Многократные измерения

Критерий c2 не инвариантен к числу столбцов и существенно возрастает с увеличением их числа. Поэтому для использования его при разном числе столбцов составлены таблицы квантилей распределения c2, входом в которые служит так называемое число степеней свободы v = (m – 1 - r). Чтобы совместить модель, соответствующую нормальному закону, с гистограммой, необходимо совместить координату центра, а для того, чтобы ширина модели соответствовала ширине гистограммы, ее нужно задать как г = 2 и v = m-3.Часть квантилей распределения c2q приведена в таблице №1.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения c2 меньше определенного из таблицы значения cq2 , то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Это не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. она не противоречит опытным данным. Если же c2выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:

• определяют оценки среднего арифметического значения х и СКО

• группируют результаты многократных наблюдений по интервалам длиной h, число которых определяют "так же, как и при построении гистограммы;

• для каждого интервала разбиения определяют его центр xio и подсчитывают число наблюдений П|, попавших в каждый интервал;

• вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее выбранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интервалов хi0 производят переход к нормированным серединам zi= (хi0 - x̅)/. Затем для каждого значения ziспомощью аналитической модели находят значение функции плотности вероятностей f(zi). Например, для нормального закона

По найденному значению f(zi) определяют ту часть Niимеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов Ni = nhf(zi)/, где n — общее число наблюдений;

• если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом. После этого определяют число степеней свободы v = m-1-r, где m — общее число интервалов. Если было произведено укрупнение, то m — число интервалов после укрупнения:

• определяют показатель разности частот c2;

• выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку первого рода. По уровню значимости и числу степеней свободы v по таблице находят границу критической области cq2, такую, что P{c2>cq2} = q. Вероятность того, что полученное значение c2 превышает cq2, равна q и мала. Поэтому, если оказывается, что c2 >cq2, то гипотеза о совпадении экспериментального и теоретического законов распределения отвергается. Если же c2<cq2, то гипотеза принимается.

Чем меньше q, тем больше значение cq2 (при том же числе степеней свободы v), тем легче выполняется условие c2<cq2и принимается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно принимать 0,02 <q< 0,01.

Иногда вместо проверки с односторонней критической областью применяют проверки с двусторонними критическими областями. При

этом оценивается вероятность  P{cqн2<c2<cqв2}.Уровень значимости критерия q делится на две части: q = q1 + q2. Как правило, принимают q1 = q2. По таблице №1 для P{c2>cq2} = q находят c12 при уровне значимости q, и числе степеней свободы v и c22  уровня значимости 1 — q2 и том же n. Гипотеза о совпадении распределений принимается, если

 

6. Систематические погрешности и методы их устранения

 

Систематические погрешности принято классифицировать по двум признакам:

• По характеру изменения во времени

• По причинам возникновения

По характеру изменения во времени они делятся на постоянные (неизменными в течении всей серии измерений) и переменные – изменяющиеся в процессе измерения.

По причинам возникновения погрешности делятся на:

• Методические

• Инструментальные

• Личные (субъективные)

 

        Результаты  измерения, полученные при наличии  систематической погрешности, называются  неисправленными.

       Исключение или  оценка систематических ошибок  может быть достигнуто следующими  путями:

• Устранение источников погрешностей до начала измерений
• Оценкой поправок и внесением их в результат измерения
• Оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.

 

Характерным примером устранения источников погрешности до начала измерений можно назвать калибровку «нуля» измерительных приборов перед экспериментом.

1. Статистический метод

В результате любого однократного измерения, погрешность измерения равна:

Х – Хд = Dсл+Dсист 

Где:

Dсл– случайная погрешность

Dсист– систематическая погрешность

Хд – действительное значение измеряемой величины (полученное с помощью образцового, более точного прибора).

В результате однократного измерения общая ошибка содержит обе составляющие ошибки и разделить их невозможно.

Если произвести многократные измерения при неизменных условиях, а затем вычислить среднее значение , то получаем

Приn ¥ ,       поэтому   

В этом случае в усредненном по многим опытам результате остается фактически только систематическая погрешность.

Таким образом, проведя многократные измерения, на практике можно выявить наличие большой систематической ошибки (например, «сдвиг» шкалы генератора и т.п.).

2)Метод замещения – осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех СИ не происходит никаких изменений (это фактически метод сравнения).

3) Метод противопоставления – измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдения.

4) Метод компенсации погрешности по знаку – предусматривает измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разным знаком.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Алгоритм обработки результата.

 

 

 

 

8. Решение.

 

1. Вычисление статистических характеристик.

  Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по результатам измерений Xi вариационного ряда (упорядоченной выборки).  В вариационном ряду результаты измерений располагают в порядке возрастания:

20,20,20,21,22,23,24, 25, 26, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 42, 43, 44, 45, 45, 45, 45, 46, 47, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 55, 57, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 70, 70, 70, 70.

Вычислим среднее арифметическое Х результатов наблюдений по формуле:

                                                                                          (1)

Где хi – результат i – ого измерения;

n – число наблюдений.

x̅=(20*3+21+22+23+24+25+26+30*11+40*9+42+43+44+45*4+46+47+50*8+55+57+60*9+70*5)/63=43,57

Вычислим оценку среднего арифметического отклонения результата измерений по формуле:

                                                                   (2)

Ϭ=14,3.

 

2. Определение наличия грубых погрешностей.

Определим наличие грубых погрешностей с использованием критерия “трех сигм”.

 

|xi- x̅|≤ 3Ϭ                                 (3)                                               

 

3Ϭ=42,9

 

21,91≤ 42,9

11,93≤ 42,9

1,93≤ 42,9

8,07≤ 42,9

18,07≤ 42,9

28,07≤ 42,9

Так как все неравенства выполняются, то грубые погрешности отсутствуют.

 

 

8.3Расчет оценки среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения.

 

 

                                                                         (4) 

Ϭх=14,3/7,94=1,8

 

 

 

4. Определение принадлежности результатов измерений нормальному распределению.

 

Приближенный метод проверки нормальности распределения.

  В качестве приближенного метода  проверки нормальности распределения  применяют метод, связанный с  оценками центральных моментов  третьего µ3 и четвертого µ4 порядков.

 

 

 

 

Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характеристики:

- показатель асимметрии по формуле:  

 

 

(5)

А=31376,35/214758,35 ≈ 0,15.

 

 

- эксцесс по формуле:

 

 

 

 

(6)

Е=6445742,45/3232113,1= 1,99

 

Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками:

- для асимметрии по формуле:

 

 

ϬА=0,297.

 

         - для эксцесса по формуле:

 

 

 

 

ϬЭ=0,566.

 

Если хотя бы одна из указанных характеристик по абсолютной величине значительно ( в 2-3 раза) превосходит свою среднюю квадратическую ошибку, то нормальность закона распределения следует подвергнуть сомнению и провести более тщательный анализ результатов наблюдений.

 

А/ϬА = 0,15 / 0,297 = 0,505.

Е/ϬЭ = 1,99 / 0,566 = 3,506.

 

Показатель асимметрии по абсолютной величине превосходит свою среднюю квадратическую ошибку в 0,505раз, а эксцесс превосходит свою среднюю квадратическую ошибку в 3,506раз - больше чем в 3 раза, поэтому следует провести более тщательный анализ результатов наблюдений.

 

Проверка нормальности распределения по критерию Пирсона (χ2)

Для проверки согласия между предполагаемым нормальным и эмпирическим распределением по критерию Пирсона (χ2) рекомендуется следующий порядок:

A) Результаты наблюдений группируются в интервальный вариационный ряд;

Б) Определяется длина и количество интервалов;

B) Подсчитывается количества mi наблюдений, находящихся в каждом из интервалов. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то его соединяют с соседним интервалом;

Г) Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к величине z = (х--mx)/Ϭx и вычисляют концы интервалов (Zi,Zi+1) по формулам:

 

 

 

 

Причем наименьшее значение z, т.е. z1 полагают равным -∞, а наибольшее, т.е. z8, полагают равным +∞.

 

Д) Для каждого интервала вычисляется теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-интервал по формуле

Здесь Ф - нормированная функция Лапласа (по таблице [1]); zB и zH - соответственно верхняя и нижняя границы i-го интервала. Е) Определяется мера расхождения по формуле

Весь диапазон наблюдений значений х делится на интервалы, т.е. производится разделение ряда экспериментальных данных от наименьшего xmin до наибольшего хmax на 8 интервалов, и подсчитывают количество значений mi, приходящихся на каждый i-ый интервал. Это число делят на общее число наблюдений n и находят частоту, соответствующую данному интервалу:

 

 

Сумма частот всех интервалов должна быть равна единице.

Число интервалов можно подсчитать по формуле Старджесса:

l = 1+3.32lgn = 7

Примем число интервалов равное 7.

 

Длина интервала h вычисляется по формуле:

 

h = (70-20) / 7 = 7,14

 

 

 

Оформим таблицу 3:

 

№	Интервал	Частота в интервалеmi	Частность Pi=mi/n	Среднее значение интервала Хi	ХiPi	Центрированное значение ẋ=хi-mx	ẋi2	ẋi2pi
1	20;30	9	0,143	25	3	-22,37	500,417	71,56
2	30;40	11	0,175	35	6,1	-12,37	153,017	26,78
3	40;50	18	0,285	45	12,1	-2,37	5,617	1,6
4	50;60	11	0,175	55	9,2	7,63	58,217	10,19
5	60;70	9	0,143	65	9,2	17,63	310,817	44,45
6	70;80	5	0,079	75	4,3	27,63	763,417	60,31
Σ		63	1,00		43,81			220,19