Многокритериальный анализ вариантов

Далее, для каждой альтернативы определяем величины , равные максимальному риску (наибольшее число в каждой строке матрицы рисков) и выбирают ту альтернативу, для которой максимальный риск минимален.

В нашей задаче: , , , , , , минимально . Принимаем альтернативу .

4. Критерий Гурвица

Это самый универсальный  критерий, который позволяет управлять  степенью «оптимизма - пессимизма»  ЛПР. Введем некоторый коэффициент  , который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для ЛПР исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью ( ). Коэффициент доверия показывает, насколько ЛПР может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для ЛПР равны, то следует принять .

Для реализации критерия определяются наилучшие  и наихудшие значения каждой альтернативе по формулам (3.2) и (3.3).

     (3.2)

      (3.3)

Далее вычисляем функции  полезности по формуле (3.4).

     (3.4)

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

Предположим, что для нашего примера ЛПР достаточно уверен в положительном результате и оценивает вероятность максимального успеха в .

В соответствии с расчетами  ЛПР следует выбрать альтернативу .

5. Критерий Гермеййера

Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом:

Матрица дополняется ещё одной строкой содержащей в каждом столбце наименьшее произведение имеющегося в нем результата на вероятность соответствующего состояния. Выбираются те варианты в столбцах, которых находится наибольшее значение этой строки.

Введем вероятность каждого  состояния:

Таблица 3.3 – Вероятности каждого состояния

	0,2
	0,3
	0,2
	0,2
	0,1

Таблица 3.4 – Таблица расчетов

	1,6	3,6	2,8	1	1,3	1	1
	1,8	3	2,2	2	0,8	0,8
	0,4	1,2	1,8	4,4	1,6	0,4
	2,4	4,2	2	0,2	0,9	0,2
	3	1,8	1,4	2,8	0,2	0,2
	2	2,4	1	3,8	0,9	0,9

По критерию Гермейера наилучшей стратегией будет стратегия .

 

ЗАДАНИЕ №4. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

На любом эмпирическом временном ряде из 30 значений (25 значений «рабочие» + оставшиеся 5 значений –  для проверки точности прогноза) провести анализ.

Таблица 4.1 – Исходные данные

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	15	5	10	35	26	19	23	46	38	31	34	58	51	41	46
	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	70	63	53	58	82	75	67	70	94	86	77	84	105	98	89

1. «Наивный» метод

Наивные методы предполагают, что некоторый последний период прогнозируемого времени ряда лучше  всего оценивает будущее этого  ряда.

     (4.1)

2. Метод сглаживания по трем и пяти точкам

Сглаживание по 5 точкам.

Если линейное сглаживание  временного ряда осуществляется по m = 5 точкам, то  сглаженные точки вычисляются методом скользящей средней по 5-и точкам, т. е. как средние арифметические значения соответствующих пяти последовательных значений эмпирического ряда. Таким образом, по выбранной методике найденная первая сглаженная точка является третьей в сглаженном ряду, найденная вторая – четвертой и т.д. Другим словами, все точки сглаженного ряда, начиная с третьей ( ) и заканчивая пред-предпоследней

( ) находятся по базовой формуле:

    (4.2)

где y_t – заданное значение элемента временного ряда;

- сглаженное значение элемента  временного ряда (t = 3, … , n – 2).

При этом теряются две первые и две последние точки ряда. Для их вычисления используют дополнительные эмпирические формулы:

     (4.3)

    (4.4)

    (4.5)

     (4.6)

Таблица 4.1 – Исходный и сглаженный временные ряды

15	7,8	19	29,8	34	42,4	70	54,6	75	70,4
5	13	23	30,4	58	43	63	58	67	77,6
10	18,2	46	31,4	51	46	53	65,2	70	78,4
35	19	38	34,4	41	53,2	58	66,2	94	83,3
26	22,6	31	41,4	46	54,2	82	67	86	88,2

Далее строится совмещенный график исходного и сглаженного рядов.

Рисунок 4.1 – Совмещенный график исходного (сплошная линия) и сглаженного

(пунктирная линия) рядов

В сглаженном ряду монотонность не наблюдается, это  означает, что имеются все основания  утверждать, что на основе эмпирического  ряда не может быть выявлена линейная тенденция. При этом построенный  тренд будет низкого качества, то есть он обладает плохими прогнозными  свойствами.

Сглаживание по 3 точкам.

Если линейное сглаживание  временного ряда осуществляется по m = 3 точкам, то  сглаженные точки вычисляются методом скользящей средней по 5-и точкам, т. е. как средние арифметические значения соответствующих трех последовательных значений эмпирического ряда. Таким образом, по выбранной методике найденная первая сглаженная точка является второй в сглаженном ряду, найденная вторая – третьей и т.д. Другим словами, все точки сглаженного ряда, начиная со второй ( ) и заканчивая предпоследней ( ) находятся по базовой формуле:

     (4.7)

При этом теряются первая и последняя точки ряда. Для их вычисления используют дополнительные эмпирические формулы:

     (4.8)

     (4.9)

Таблица 4.2 – Исходный и сглаженный временные ряды

15	13,1	19	22,7	34	41,0	70	59,7	75	47,7
5	10,0	23	29,3	58	47,7	63	62,0	67	70,7
10	16,7	46	35,7	51	50,0	53	58,0	70	77,0
35	23,7	38	38,3	41	46,0	58	64,3	94	83,3
26	26,7	31	34,3	46	52,3	82	71,7	86	88,4

Далее строится совмещенный график исходного и сглаженного рядов.

Рисунок 4.2 – Совмещенный график исходного (сплошная линия) и сглаженного

(пунктирная линия) рядов

В сглаженном ряду монотонность не наблюдается, это  означает, что имеются все основания  утверждать, что на основе эмпирического  ряда не может быть выявлена линейная тенденция. При этом построенный  тренд будет низкого качества, то есть он обладает плохими прогнозными  свойствами.

3. Обычный метод экспоненциального сглаживания

     (4.10)

Таблица 4.3 – Исходный и сглаженный экпоненциальный ряды

15	15	19	20,2	34	32,1	70	51,5	75	66,9
5	12	23	21,1	58	39,9	63	55,0	67	66,9
10	11,4	46	28,5	51	43,2	53	54,4	70	67,8
35	18,5	38	31,4	41	42,5	58	55,5	94	75,7
26	20,7	31	31,3	46	43,6	82	63,4	86	78,8

 

Далее строится совмещенный график исходного и сглаженного рядов.