,39435	1,75	0,45994	2,50	0,49379	4,25	0,49999
0,26	0,10257	0,76	0,27637	1,26	0,39617	1,76	0,46080	2,52	0,49413	4,30	0,49999
0,27	0,10642	0,77	0,27935	1,27	0,39796	1,77	0,46164	2,54	0,49446	4,35	0,49999
0,28	0,11026	0,78	0,28230	1,28	0,39973	1,78	0,46246	2,56	0,49477	4,40	0,49999
0,29	0,11409	0,79	0,28524	1,29	0,40147	1,79	0,46327	2,58	0,49506	4,45	0,50000
0,30	0,11791	0,80	0,28814	1,30	0,40320	1,80	0,46407	2,60	0,49534	4,50	0,50000
0,31	0,12172	0,81	0,29103	1,31	0,40490	1,81	0,46485	2,62	0,49560	4,55	0,50000
0,32	0,12552	0,82	0,29389	1,32	0,40658	1,82	0,46562	2,64	0,49585	4,60	0,50000
0,33	0,12930	0,83	0,29673	1,33	0,40824	1,83	0,46638	2,66	0,49609	4,65	0,50000
0,34	0,13307	0,84	0,29955	1,34	0,40988	1,84	0,46712	2,68	0,49632	4,70	0,50000
0,35	0,13683	0,85	0,30234	1,35	0,41149	1,85	0,46784	2,70	0,49653	4,75	0,50000
0,36	0,14058	0,86	0,30511	1,36	0,41309	1,86	0,46856	2,72	0,49674	4,80	0,50000
0,37	0,14431	0,87	0,30785	1,37	0,41466	1,87	0,46926	2,74	0,49693	4,85	0,50000
0,38	0,14803	0,88	0,31057	1,38	0,41621	1,88	0,46995	2,76	0,49711	4,90	0,50000
0,39	0,15173	0,89	0,31327	1,39	0,41774	1,89	0,47062	2,78	0,49728	4,95	0,50000
0,40	0,15542	0,90	0,31594	1,40	0,41924	1,90	0,47128	2,80	0,49744	5,00	0,50000
0,41	0,15910	0,91	0,31859	1,41	0,42073	1,91	0,47193	2,82	0,49760
0,42	0,16276	0,92	0,32121	1,42	0,42220	1,92	0,47257	2,84	0,49774
0,43	0,16640	0,93	0,32381	1,43	0,42364	1,93	0,47320	2,86	0,49788
0,44	0,17003	0,94	0,32639	1,44	0,42507	1,94	0,47381	2,88	0,49801
0,45	0,17364	0,95	0,32894	1,45	0,42647	1,95	0,47441	2,90	0,49813
0,46	0,17724	0,96	0,33147	1,46	0,42785	1,96	0,47500	2,92	0,49825
0,47	0,18082	0,97	0,33398	1,47	0,42922	1,97	0,47558	2,94	0,49836
0,48	0,18439	0,98	0,33646	1,48	0,43056	1,98	0,47615	2,96	0,49846
0,49	0,18793	0,99	0,33891	1,49	0,43189	1,99	0,47670	2,98	0,49856