Натуральные числа и ноль. Системы счисления

 

Департамент общего и  профессионального образования  Брянской области

Государственное бюджетное  образовательное учреждение  
среднего профессионального образования 
«Клинцовский педагогический колледж»

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине математика

 

Натуральные числа и ноль. Системы счисления.

1 вариант

 

 

 

 

 

 

 

Кокушиной Елены Николаевны

Специальность: 050050704

(дошкольное образование)

Отделение дошкольной и  специальной подготовки

Форма обучения заочная

Курс 3, группа 3ДО

Преподаватель: Т.Д. Вахнюх

 

 

 

 

Клинцы

2012

 

 

 

Содержание:

1.История возникновения понятия числа. Позиционные и непозиционные системы счисления. Аксиомы Пеано, понятие множества натуральных чисел, натурального ряда, счета …………………………………………………………………………………………………............ 2.Записать в римской системе счисления числа: 37, 1110, 39547; записать в десятичной системе счисления числа: XXVII, XLIV, LVIImCXXIV …………………………………………………. 3.Запись числа в десятичной системе счисления. Запись числа в системе счисления, отличной от десятичной ……………………………………………………………………………………... 4.Записать числа в виде суммы степеней основания с соответствующими коэффициентами и назвать эти числа в десятичной системе счисления: 41345=   ; 24667 =     ; 12002123 = ….. .  5.Верно ли записаны числа в восьмеричной системе счисления: 5478, 20858, 7958? …………. 6.Какие числа представлены следующими суммами: 6•103+5•10 + 8; 105+102; 2•73+6•71? ….. 7.Как перевести числа из десятичной системы счисления в р-ичную систему счисления? Перевести из десятичной в 3-ричную систему счисления следующие числа: 564, 126, 306… 8.Назвать наибольшее  и наименьшее  трехзначное число  в системе счисления с основаниями: 5, 7, 3………………………………………………………………………………………………… 9.Назвать предшествующее  и следующее числа для числа х: х=678,  х=667, х=1012…………. 10. Сосчитать количество фигур в 4-ичной  8-ичной системах счисления:……………………… 11. Выполнить действия над числами и сделать проверку в десятичной системе счисления (составить для р таблицу умножения) 35416 + 25556 ;  425•345 …………………………………………………………………………………… 12. Записать числа в порядке возрастания: 134, 136, 137, 135, 138, 139……………………………. 13. Список использованной  литературы………………………………………………………………..

3   9   9 9 9 9   9   11 11 11                 11 12 13

 

 

История возникновения понятия числа

История возникновения  чисел уходит корнями в далекое прошлое.

Если же рассмотреть  русские поговорки, то очень часто  встречается число 7.  Например – «семеро одного не ждут», или «семь раз отмерь, один отрежь» и т.д.  Можно предположить, что в древности на Руси число «семь» имело значение «много».

В результате очень долгого  периода развития человек пришел к этапу создания натуральных чисел – для сравнения множеств стали применять множества-посредники, так, например, если человек хотел показать,  например, сколько у него животных, он брал мешок, и складывал в него столько камешков, сколько животных он имел.  Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых предметов: речь шла о камешках, пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще.

 Изначально на земле существовало большое количество племен, которые для счета использовали всего лишь два числа. А именно – «один» и «два». У некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов – словами «весь человек»

Существуют данные, которые  позволяют говорить о том, что  именно шумеры первыми начали записывать числа. Однако во времена шумерии, числа  записывались при помощи всего лишь двух цифр. Это были, по сути, не цифры, а черточки. Вертикальная черточка – значит число «1», а угол из лежачих двух черточек означал число «10».

После того, как человек  научился оперировать множествами-посредниками, он установил то общее, что существует, например, между пяти пальцами и пятью яблоками, т.е. когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например яблок, не перечислялись уже «одно яблоко», «два яблока», а проговаривались слова «один», «два». Это был важный этап в развитии понятия числа. Историки предполагают, что это произошло в каменном веке в эпоху первобытнообщинного строя, причем в 10-5 тысячелетии до н.э.

То есть система счета, а значит и история возникновения чисел ведут свой отсчет еще с древних времен, когда люди, по сути, жили в пещерах.

Со временем люди научились не только называть числа. Но и обозначать их, и выполнять над ними действия. Натуральный ряд чисел возник не сразу, история его формирования длительная. Запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постепенно. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел.  Древнегреческий математик Архимед доказал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно.

Возникновение понятия натурального числа – это важнейший момент в развитии математики. Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика» ( от греческого arithmos – число). Следовательно, арифметика – наука о числе, она возникла в странах Дальнего Востока: Китае, Вавилоне, Египте, Индии. Накопленные в этих странах математические знания продолжили развивать ученые Древней Греции. Большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии. Та система счета, которой люди пользуются сегодня, уходит корнями в Индию, где она и была изобретена одну тысячу лет назад. То есть в 900 годах. Именно тогда и именно в Индии была изобретена десятичная система исчисления, которая включала в себя цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Числа возникли в связи с потребностью счета и измерения и прошли долгий путь исторического развития, далее арифметику изучали европейские математики. В V веке термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А.Боэцкий, переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык. Его книга «О введении в арифметику» до XVI века была образцом для всей европейской математики.

Во второй половине XIX века натуральные числа стали основой всей математической науки, в связи с чем, появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа. Так, в XIX веке была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на изучение натурального числа оказала и созданная в XIX веке теория множеств.

 Позиционные и непозиционные системы счисления

Система счисления — это запись чисел и выполнение действий над ними.

Еще до появления письменности люди называли числа и вели счет при помощи пальцев рук и ног, деревянных палочек с зарубками, шнуров и веревок с узлами. Способ «записи» чисел при помощи зарубок и веревок с узлами не являлся удобным, т.к. для записи больших чисел приходилось делать много зарубок и узлов, поэтому счет стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов. Наряду с группами по 10 элементов встречались группы по 5, 12, 20 элементов. Так, счет двадцатками использовали люди племени майя, а также применялся счет пятками и группами по 12 элементов. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. Так число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще пять, а записывалось такое число двумя знаками, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой – сколько взято единиц. Древневавилонская система используется до сих пор при измерении времени и углов в минутах и секундах.

Общепринятой позиционной  системой счисления является десятичная система счисления. Причина, по которой она оказалась общепринятой, совсем не математического характера. Десять пальцев рук — вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался с доисторических времен. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т.е. использовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно возникает вопрос: «А как дальше?». Поэтому логично принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда).

Исторически десятичная система счисления  сложилась и развивалась в  Индии в VI веке. В течение многих столетий, переходя от народа к народу, старинные индийские цифры много раз изменялись, пока не приняли современную форму. Первыми заимствовали у индейцев цифры и десятичную систему счисления арабы в  IX веке, европейцы познакомились с достижениями индо-арабской математики в XI веке. В связи с ростом торговли значительно умножился счет. В связи с этим появилась потребность в совершенствовании методов счета. Европейские математики перевели на латинский язык труды греческих и арабских ученых. С десятичной системой счисления они познакомились через перевод книги аль-Хорезми.в 1202 г. Вышла «Книга абака» Л.Фибоначчи, где вводятся индийские цифры и нуль. С XVI началось внедрение десятичной системы, а к  XVI в. она стала использоваться в странах Западной Европы.

В России десятичная система счисления  стала известной благодаря книге  первого выдающегося педагога-математика Л.Ф.Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», которая вышла в 1703 г. на славянском языке. В ней выделено особое действие «нумерация, или счисление»: «Нумерация есть счисление (называние) словами всех чисел, которые изображаемы быть могут десятью такими знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять значащих; последняя же 0 (которая цифрой или ничем именуется), если стоит одна, то сама по себе значение не имеет. Когда же она присоединяется к какой-нибудь значащейся, то увеличивает в десять раз.

Кроме десятичной системы счисления возможны позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием.

В древнем Вавилоне, например, применялась  шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до наших дней делении часа или градуса на   минут, а минуты на   секунд. Эта система возникла около двух тысячелетий до нашей эры при слиянии в одно государство двух древних народов — сумерийцев и аккадян. Во вновь образованном едином государстве остались в ходу единицы веса, используемые ранее тем и другим народами. Одна из этих единиц была приблизительно в шестьдесят раз больше другой. Установившееся соотношение единиц во взвешивании было перенесено и в другие области, требовавшие счета.

Существуют позиционные  и непозиционные системы счисления.                                              Рассмотрим три числа  ,  ,  . Эти числа различны, но, если посмотреть на них внимательно, то можно заметить, что в их записи участвуют одни и те же цифры. Различаются же записи расположением цифр, иными словами, тем, какую позицию занимает та или иная цифра. Отсюда и пошло название такой нумерации — позиционная.

Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

 

 

Непозиционная система счисления характеризуется тем, что каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Хорошо известным примером непозиционной системы счисления является римская система, возникшая в средние века. В этой системе счисления роль цифр играют буквы латинского алфавита.

Все остальные числа  получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа. Например, IV – четыре, XC – девяносто.

Запишем несколько чисел  в римской системе счисления: 128 – это сто (C) плюс десять (X) плюс десять (X) плюс восемь (VIII), значит 128=CXXVIII

193 – это сто (C) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (XC) плюс три (III)? Pyfxbn 193=CXCIII

564 – ‘это пятьсот(D) плюс пятьдесят (L) плюс десять(X) плюс четыре, т.е без одного пять (IV),  значит 564=DLXIV

2708 – это две тысячи (MM) плюс пятьсот (D) плюс сто (C) плюс сто (C) плюс пять (V) плюс тря (III), значит 2708=ММDCCVIII

Если число содержит несколько  тысяч, то для его записи в римской  нумерации пользуются повторением  знака M. Вообще же числа четырех-, пяти-, и шестизначные записывались с помощью буквы m (от лат. слова mille – тысяча). Слева от которой записывали тысячи, а справа – сотни, десятки. Единицы. Так, запись CXXXIIImDCCCXLII является записью числа 133842.

В России до XVIII в.  в основном употреблялась славянская нумерация, более стройная и удобная, чем римская, но тоже непозиционная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак – титло.

Римкая и славянская системы записи чисел были более удобны, чем зарубки на бирках, т.к. позволяли записывать большие числа, но выполнение действий над ними в таких системах было весьма сложным делом. Следует отметить, что очень неудобны и сложны в непозиционной системе арифметические действия, невозможно записывать дробные и отрицательные числа, а также для записи больших чисел приходится вводить новые цифры и всегда находятся числа, которые трудно изобразить даже вновь введенными цифрами.

Поэтому нет ничего удивительного в том, что римская система была быстро вытеснена позиционной системой счисления. На смену пришла десятичная система счисления.

Запись чисел римскими цифрами применяется теперь очень редко и только в тех случаях, когда не требуется выполнять над числами арифметические действия, например, для обозначения исторических дат (   век), для нумерации глав в книгах, в декоративных целях — циферблат часов и т. п.