Нормальная жорданова форма матрицы

 

Таблица  – 3.2 –  Динамика численности населения  за 200 лет (новый расчёт)

 

n	t					Население
0	0	30,00	40,00	30,00	25,00	125,0
1	20	41,94	28,50	32,00	31,00	133,4
2	40	30,30	39,85	22,80	34,80	127,8
3	60	41,65	28,79	31,88	29,88	132,2
4	80	30,59	39,56	23,03	34,27	127,5
5	100	41,36	29,06	31,65	29,83	131,9
6	120	30,87	39,30	23,25	34,09	127,5
7	140	41,09	29,33	31,44	29,91	131,8
8	160	31,13	39,04	23,46	33,96	127,6
9	180	40,84	29,57	31,23	30,01	131,7
10	200	31,38	38,80	23,66	33,87	127,7

 

Источник: [11].

 

Таким образом, подбором рождаемости мы на 200 лет обеспечили стабильность населения страны. Оно колеблется около 130 миллионов. Колебания численности отдельных групп при этом довольно значительны: их размах порядка 14-15 процентов от средней величины. Причина этих колебаний в том, что, у матрицы A теперь имеются два собственных числа, по модулю близких к единице, и одно из них отрицательно. То есть мы имеем результат примерно такого вида:

                               (3.16)

Последние два слагаемых  затухают с ростом n из-за того, что модули третьего и четвертого собственных числе меньше, чем 1. А второе слагаемое обеспечивает колебания X от значения - к значению + и обратно.

    При заданном  нами приближенном значении g матрица A не имеет cобственного числа, в точности равного 1. Поэтому численность в группах медленно меняется на фоне этих больших колебаний. Можно, конечно, пытаться подобрать рождаемость, чтобы добиться собственного числа, еще точнее равного 1, и затем выяснять, насколько второе собственное число близко к (-1). Но, разумеется, уточнения собственных чисел в этой задаче не имеют смысла, так как и начальные значения и сама матрица A заданы с большой погрешностью (а точное измерение рождаемости и смертности в принципе не дает нам основы для точных вычислений, так как зафиксировать их невозможно). Уточнение этой модели должно идти по пути учета других зависимостей в обществе [11].

    Таким образом,  на примере прогнозирования численности  населения, мы доказали возможным  применения жордановой формы  матрицы в этой области. При помощи жордановой формы можно непосредственно управлять процессом, не допуская ни гибели страны, ни катастрофического увеличения населения. В конечном итоге мы добились того, что обеспечили на 200 лет стабильность демографической ситуации.

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

 

   Таким образом,  чтобы понять сущность жордановой  формы матрицы и её построения, мы рассмотрели такие понятия,  как: алгебраическая кратность,  геометрическая кратность, жорданова клетка,  присоединённые векторы, жорданов блок и т.д. Выяснили и доказали на практике, что жорданов базис и жорданову форму матрицы можно построить несколькими способами, однако выбрать самый надёжный и быстрый способ нельзя, поскольку каждый из них имеет как достоинства, так недостатки. Если один способ даёт нам стопроцентную гарантию построения жордановой формы матрицы, то в тоже время он отнимает достаточно много времени и занимает большой объём. Второй способ более лаконичный и легче применяется на практике, но посредством него ни при всех случаях можно добиться построения жордановой формы матрицы. И наконец, третий способ, который, как мы успели убедиться, самый быстрый, но с мощью него можно построить только лишь жорданову форму матрицы, исключая построения жорданова базиса. 

     Безусловно, обилие  способ построения жордановой  формы матрицы весьма захватывает, хочется рассмотреть их все и применить на практике, однако самая весомая часть в данной работе отнюдь не построение блочно-диагональных матриц. Именно применение жордановой формы в математической модели для оптимального прогноза численности населения страны самая значимая и интересная часть данной курсовой. На примере прогнозирования численности населения, мы доказали возможным применения жордановой формы матрицы в этой области. При помощи жордановой формы можно непосредственно управлять процессом, не допуская ни гибели страны, ни катастрофического увеличения населения. В конечном итоге мы добились того, что обеспечили на 200 лет стабильность демографической ситуации. И это действительно удивляет и захватывает, ведь мы от простых преобразований матрицы перешли к таким глобальным проблема.

    Таким образом,  мы добились всех поставленных  целей и доказали значимость  жордановой формы матрицы не  только в области математики, но и в совершенно противоположных  ей сферах.

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

1) Жорданова форма матрицы оператора [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_gen/6/JF.pdf. – Дата доступа: 29.04.12.

2) Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц: учеб. пособие / Ф.Р.Гантмхер. — М.: Наука, 1966. – 576 с.

3) Ланкастер, П. Теория матриц: учеб. пособие / П.Ланкастер. — М.: Наука, 1973. – 282 с.

4) Халмош П. Конечномерные векторные пространства: учеб. пособие / П.Халмош. — М.: Физматгиз, 1963. – 264 с.

5) Жордановы матрицы [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://dep805.ru/education/kk/jmatrix/part2.htm#def7. – Дата доступа:29.04.12. 

6) Удоденко, Н.Н. Руководство к решению задач по алгебре часть 2: учеб. пособие / Н.Н. Удоденко, Т.Н. Глушакова. - ВГУ, 2003г. - 44с.

7) Jordan normal form [Электронный ресурс] / Режим доступа:   http://en.wikipedia.org/wiki/ Jordan_normal_form. – Дата    доступа:    28.04.12    

8) Уховский, М.К. Практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса: практическое пособие / М.К. Уховский. - РГУ, 2000. – 36 с.

9) Манин Ю.И. Построение жорданова базиса: учеб. пособие / Ю.И. Манин. - МИЭМ, 2009. – с. 44

10) Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты: учеб. пособие / Г.С. Шевцов. - 2003. – 576 с.

11) Сушкова, М.В. Приложение жордановой нормальной формы. / М.В. Сушкова // СПбГТУ. Журнал «Математика в ВУЗе» [Электронный ресурс]. – 2002. - № 2. -  Режим доступа: http://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_002/

Sushkova/par_02.html. – Дата доступа: 20.05.12