Натуральные числа и ноль. Системы счисления

 

 

 

Аксиомы Пеано, понятие множества натуральных  чисел, натурального ряда, счета.

 

Джузеппе Пеано

Вплоть до конца XIX века, к примеру, арифметика не была формализована. Только на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков итальянский математик Джузеппе Пеано предложил систему аксиом, определяющих натуральный ряд.  Только с помощью аксиом Пеано стало возможным формализовать арифметику.   И только после их введения у математиков появился инструмент для доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также возможность использовать целые числа для построения чисел рациональных и вещественных.

Вот как выглядят аксиомы Пеано в словесной форме:    1. 1 является натуральным числом;  2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;  4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;  5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

  Математическая формулировка аксиомы Пиано:

 

Введём функцию  , которая сопоставляет числу   следующее за ним число.

 

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

 

Или так:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

 

Понятие множества  натуральных чисел:

 

Формальное определение  натуральных чисел  также сформулировал итальянский математик  Пеано XIX веке. Аксиомы Пеано основывались на более ранних построениях  немецкого математика Грассмана. Непротиворечивость арифметики  Пеано доказана  в 1936 году  Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала    Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления), т.е. натуральные числа - это естественные числа.

Всего существуют два  подхода к пониманию натуральных  чисел - это числа, используемые при:

1) перечислении (нумерации) предметов, например: первый, второй, третий и т.д. Этот подход общепринятый во многих странах мира (в том числе и в России);

2) обозначении количества предметов (например: нет предметов, один предмет, два предмета…и т.д.). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Натуральными числами не являются: отрицательные и нецелые числа. Число 0 также натуральным числом не является, так как означает полное отсутствие чего бы то ни было. Значит, счет предметов тоже отсутствует.

Множество всех натуральных  чисел принято обозначать знаком  N. 
Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его.

Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют натуральный ряд  чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Наименьшим числом в натуральном ряду является число 1 (один, единица), наибольшего числа в натуральном ряду нет. Натуральный ряд чисел является бесконечным. Натуральный ряд построен так, что каждое следующее число на 1 (единицу) больше предыдущего. Какое число надо прибавить к натуральному числу, чтобы назвать следующее натуральное число? Нужно прибавить число 1 (один), тогда получится следующее натуральное число. Натуральный ряд чисел можно легко представить визуально (см. таблицу ниже)

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

 

В таблице наглядно представлена последовательность натуральных чисел, образующих натуральный ряд чисел.

Любое множество, все элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие с элементами некоторого начального сегмента нашей бесконечной последовательности символов, называется конечным множеством. При этом на число элементов множества указывает последний символ сегмента. Например, множество предметов, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с начальным сегментом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, является конечным множеством, содержащим 8 («восемь») элементов. Символ 8 указывает на «число» предметов в исходном множестве.

 

Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, начиная с 1 и до бесконечности, называются натуральным рядом.

 

Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи:

1) Установить количество предметов в этом множестве, т.е. найти количественную оценку этого множества;

2) Установить определённый порядок между предметами этого множества.

 

 

 

2.  Записать  в римской системе счисления  числа: 37, 1110, 39547; записать в десятичной  системе счисления числа: XXVII, XLIV, LVII_mCXXIV

 

37 = XXXVII, 1110 = MCX, 39547 = XXXIX_mDXLVII

XXVII = 27, XLIV = 44, LVII_mCXXIV = 57124

 

3. Для записи числа в десятичной системе счисления используется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

 

Десятичной  записью натурального числа х  называется его представление в  виде: х = an •10n + an-1•10n-1 + … + a1 •10 + a0, где коэффициенты an , an-1, a1, a0  принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и an ≠ 0

 

Десятичная запись числа  позволяет просто решать вопрос о  том, какое из них меньше.

 Запишем число 362 в десятичной системе счисления:

 

362 = 3•100  +6 •10 + 2 или 362 = 3 •10²  + 6 •10¹ + 2 •10⁰

 

 

Запись числа  в системе, отличной от десятичной

 

Основанием позиционной  системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое  натуральное число p ≥ 2. Система счисления с основанием p называется p-ичной, если p = 8 – восьмеричной, если p = 10 – десятичной.

 

Записью натурального числа х в системе счисления  с основанием p называется его представление в виде: x = anpn + an-1pn-1 + …+a1p + a0 , где коэффициенты an, an-1, a1, a0 принимают значения 0, 1, 2, … , p an -1 и an ≠ 0

 

4. Записать  числа в виде суммы степеней  основания с соответствующими  коэффициентами и назвать эти числа в десятичной системе счисления: 4134₅ =     ; 2466₇ =     ; 1200212₃ =                

• 4134₅ = 4 • 5³ + 1• 5² + 3• 5 + 4 = 500 + 25 + 15 + 4 = 544

4134₅ = 544₁₀

• 2466₇ = 2 • 7³ + 4• 7² + 6•7 + 6 = 686 + 196 + 42 + 6 = 930

2466₇ = 930₁₀

• 1200212₃ = 1 • 3⁶ + 2• 3⁵ + 0 • 3⁴ + + 0 • 3³ + 2• 3² + 1• 3 + 2 = 729 + 486 + 0 +

+ 0 +18 + 3 + 2 = 1238

1200212₃ = 1238₁₀

 

5.  Верно ли записаны числа в восьмеричной системе счисления: 547₈, 2085₈, 795₈?

547₈ – верно, т.к. все коэффициенты меньше основания.

2085₈ – неверно, т.к. один из коэффициентов равно основанию.

795₈ – неверно, т.к. один из коэффициентов больше основания.

 

6. Какие числа представлены следующими суммами: 6•10³ + 5•10 + 8; 10⁵ + 10²; 2•7³ + 6•7¹?

6•10³ + 5•10 + 8 = 6000 + 50 + 8 = 6058

10⁵ + 10² = 100000 + 100 = 100100

2•7³ + 6•7¹ + 1 = 2061₇ = 729₁₀

7. Как перевести числа из десятичной системы счисления в р-ичную систему счисления? Перевести из десятичной в 3-ричную систему счисления следующие числа: 564, 126, 306.

Запись числа х в р-ичной системе находят так: число х делят (в десятичной системе) на р; остаток, полученный при делении, даст последнюю цифру а₀ в р-ичной записи числа х; неполное частное снова делим на р, новый остаток даст предпоследнюю цифру р-ичной записи числа х; продолжая деление, найдем все цифры р-ичной записи числа х.

Пример:

а) Выполнить перевод  числа 19 в двоичную систему счисления.

Решение

p = 2

 

Таким образом, 19 = 10011_2.

 

 

Переведем число 564 из десятичной системы счисления в троичную систему счисления:

564		3
54		188			3
24		18			62				3
24		8			60				20		3
0			6			2		18				6		3
			2					2				6		2
				0

564₁₀ = 202220₃

 

Переведем число 126 из десятичной системы счисления в троичную систему счисления:

126	3
12	42		3
6	3		14			3
6	12		12			4	3
0		12		2	3			1
		0			1

126₁₀ = 11200₃

 

Переведем число 306 из десятичной системы счисления в троичную систему счисления:

306	3
30	102	3
6	9	34		3
6	12	33		11	3
0	12	1	9		3	3
	0		2		3	1
					0

306₁₀ = 102100₃

 

8.  Назвать  наибольшее и наименьшее  трехзначное  число в системе счисления  с основаниями: 5, 7, 3.

Наибольшее  трехзначное  число в системе счисления  с основанием 5 – 444₅

Наименьшее трехзначное  число в системе счисления  с основанием 5 – 100₅

Наибольшее  трехзначное  число в системе счисления  с основанием 7 – 666₆

Наименьшее трехзначное  число в системе счисления с основанием 7 – 100₆

Наибольшее  трехзначное  число в системе счисления  с основанием 3 – 222₂

Наименьшее трехзначное  число в системе счисления  с основанием 3 – 100₂

 

9. Назвать предшествующее  и следующее числа для числа х: х=67₈,  х=66₇, х=101₂