Многократные измерения

 

 

 

Нормальное распределение определяется двумя параметрами:x̅ и Ϭ.

 

Изменение величины параметра x̅ (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если x̅ возрастает, и влево, если x̅ убывает.

 

С возрастанием Ϭ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании Ϭ нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси Оу.

При любых значениях параметров x̅ и Ϭ площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице.

 

Семейство распределений Стьюдента

 

Эти законы описывают плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из n случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распределения Стьюдента нашли широкое применение при статистической обработке результатов многократных измерений. Их вид зависит от числа отсчетов n, по которым находится среднее арифметическое значение, поэтому и говорят о семействе законов.

В центрированном и нормированном виде они описываются формулой

 

 

где k - число степеней свободы, зависящее от числа n усредняющих отсчетов: k=n-1. Вид распределения Стьюдента для различных значений k показан на рисунке 2. При увеличении k распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса.

 

Распределения Стьюдента имеют ряд особенностей:

• при n<3 их СКО становится равным бесконечности, т.е. дисперсионная оценка ширины разброса не работает (перестает существовать);
• классический аппарат моментов для оценки формы и ширины распределения Стьюдента с малым числом степеней свободы оказывается не работоспособным, и их ширина и форма могут быть оценены лишь с использованием доверительных и энтропийных оценок. Этим распределение Стьюдента резко отличается от других распределений.

 

 

Трапецеидальные распределения

 

К трапецеидальным распределениям относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона).

 

Равномерное распределениеопределяется уравнением

 

 

Трапецеидальное распределение образуется как композиция двух равномерных распределений шириной a1 и а2:

 

 

Треугольное распределение (Симпсона) - это частный случай трапецеидального, для которого размеры исходных равномерных распределений одинаковы a1=a2:

 

 

где x̅, a, b - параметры распределения.

 

Математическое ожидание всех трапецеидальных распределений:

 

x̅ = (x1 + х2)/2.

 

Медианы из соображений симметрии равны МО. Равномерное и собственно трапецеидальное распределение моды не имеют, а мода треугольного равна 1/а.

 

Среднее квадратическое отклонение в зависимости от распределения определяется по формуле:

 

• равномерное Ϭр = a/;

 

• трапецеидальное Ϭ = 2=2

 

• треугольное Ϭ = а/.

 

Из приведенных уравнений следует, что СКО трапецеидальных распределений возрастает в 1,41 раза с ростом параметра b от нуля (треугольное) до а (равномерное). Коэффициент асимметрии всех трапецеидальных распределений равен нулю.

 

Равномерное распределение имеют погрешности: округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора, от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах или подпятниках. Суммируясь между собой, эти погрешности образуют трапецеидальные распределения с различными отношениями сторон.

 

 

2. Требование к оценкам измеряемой величины

 

Функции распределения описывают поведение непрерывных случайных величин, т.е. величин, возможные значения которых неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными. При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании выборок. Используемая выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности.

 

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. В отличии от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а закон распределения — от законов распределения самих случайных величин.

 

Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

 

Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.

Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию.

Точечной оценкой МО результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины

 

x̅ = (1/n).

 

При любом законе распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой.

 

Точечная оценка дисперсии, определяемая по формуле

 

D(x) = (1/n-1)2

 

является несмещенной и состоятельной.

 

СКО случайной величины х определяется как корень квадратный из дисперсии. Соответственно его оценка может быть найдена путем извлечения корня из оценки дисперсии. Однако эта операция является нелинейной процедурой, приводящей к смещенности получаемой таким образом оценки. Для исправления оценки СКО вводят поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблюдений n.

 

Он изменяется от k(3) = 1,13 до k(∞) ≈ 1,03. Оценка среднего квадратического отклонения

 

 

На практике пренебрегают учетом смещенности оценки СКО отдельных наблюдений и считают k(n) = 1.

Оценка СКО среднего арифметического значения

Оценки коэффициента асимметрии и эксцесса находятся по формулам

 

 

 

3. Понятие о грубых погрешностях

 

Грубая погрешность (промах) - это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором. К ним можно отнести:

 

• неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;
• неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора, например гирь;
• хаотические изменения параметров питающего СИ напряжения, например его амплитуды или частоты.

 

Грубые погрешности, как правило, возникают при однократных измерениях и обычно устраняются путем повторных измерений. Их причинами могут быть внезапные и кратковременные изменения условий измерения или оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.

При однократных измерениях обнаружить промах не представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.

 

Критерий “трех сигм” применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q<0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |xi-x̅|>3Ϭ, где Ϭ - оценка СКО измерений. Данный критерий надежен причисле измерений n> 20.. .50.

 

Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n>20). Число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину KшSx, будет:

n[1-Ф(Кш)],

где Ф(Кш) - значение нормированной функции Лапласа для X = Кш.

 

Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат,то:

n[1-Ф(Кш)]=1

Отсюда:

Ф(Кш)= (n-1)/n

 

Пользуясь критерием Шарле, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство ׀xi- x̅׀>KшSx

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Обработка результатов измерений

 

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов:

 

1. Исключают из результатов наблюдений известные систематические погрешности.
2. Вычисляют среднее арифметическое X результатов наблюдений по формуле:

3. Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения результата измерений по формуле:

4. Определяют наличие грубых погрешностей

5. Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения по формуле:

6. Определяют принадлежность результатов измерений нормальному распределению. Для этого строится гистограмма, количество интервалов в которой и их длина определяются соответственно по формулам 2 и 3. По методу моментов определяются асимметрия и эксцесс, и их средние квадратические ошибки.

 

По виду гистограммы и полученным величинам А, Е, ϬА, ϬЕ делают заключение о возможности принятия гипотезы о нормальном распределении результатов наблюдений.

7. Оценка закона распределения по статистическим критериям.
8. Определяют доверительные границы 8 случайной погрешности результата измерений по формуле:

9. Запись результата измерения по формуле:

 

 

 

5. Идентификация формы распределения результата.

 

В качестве приближенного метода проверки нормальности распределения применяют метод, связанный с оценками центральных моментов третьего и четвертого порядков. В случае нормальности распределения должны выполняться приближенные равенства:

;                                          

Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характеристики показатель асимметрии

и эксцесс .

Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками соответственно равными:

- для асимметрии,

- для эксцесса.

Если хотя бы одна из указанных характеристик по абсолютной величине значительно (2-3 раза) превосходит свою среднюю квадратическую ошибку, то нормальность закона распределения следует подвергнуть сомнению и провести более тщательный анализ результатов наблюдений(например, с помощью критерия Пирсона).

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используются критерии согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенных разными авторами. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона возможно при большом числе измерений (п>50) и заключается в вычислении величины c2 (хи-квадрат):

   

где ni, Ni — экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения; m — число интервалов разбиения; Pi— значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения;   .

При n®¥ случайная величина c2 имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы v = m - 1- r, где г — число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения г = 2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров — математического ожидания и СКО. Если бы выбранная модель в центрах всех m столбцов совпадала с экспериментальными данными, то все m разностей (ni –Ni) были бы равны нулю, а следовательно, и значение критерия c2 также было бы равно нулю. Таким образом, c2 естьмера суммарного отклонения между моделью и экспериментальным распределением.