Многократные измерения

 

 

mx=43,81 Dx=220,19σx=14,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№	Интервал	mi	Рi	n Рi	(mi- n Рi)2/ n Рi
1	20;30	9	0,0899	5,66	2,0278
2	30;40	11	0,16503	10,4	0,0151
3	40;50	18	0,25617	16,13	0,2167
4	50;60	11	0,3091	19,4733	3,7599
5	60;70	9	0,13214	8,3248	0,8597
6	70;80	5	0,0532	3,3516	0,8107
Σ		63	1,00		7,6899

Для вычисления χ2 составим расчетную таблицу 4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из таблицы 4 находим χ2= 7,69.

Если полученное значение меньше табличного значения, взятого для числа степеней свободы k = 1 - s - 1, то различие между распределениями могут оказаться случайными (незначительными). В этом случае признается справедливой гипотеза о согласии эмпирического распределения с теоретическим.

k = 6-2-1 = 4.

k=3, то c2табл=7,81 при Р=0,95

Так как c2<c2табл, то гипотеза о нормальности распределения принимается с вероятностью Р=0,95.

 

8.5  Построение гистограммы:

 

Статистический ряд часто оформляется графически в виде так называемой гистограммы. Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму. Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются интервалы и на каждом из интервалов, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала. Для построения гистограммы нужно частоту каждого интервала разделить на его длинуи полученное число взять в качестве высоты прямоугольника.

 

 

 

Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице. Очевидно, при увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие интервалы, при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице.

 

6. Определение доверительных границ:

Определим доверительные границы Ɛ случайной погрешности результата измерений по формуле:

где  tq – коэффициент Стьюдента, при заданной доверительной вероятности Р и числу измерений n.

Зададим  доверительную вероятность Р = 0,95 , n = 63 , тогда  tq= 1.997.

 

Ɛ = 1.997*14,3 = 28,56.

 

 

8.7Запись результата измерения

Результат измерения записывается в виде:

A = mx ± Ɛ,

А = 43,81±28,56 при Р = 0,95.

 

 

8. Исключение систематической погрешности

 

После проведения N измерений их разбивают на S серий (S>3) по njрезультатов наблюдений в каждой серии и затем устанавливают имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдений в разных сериях. После этого определяется внутрисерийная и межсерийная дисперсия:

где хij- i-тый результатj-той серии.

σвс2 характеризует случайные погрешности измерений.

σмс2 выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями. 

 

        Далее рассчитываем коэффициент  ошибки по формуле:

σвс2/(σвс2 +σмс2)   

      Показатель дифференциации по  формуле:

σмс2/(σвс2+σмс2)

       Чем больше отношение показателей  дифференциации к коэффициенту  ошибки, тем сильнее действие  фактора, по которому группировались  серии и тем больше систематического  различия между ними.

      Критерием оценки наличия систематической  погрешности в данном случае  является дисперсионный критерий  Фишера

F=σмс2/σвс2

F находится по таблицам для уровней значимости q, числа Nи числа серий S.

K2=N-S

K1=S-1

ЕслиF>Fq, то гипотеза об отсутствии смещения результатов наблюдения по сериям отвергается, т.е. обнаруживается систематическая погрешность.

 

 

РазбиваемN измерений наS серий:

1. 50, 30, 40, 70, 40, 30, 40
2. 50, 25, 50, 20, 40, 50, 50
3. 30, 30, 50, 40, 30, 30, 40
4. 50, 40, 60, 60, 30, 40, 40
5. 45, 50, 60, 30, 60, 60, 45
6. 60, 45, 60, 20, 20, 30, 50
7. 24, 26, 55, 57, 42, 43, 44
8. 45, 46, 47, 21, 22, 23, 70
9. 30, 30, 60 ,60, 70, 70, 70

1=42,86

2=40,71

3=35,71

4=45,71

5=50

6=36,71

7=44,43

8=39,14

9=54,57

σвс2=8760,55 = 43,32σмс2=266,2

Коэффициент ошибки равен 0,999

Показатель дифференциации 0,0009

Коэффициент Фишера F=0,0009

К2=63-9=54К1=9-1=8

При К2=55 и К1=5 по таблице имеем при q=0,05, F0,05=2,4 ,

и приq=0,01, F0,01=3,408.

Полученное значение F<2,21иF<3,02. Следовательно, в результатах не обнаруживается наличия систематических ошибок.

 

9. Заключение.

 

Мы провели обработку многократных измерений: с помощью критерия «трёх сигм» подтвердили отсутствие грубой погрешности, используя критерий Фишера, подтвердили отсутствие систематической погрешности, построили гистограмму, на основании которых предположили, что результаты измерения подчиняются нормальному распределению. Проведя, более тщательный анализ по критерию Пирсона, мы доказали принадлежность результатов измерений нормальному распределению. Систематической погрешности не обнаружено.