Нормальная жорданова форма матрицы

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

«УО» БЕЛОРУССКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра прикладной математики и экономической кибернетики

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Линейная алгебра и аналитическая геометрия                                                                на тему: Нормальная жорданова форма матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНСК 2012 

 РЕФЕРАТ

 

     

     Курсовая работа: 30 с., 9 рис., 2 табл., 11 источников.

 

     АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАТНОСТЬ, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРАТНОСТЬ, ЖОРДАНОВА КЛЕТКА, ПРИСОЕДИНЁННЫЕ ВЕКТОРЫ, ЖОРДАНОВ БЛОК, ЖОРДАНОВА ФОРМА, ЖОРДАНОВ БАЗИС, ЖОРДАНОВА КЛЕТКА, ЖОРДАНОВА ЛЕСТНИЦА, ПРОГНОЗ, ЧИСЛЕННОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ

 

    Объект исследования – нормальная жорданова форма матрицы.

    Предмет исследования – построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы, применение жордановой формы матрицы.

    Цель работы: рассмотреть основы теории жордановой формы матрицы, изучить методы её построения, рассмотреть её применение в различных математических моделях.

    Методы исследования: математические, анализа, сравнительного анализа, моделирования, обобщения, прогнозирования, синтеза.

    Исследования и разработки: изучены методы построения жорданова базиса и жордановой формы матрицы, найдено применение жордановой формы матрицы в математической модели для оптимального прогноза численности населения страны. 

    Область  возможного применения: всевозможные математические модели, связанные с явлениями окружающего мира (включая и общественные).

    Значимость: применение жордановой формы к различным математическим моделям позволяет значительно совершенствовать данные методы решения различных задач.

    Автор работы  подтверждает, что приведённый в  неё расчётно-аналитический материал  правильно и объективно отражает  состояние исследуемого процесса, а все заимствованные из литературных  источников и других источников  теоретические, методологические  и методические положения и  концепции сопровождаются ссылками  на их автора.

 

                                                                                           

__________________

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение 4

1. Основы теории жордановой формы матрицы 5

2. Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы 15

3. Приложение жордановой формы матрицы 23

Заключение 29

Список использованных источников 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

   

    В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и тому подобные матрицы. Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория   жордановых нормальных форм, которая и является темой данной работы.  Одним из первых жорданова форма была рассмотрена известным французским математиком Жорданом, откуда и получила своё название.

    В данной работе мы рассмотрим основные понятие и теоремы, необходимые для построения жордановой формы, а также непосредственно способы построения. Стоит обратить внимание на то, что проделав немалую работу в изучении данной темы, мы наткнулись как минимум на 5 различных способов конструирования жорданова базиса и жордановой формы матрицы, что весьма интересно. Однако в связи с ограничением в объёме, мы постарались выбрать три самых эффективных, интересных и показательных приёмов и изложить в данной работе.

    В процессе  изучения поставленной задачи, мы  смогли убедиться в том, что  жорданова форма матрицы важна  не только в линейной алгебре, но и в других сферах, например, физике и химии. Но наибольшее  значение она приобретает в конструировании математических моделей, необходимых для решения задач, связанных с явлениями окружающего нас мира. Примером такой задачи в данной работе послужил прогноз численности населения страны на 200 лет и оптимальный выбор демографических показателей для стабилизации роста населения.

    Материалы электронного  ресурса «Жорданова форма матрицы  оператора», учебного пособия «Теория матриц» П. Ланкастера и «Теория матриц» Ф.Р. Гантмахера были использованы для написания главы «Основы теории жордановой формы», а также частично были задействованы в остальных главах. Для написания главы «Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы» были использованы практическое пособие  «Практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса» Уховского М.К ,              

учебное пособие «Построение жорданова базиса» Манина Ю.И. Для написания главы «Приложения жордановой формы матрицы» был использован электронный ресурс статья в журнале СПбГМТУ «Математика в ВУЗе» Сушковой М.В. Также был задействован ещё ряд ресурсов для написания работы, которые описаны в списке использованных источников.

        

    1 Основы теории жордановой формы матрицы

 

    1.1 Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения

  

  

   Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве над числовым полем K. Предположим, что все корни характеристического многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим характеристический многочлен оператора:                          

f ( λ ) = … ,

где ≠ при i ≠ j , i, j = 1,2, ... , p. Здесь

.

    Число называется алгебраической кратностью собственного значения Максимальное значение линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению , называется его геометрической кратностью и обозначается .

   Теорема. ≤ .

    Если , i = 1, 2, … , p , то количество линейно независимых собственных векторов оператора  A равно размерности пространства, и из них можно составить базис в пространстве . В этом базисе матрица оператора A имеет диагональный вид:

 

Рисунок 1.1 – Матрица

Источник: [1, c.2].

Каждое собственное значение встречаются на диагонали этой матрицы столько раз,  какова  его алгебраическая кратность. Вне диагонали все элементы матрицы равны нулю [1, c. 2].

     

    1.2 Жорданова клетка

  

 

 

    Рассмотрим матрицу оператора размера k × k:                                            

             

           (1.1)

Рисунок 1.2 – Матрица оператора

Источник: [2, c. 189].

Её характеристический многочлен  имеет корень кратности k. Таким образом, данная матрица имеет собственное значение алгебраической кратности k. Отвечающие ему собственные векторы – это ненулевые решения однородной системы линейных уравнений с матрицей

 

Рисунок 1.3 – Матрица B

Источник: [1, c. 3].

    Так как ранг B= k - 1, так что размерность собственного подпространства равна 1, то существует лишь один линейно независимый собственный вектор. Таким образом, при k ≤ 2 не существует базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора, то есть ни в одном базисе матрица оператора не может иметь диагональный вид. Матрица называется жордановой клеткой порядка k, соответствующей собственному значению [7].

 

 

 

3.  Присоединённые векторы

  

 

Элемент x называется присоединённым вектором оператора А, отвечающий собственному значению , если для некоторого натурального числа m ≥ 1 выполняется соотношение:

( x ≠ 0, ( x = 0.

    При этом число m называется высотой присоединённого вектора  x. Иными словами, если x – присоединённый вектор высоты m, то элемент ( является собственным вектором оператора А. Очевидно, собственные векторы – это присоединённые векторы высоты 1(здесь (=I)[3, c. 58].

    Рассмотрим последовательность векторов , … ,  , для которых выполняется соотношение ≠ 0:

А =

А = +

А = +

.

.

.

А = +

или эквивалентно:

                                       (А = 0  =>  (А = 0,

(А =   =>  = 0,

(А =   =>  = 0,

……………               …………….

(А =   =>  = 0.

 

Таким образом, цепочка векторов , … ,  состоит из собственного вектора и присоединённых векторов … , .

    Введём обозначение B=A- I и запишем предыдущие соотношения в виде:

B=0 =>   B=0,

B=  =>   =0,

B=  =>   =0,

……             ……

B=  =>   =0.

   

    Теорема. Векторы , … ,  линейно независимы.

Отметим, что в случае, когда количество векторов , … ,  равно размерности пространства, т.е. m=n, эти векторы образуют базис в оператора А в этом базисе имеет вид жордановой клетки порядка n с числом на диагонали (см. (1))[1, c. 4].

 

 

 

4.  Жорданов блок

 

  

 

    Жордановым блоком, отвечающим собственному значению называется блочно-диагональная матрица, каждый блок которой представляет собой жорданову клетку вида (1.1):

  

 

Рисунок 1.4 – Жорданов блок

Источник: [6, c.5].

    На главной диагонали матрицы расположены s жордановых клеток , … , порядков ,… ,  , где s – геометрическая кратность собственного значения . Сумма порядков этих клеток равна алгебраической кратности собственного значения , т.е.

= m.

    Все элементы матрицы вне жордановых клеток равны нулю. Порядок расположения жордановых клеток в матрице А( определён неоднозначно [5].

    Утверждение. Алгебраическая кратность собственного значения равна сумме жордановых клеток с этим собственным значением. А геометрическая кратность собственного значения равна числу жордановых клеток с собственным значением или числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению [6, c. 5].

    Рассмотрим простой случай, когда характеристический многочлен матрицы имеет вид

f (λ) =

и геометрическая кратность  собственного значения равна s.

Пример 1. Пусть m=2, s=1. Тогда:

 

А() =

 

Пример 2. Пусть m=3, s=2. Тогда имеем жорданов блок, состоящий из двух жордановых клеток порядков 1 и 2:

 

А() =  либо А() = .

 

Пример 3. Пусть m=4, s=1. В данном случае имеется одна жорданова клетка:

 

А()=.

 

Пример 4. Пусть m=4, s=2. В этой ситуации жорданов блок состоит из двух клеток, но порядки этих клеток однозначно не определяются: либо имеем две клетки порядка 2 каждая, либо две клетки, одна из которых имеет порядок 1, а вторая – 3:

 

А()= либо А()=[4, c. 297].

 

 

 

 

5.  Теорема о жордановой форме матрицы оператора

  

 

 

   

  

    Пусть линейный оператор А действует в линейном пространстве над полем комплексных чисел размерности n и его характеристический многочлен имеет вид:

f ( λ ) = … ,

 где ≠ при j ≠ k,

.

    Тогда в этом  пространстве существует базис,  состоящий из собственных и  присоединённых векторов оператора А, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональную форму (называется жордановой формой)

 

Рисунок 1.5 – Блочно-диагональная матрица

Источник: [5].

где А( – жорданов блок, соответствующий собственному значению . Указанный базис называется жордановым.

    Сформулированная  теорема верна и в случае, когда линейный оператор действует в линейном пространстве над произвольным полем, но все корни характеристического многочлена принадлежат этому полю [7].  

    Рассмотрим несколько  примеров. Обозначим через n размерность пространства, и – алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения соответственно.

    Пример 1. Пусть n=2, ≠ . Тогда матрица оператора может быть приведена к диагональному виду:

 

.